WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Показано, что на основе подходящего выбора матриц 0,..., 3 уравнения могут быть упрощены, и их решение явно сводится к решению алгебраического матричного уравнения. Рекомендовано выбирать матрицы 0,..., следующим образом 0 = C0, 1(s) = -P A(s) - R(0, s) + [P B + (0)]K[B D(s) + (s, 0)], 2(s) = 2(s), 3(s, ) = -D (s)A() - A ()D(s) + [D (s)B + (s, 0)]K[B D() + (, 0)], 4 = C4, 1(s) = -P B(s) - (0, s) + [P B + (0)]K[B (s) + (0, s)], 2(s) = 2(s), 3(s, ) = - (s)B() - B ()(s) + [ (s)B + (s, 0)]K[B () + (0, )], 4 = C4, 1(s) = -A (s) + (-, s) + (0)K[B (s) + (0, s)] + (s), 2 = - (s) ds, 3(s, ) = -D (s)B() - A (s)(s) + [D (s)B + (s, 0)]K[B () + (0, )] (10) Здесь C0, C4, C4, 2(s), 2(s), (s) произвольные матрицы соответствующих размерностей.

Теорема 2 Пусть в системе ОУР (7) матрицы 0,..., 3 выбраны согласно (10), C0, C4, C4 симметричные матрицы; 2(s) симметричная матрица с кусочно-непрерывными на [-; 0] коэффициентами; 2(s), (s) симметричные матрицы с кусочно-непрерывными на [-; 0] коэффициентами. Пусть P является решением матричного уравнения P A + A P + eA P A + A P eA + 2() d + C4 + C0 = (11) = P B + eA P B K B P + BP eA, а матрицы D(s), (s), (s), (s), R(s, ), (s, ), (s, ), (s) заданы по формулам s D(s) = eA (s+)P A, (s) = 2() d + C4, T (s)D(), (s, ) 1, R(s, ) = D (s)T (), (s, ) s (s) = eA (s+)P B, (s) = 2() d + C4, Q(s)(), (s, ) 1, (s, ) = (s)Q (), (s, ) s (s, ) = D (s - - )B, (s) = () d, где 1 = {(s, ) [-, 0] [-, 0] : s < }, 2 = {(s, ) [-, 0] [-, 0] : s > }, 1 = {(s, ) [-, 0] [-, 0] : s < }, 2 = {(s, ) [-, 0] [-, 0] : s > }, T (s) = A e-A (s+), Q(s) = Be-A (s+).

Тогда матрицы P, D(s), (s), R(s, ), (s), (s), (s, ), (s, ), (s) являются решением ОУР.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена построению и анализу стабилизирующих свойств регулятора.

Согласно разработанному подходу для построения управления с обратной связью необходимо 1) вычислить матрицу P, являющуюся решением матричного уравнения (11), 2) вычислить матрицы D(s), (s), (s), (s), R(s, ), (s, ), (s, ), (s) подстановкой P в соответствующую формулу, 3) построить управление с обратной связью, подставив в формулу (9) соответствующие матрицы.

Следующей задачей, после нахождения явного вида регулятора, является задача исследования его стабилизирующих свойств.

Теорема 3 Пусть выполнены следующие условия:

(1) весовой функционал Z[x, y(·), w(·)] является положительно определенным на H, (2) матрицы P, D, R,,,,,, являются решением системы ОУР (7), (3) функционал W [x, y(·), w(·)] является положительно определенным на H, тогда система (1) стабилизируема и управление с обратной связью (9) является решением задачи стабилизации (1), (2) в классе стабилизирующих управлений.

Замкнутую систему в дифференциальной форме (3), в которой управление формируется согласно (9), можно рассматривать по как систему с запаздыванием только в фазовых переменных относительно переменной z = (x; u).

(t) = z(t) + z(t - ) + Bz(t - )+ 0 (12) + (s)z(t + s) ds + B()z(t + ) d, где A B A =, =, EA + L(0) EB + L(0) EA - L(-) A(s) 0 B B =, (s) =, L (s) 0 EB - L(-) EA(s) + ds 0 B() B() =.

