WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Задача о совпадении максимальных u-стабильных мостов в двух дифференциальных играх исследуется с применением инфинитизимальных конструкций, как то контингентные конуса, производные множества стабильного моста в прямом и обратном времени. Условие стабильности выписывается также для случая, когда целевое множество задано виде системы неравенств для непрерывно дифференцируемых функций и неравенства для функции дифференцируемой по направлениям. Используются свойства гамильтониана системы, в частности его выпуклость.

Теоретическая и практическая ценность. Представленная работа имеет теоретическую ценность: в ней предложены аналитические методы вычисления меры невыпуклости множеств, построения функции цены для одного класса задач быстродействия. Разработаны критерии совпадения решения различных задач быстродействия, допускающие различное описание целевого множества.

Практическая ценность работы обусловлена возможностью применения полученных в ней результатов в различных отраслях знания. Построения волновых фронтов и вычисление эйконала является важной задачей оптики и электродинамики [20]. В диссертации исследована геометрия волновых фронтов с круговой вектограммой для случая невыпуклого источника, имеющего кусочно-гладкую границу. Разработаны аналитические и численные алгоритмы эволюции волновых фронтов, предложены процедуры построения многообразий, сотканных из изломов волновых фронтов [2]. Обоснована формула минимаксного (обобщенного) решения задачи Дирихле для уравнения типа эйконала в случае изотропной среды при предположении, что краевое множество замкнуто, причем имеет кусочно-гладкую границу. Предложен конструктивный подход к построению минимаксного решения. Результаты, полученные в части совпадения максимальных u-стабильных в различных дифференциальных играх позволяют сводить решение более сложной задачи к решению более простой [14, 17].

Апробация работы. Главные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на российских и международных конференциях. Сделаны доклады • Конференция Теория управления и математическое моделирование. Ижевск, УдГУ, 3–8 июля 2006.

• Научный семинар Математическая теория оптимального управления и теория дифференциальных включений. М., МГУ. 2006.

• IX Международная Четаевская конференция Аналитическая механика, устойчивость и управление движением, Иркутск, июнь 2007.

• XXII Международная конференция Дифференциальные уравнения и смежные вопросы, посвященной памяти И.Г.Петровского, Москва, МГУ, 21-25 мая 2007.

• Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики, Тамбов, октябрь 2007.

• Международная конференция Дифференциальные уравнения и топология. М.: МГУ. 2008.

• Международная конференция Дифференциальные уравнения и топология. М.: МГУ. 2008.

• Международная конференция Дифференциальные уравнения.

Функциональные пространства. Теория приближений, посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева, Ин-т математики СО РАН.

Новосибирск, октябрь 2008.

• Научный конференция-семинар Теория управления и математическое моделирование, посвященная памяти профессора Н.В. Азбелева, Ижевск, май 2008.

• Международная конференция Дифференциальные уравнения и топология. М.: МГУ. 2008.

• Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Международная конференция, посвященная 100-летию В.К. Иванова. Екатеринбург.

ИММ УрО РАН, 2008.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шестнадцати работах, приведенных в конце автореферата, шесть из них в изданиях, включенных в перечень ВАК. В работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, А.А. Успенским, и чл.-корр. РАН В.Н. Ушаковым, исследованы задачи оптимального управления и дифференциальные игры методами, предложенными в диссертации. Приведены примеры численного моделирования ряда задач и визуализации результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, списка литературы, включающего 117 названий, и приложения. Общий объем работы составляет 150 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Диссертационная работа состоит из настоящего введения, списка сокращений и обозначений, трех глав, объединяющих 17 параграфов и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 150 страниц, библиографический список включает 131 наименование, иллюстративный материал насчитывает 35 рисунков. Нумерация параграфов осуществляется в пределах каждой главы. Нумерация формул двойная: в первой позиции указывается номер параграфа, в котором приведена формула, во второй порядковый номер формулы в этом параграфе. Такая же нумерация принята для определений, теорем, замечаний, примеров и рисунков.

Глава I диссертации посвящена изучению меры невыпуклости множества. В ней исследуются множества симметрии, волновые фронты, угловая характеристика точек относительно множества и их взаимосвязь. В параграфе 1.1 дается определение угловой характеристики точки (z) M и меры невыпуклости (M) замкунутого множества в пространстве R2.

Для их вычисления вводятся новые понятия биссектрисы L(M) и псевдовершины W множества M R2. Биссектриса L(M) является частным случаем множества симметрии с точки зрения геометрии множества M, для всех ее точек угловая характеристика отлична от нуля.