L() 0 EB() + d Теорема 4 Система (12) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда существует число T > 2m, m = max{; }, что max Z[T + s] -2ms 0 s + + B + () dds + B(µ) dµd < - - В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ описываются численные методы решения линейных систем с запаздыванием и численные методы поиска параметров стабилизирующего управления.

Вводится дискретная численная модель системы (12) vk Rn, как приближение точного решения xk x(tk) в точке tk. Отметим, что, если на дискретной предыстории vk, k = 0, 1,..., N, определить оператор интерполирования [7], то на [0, T ] будет определена функция v(·).

Методом Тейлора, в котором удерживаются слагаемые до n-го порядка включительно, назовем пошаговую модель n (i) vk (tk+1 - tk)i vk+1 =, v0 = x0. (13) i! i=Невязкой (погрешностью аппроксимации) полученного таким образом метода Тейлора назовем функцию n xk+1 - x(i)(tk+1 - tk)i/i! k i=(tk) =.

tk+1 - tk Будем говорить, что невязка имеет порядок p, если существует такая константа C, что для всех k = 0, 1,..., N - 1 имеет место неравенство (tk) C(tk+1 - tk)p.

Будем говорить, что метод сходится, если max xk - vk 0 при N 1kN, и имеет порядок сходимости p, если найдется постоянная C такая, что xk - vk Chp для всех k = 0, 1,..., N.

Утверждение 1 Если в методе Тейлора (13) удерживаются слагаемые до p-го порядка включительно, то невязка имеет порядок p.

Для того чтобы определить функционал правой части на приближенном решении, необходима интерполяция.

Оператором интерполирования I дискретной предыстории модели назовем отображение, которое для всех k = 0, 1,..., N устанавливает соответствие I : {vi}k v(·) Q[0; tk].

i=Оператор интерполирования I имеет порядок p на точном решении, если существуют константы C1, C2 такие, что t [0; T ] x(t) - v(t) C1 max xi - vi + C2hp, где i = lk : lk+1, tl t tl, tl и tl соседние k k+1 k k+узлы разбиения временной сетки на отрезки гладкости (p + 1)-го порядка.

С помощью многочленов Лагранжа и Эрмита строится оператор интерполирования I, значениями которого являются многочлены Lp(·). Устанавk ливается порядок этого оператора.

Теорема 5 Пусть точное решение x(t) является p раз кусочнонепрерывно дифференцируемым, тогда оператор интерполирования I имеет p порядок погрешности интерполирования на точном решении.

Теорема 6 Пусть 1) в методе Тейлора (13) удерживаются члены до p-го порядка включительно; 2) точки кратные запаздыванию, 2,..., (p+2),, 2,..., (p+2) включены во временную сетку; 3) оператор интерполирования имеет порядок p на точном решении. Тогда метод (13) сходится, порядок сходимости равен p.

Нахождение коэффициентов метода Тейлора предполагает вычисление интегралов функции от предыстории. Эти интегралы приходится считать приближенно. Ниже приводится оценка для глобальной погрешности метода Тейлора с учетом приближенного вычисления коэффициентов.

Методом Тейлора, в котором удерживаются слагаемые до n-го порядка включительно с приближенным вычислением функционала v(i) назовем дискретную модель вида n vk k (i)hi v0 = x0, vk+1 = vk +, k = 1,..., N, i! i=где vk приближенное значение vk (i) (i).

Аппроксимация функционала x(i) имеет порядок погрешности p на точном решении, если существует константа Cxi, что для всех k = 0, 1,..., N выполняется неравенство x(i) - x(i) Cxi hp, где x(i) приближенное знаk k k чение x(i).

k Невязкой с учетом приближенного вычисления функционалов x(i) метода Тейлора, в котором удерживаются слагаемые до n-го порядка включительно, назовем функцию вида n xk+1 - xk - x(i)hi /i! k k i= (tk) =.

hk Будем говорить, что методом Тейлора имеет невязку порядка p с учетом приближенного вычисления функционалов-производных, если существует константа C, что для всех k = 0, 1,..., N - 1 выполняется неравенство (tk) Chp.

Утверждение 2 Пусть метод Тейлора имеет невязку порядка p, аппроксимация функционалов-производных имеет порядок p, тогда метод Тейлора имеет невязку с учетом приближенного вычисления функционаловпроизводных порядка p.

Теорема 7 Пусть метод Тейлора имеет невязку порядка p, аппроксимация функционалов-производных имеет порядок p, оператор интерполяции имеет порядок p, тогда метод Тейлора сходится и имеет порядок сходимости p.

В ПЯТОЙ ГЛАВЕ приводятся примеры синтеза стабилизирующего управления для 1-мерной и 2-мерной систем с последействием в управлении и координатах на основе разработанных алгоритмов. Приведен пример стабилизации 4-мерной системы (простейшей модели инфекционного заболевания [8]), что с точки зрения медицины интерпретируется как подавление инфекционного заболевания, которое в случае отсутствия лечения приводит к летальному исходу.

В ПРИЛОЖЕНИИ описаны программы на языке JavaScript и MATLAB, которые позволяют находить коэффициенты метода Тейлора для ФДУ и находить параметры стабилизирующего управления для рассматриваемых систем.

Список литературы [1] Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.:

Гостехиздат. 1959. 211 с.

[2] Красовский Н.Н. Об аналитическом конструировании регулятора для систем с последействием. ПММ, 1962. Т. 26. № 1. стр. 39–51.

[3] Красовский Н.Н. Оптимальные процессы в системах с запаздыванием.

Krasovskii N.N. Optimal Processes in Systems with Time Lag // Proc. 2nd IFAC Congress (Basel, 1963). Butterwoths, London. 1964.

[4] Ким А.В. i-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 1996. 236 с.

[5] Ким А.В., Ложников А.Б. Линейно-квадратичные задачи управления для систем с запаздыванием по состоянию. Точные решения уравнений Риккати. Автоматика и телемеханика. 2000. № 7. cтр. 15–31.

[6] Ким А.В., Волканин Л.С. К синтезу управления для систем с последействием в управляющих параметрах. Известия Уральского государственного университета. 2003. №26 стр. 81–86.

[7] Ким А.В., Пименов В.Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.-Ижевск:ИНЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2004. 256 с.

[8] Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. М.: Наука. 1980.

264 с.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ СТАТЬИ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ В ВЕДУЩИХ РЕЦЕНЗИРУЕМЫХ НАУЧНЫХ ЖУРНАЛАХ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ ВАК.

[9] Солодушкин С.И. Стабилизация линейных систем с запаздыванием по времени в координатах и управлении // Труды института математики и механики УрО РАН, 2008. Т. 14, № 4 с. 143–158.

[10] Солодушкин С.И. О стабилизации систем с последействием // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. Ижевск. 2008. с. 140–141.

[11] Солодушкин С.И. Стабилизация систем с запаздыванием по времени в координатах и управлении // Системы управления и информационные технологии, 2009. 1.3(35) с. 404–406.

ДРУГИЕ ПУБЛИКАЦИИ [12] Солодушкин С.И. Линейно-квадратичная задача стабилизации систем с запаздыванием по времени // Проблемы теоретической и прикладной математики. Екатеринбург, УрО РАН. 2008. с. 291–297.

[13] Солодушкин С.И. Линейно-квадратичная задача стабилизации систем с запаздыванием по времени Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2008. Тезисы докладов. 2008. с. 131–133.

[14] Солодушкин С.И. Стабилизация систем с запаздыванием по времени в координатах и управлении // Информационные технологии моделирования и управления, 2009. 2(54) с. 226–230.

[15] Солодушкин С.И. Об одном конструктивном критерии проверки стабилизируемости систем с запаздыванием по времени // Проблемы теоретической и прикладной математики. Екатеринбург, УрО РАН. 2009. с.

251–254.

Подписано в печать 5.11.2009 г. Формат 60х84/Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 1,5 Усл. печ. л. 1,Тираж 100 экземпляров. Заказ № Отпечатано в ИПЦ "Издательство УрГУ".

620083, г. Екатеринбург, ул. Тургенева,

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»