Псевдовершины характеристические точки границы M множества M, отвечающие за зарождение биссектрисы.

В параграфе 1.2 изучаются свойства биссектрисы и псевдовершин.

Приводятся условия нахождения псевдовершин и формулы для построения гладких участков биссектрисы. Доказана теорема о том, что псевдовершины, лежащие на участках гладкости кривой, совпадающей с границей M множества M, есть точки локального максимума кривизны.

Выписано уравнение, связывающее координаты двух точек, являющихся проекциями на множество M одной точки y биссектрисы L(M) (то есть являющимися ближайшими к ней в евклидовой метрике точками множества M ).

Параграф 1.3 посвящен изучению свойств проекций точек биссектрисы в окрестности псевдовершин. Проведена их классификация в зависимости от свойств гладкости кривой в псевдовершине W. Выделены случаи, когда в ней кривая имеет второй порядок гладкости (то есть определены касательная и кривизна в этой точке), первый порядок (то есть определена касательная, но не определена кривизна) и гладкость нарушается (не определена касательная). Доказаны теоремы о дифференциальных свойствах решений уравнения, связывающего координаты проекций точек биссектрисы в окрестностях псевдовершины.

Параграф 1.4 описывает строение биссектрис в окрестности точек прекращения. Выписаны координаты этих точек для разных типов, порождающих их псевдовершин. Доказана теорема о том, что если в псевдовершине W определен радиус кривизны R кривой, то точка прекращения V биссектрисы L(M) совпадает с центром кривизны в псевдовершине W. В случае негладкой псевдовершины W имеет место совпадение V и W. Если в псевдовершине определены предельные значения радиуса кривизны с двух сторон, то точка V есть линейная комбинация пределов центра кривизны в W слева и справа.

Параграф 1.5 посвящен нахождению достаточных условия гладкости биссектрисы и построению к ней касательной. Доказано, что если точка y L(M) имеет ровно две проекции x1 и x2, лежащие на гладких участках кривой, то в ней определена касательная к биссектрисе L(M).

При этом совпадает с биссектрисой угла x1, y, x2.

В параграфе 1.6 предложены аналитические методы нахождения меры невыпуклости (M) для случаев, когда M подграфик кусочногладкой функции f : R R. Приведена и доказана теорема о мере невыпуклости подграфика выпуклой всюду дифференцируемой функции f(x):

(M) = lim arctg f (x) - lim arctg f (x).

x+ xАналогично приведена теорема для подграфика функции f(x), дифференцируемой всюду, кроме точки x, для которой выполняется условия 1) lim f (x) < lim f (x) xx, xx 2)f(x) выпуклая вверх функция на интервалах (-, x) и (x, ).

Тогда мера невыпуклости множества M = hypo f равна (M) = lim arctg f (x) - lim arctg f (x).

xx, x>x xx, x

Глава II диссертации посвящена изучению свойств решения u = u(x) задачи быстродействия с круговой вектограммой скоростей и невыпуклым целевым множеством.

В параграфе 2.1 приводятся различные постановки задачи, в том числе в виде краевой задачи для уравнения эйконала 2 u u + - 1 = 0, x y u| = 0, и уравнения в частных производных типа Гамильтона–Якоби u u min 1 + 2 + 1 = 0, : 1 x y u| = 0.

2 Здесь = 1 + 2 норма вектора = (1, 2). Краевое условие u| = 0 определено на границе = M замкнутого множества M R2.

Собственно задача быстродействия для динамической системы имеет вид:

= = где управление = (1, 2) стеснено ограничением 1.

В параграфе 2.2 сформулирована и доказана теорема о том, что функция евклидового расстояния от точки до множества M является обобщенным (минимаксным) решением уравнения в частных производных Айзекса–Беллмана с краевым условием, определенным на границе множества M. Изучаются свойства биссектрисы множества, как множества негладкости функции оптимального результата и сингулярной (рассеивающей) линии для задачи управления.

Параграф 2.3 посвящен изучению асимптотики линий негладкости решения u(x). Доказано теорема о достаточных условиях существования асимптот биссектрисы. Если множество M односвязное и невыпуклое, его дополнение D = co M \M до выпуклой оболочки co M состоит из конечного числа компонент связности Di, i = 1,..., n и некоторая компонента связности Di ограниченное множество, то множество Di (co M) является отрезком, и срединный перпендикуляр к нему асимптота биссектрисы L(M). Одновременно показано, что данное условие не является необходимым. Возможно существование асимптот в частности в случае, когда дополнение co M \M множество односвязное, но неограниченное.

В параграфе 2.4 приведен пример аналитического построения функции оптимального результата для задачи быстродействия с невыпуклым целевым множеством. А именно, когда множество M подграфик функции f(x) = x2. Биссектриса лежит на оси ординат L(M) = {(x, y) : x > 0.5, y = 0}.

А функция оптимального результата u(x, y) вычисляется по формуле u(x, y) = (x - xp)2 + (y - x2)2, p 3 x x2 - (2y - 1)3 + x x2 - (2y - 1)3, y E(x) + 4 16 216 4 -3 6x arccos (2y - 1)3/2, x 0, y > E(x) 2y - xp = -2 cos 6 3 6x arccos 2y - (2y - 1)3/2, x > 0, y > E(x) 2 cos 1 Здесь E(x) = + x2.

2 Параграф 2.5 содержит примеры численного конструирования функции оптимального результата u(x, y) в задаче быстродействия для множеств с кусочно гладкой границей на основе построения их биссектрис.

В качестве целевых множеств взяты подграфики функций и одно множество, ограниченное эллиптической кривой. Выделены области их негладкости, в частности проиллюстрировано, что в точках биссектрисы L(M) функция u(x, y) супердифференцируема.

Глава III диссертации связана с изучением взаимосвязи дифференциальных игр сближения-уклонения в момент и к моменту.

В параграфе 3.1 рассматривается конфликтно-управляемая система, поведение которой на конечном промежутке времени [t0, ] описывается векторным дифференциальным уравнением.

= f(t, x, u, v), x[t0] = x0, u P, v Q.

Здесь x m-мерный фазовый вектор системы, u управление первого игрока, v управление второго игрока, P и Q компакты в евклидовых пространствах Rp и Rq соответственно.

Изучаются и сравниваются две игровые задачи о сближении системы с терминальным множеством M в фазовом пространстве [11]. В первой из них первому игроку требуется обеспечить с помощью позиционного управления попадание фазового вектора системы на M в конечный момент времени. Во второй задаче требуется обеспечить с помощью позиционного управления попадание фазового вектора системы на M не позже момента.

Параграф 3.2 содержит определения и основные свойства ключевых элементов дифференциальной игры, в частности операторов стабильного поглощения и стабильных мостов. Максимальные u-стабильные мосты (множества позиционного поглощения) являются ключевыми элементами разрешающей конструкции в обеих задачах управления.

В параграфе 3.3 приводятся теоремы о геометрических условиях совпадения максимальных u-стабильных мостов в двух задачах о сближении.

В параграфе 3.4 сформулированы и доказаны теоремы об аналитических критериях совпадения максимальных u-стабильных мостов, опирающихся на представление целевого множества в виде системы неравенств для дифференцируемых функций, либо одного неравенства для функции дифференцируемой по направлениям. Исследованы два примера для системы с одинаковой динамикой dx = B(x)u + C(x)v, dt где x = (x1, x2) R2 фазовый вектор системы, u P, v Q управления 1 и 2 игроков, P = Q = {(x1, x2) : -1 x1 1, x2 = 0} ограничения на управление, x1 0 x2 B(x) =, C(x) =.

x2 0 -x1 В одном случае в качестве целевого множества M взят квадрат с вершинами 1 = (1, 1); 2 = (1, -1); 3 = (-1, -1); 4 = (-1, 1), и показано, что максимальные u-стабильные мосты в обеих задачах совпадают. В другом треугольник с вершинами 1 = (0, 1); 2 = - 3/2, -0.5 ;

взят 3 = 3/2, -0.5. Тогда максимальные u-стабильные мосты не совпадают, а точнее мост в задаче о сближении в момент строго вложен в мост в задаче о сближении к моменту.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Айзекс. Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

2. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: ФАЗИС, 1996. 334 с.

3. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Изд.-во МГУ, 1983. 80 с.

4. Бабич В.М., Булдырев В.С., Молотков И.А. Пространственно– временной лучевой метод: Линейные и нелинейные волны. M.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. 272 с.

5. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. М.: Мир, 1988.

262 с.

6. Гусейнов Х.Г., Ушаков В.Н. Дифференциальные свойства интегральных воронок стабильных мостов // Прикладная математика и механика. 1991. №55 (1), С. 72–78.

7. Дарьин А.Н. Синтез управлений при двойных и неоднородных ограничениях // Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. 01.01.02. дифференциальные уравнения.

МГУ им. М.В. Ломносова. М. 2004. 15 с.

8. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация.

М.: Наука, 1981. 384 с.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»