WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |

На правах рукописи

Емельянов Константин Владимирович УДК 531.01 МЕТОД КОВАЛЕВСКОЙ И ПОИСК УСЛОВИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Специальность 01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск 2003

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Удмуртского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук, профессор А.В. Борисов.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук, профессор А.В. Болсинов;

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник А.А. Килин.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Институт прикладной механики УрО РАН.

Защита состоится «25» июня 2003 г. в « » часов на заседании диссертационного совета К.212.275.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Удмуртском государственном университете по адресу: 426034, Ижевск, ул. Университетская, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета.

Автореферат разослан «17» мая 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент Н.Н. Петров.

Общая характеристика работы

Актуальность темы Тестов на интегрируемость динамических систем немного. Предложенный С. В. Ковалевской метод занимает особое место: внимание к нему было привлечено найденным интегрируемым случаем в задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой [4].

В дальнейшем появилось много других примеров интегрируемых систем, в которых существующие первые интегралы продолжались в комплексную область как однозначные функции своих аргументов.

При этом общее решение представляется однозначными функциями.

Естественным образом появляется задача о связи между однозначностью общего решения и существованием достаточного числа однозначных первых интегралов системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) — так называемая задача Пенлеве-Голубева [5].

С современной точки зрения идею метода Ковалевской можно выразить следующим образом: решение системы нелинейных ОДУ голоморфно на соответствующей римановой поверхности; голоморфная функция устроена достаточно просто, поэтому сложное поведение в действительной области обусловлено сложным строением римановой поверхности. Стохастическое поведение возникает при проходе по некоторому контуру, соответствующему действительному времени на этой сложной поверхности. Сам метод состоит в подборе таких значений параметров системы, при которых существуют формальные полнопараметрические решения в виде рядов, содержащие в качестве особенностей только полюса (обладающие свойством Пенлеве) или алгебраические точки ветвления (слабое свойство Пенлеве). Часто можно строго сформулировать некоторые утверждения, необходимые для существования первых интегралов или полей симметрии определенного класса [7, 9]. Соответственно, метод Ковалевской может использоваться для доказательства неинтегрируемости.

Все сказанное относилось динамическим системам, представляющим собой ОДУ, однако, возникающие в физике динамические системы чаще представляют собой дифференциальные уравнения с частными производными. Интегрирование таких уравнений, либо исследование их решений гораздо более сложная задача. Тем не менее, разработанный в последние десятилетия метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) позволяет интегрировать нелинейные эволюционные уравнения. В связи с этим часто возникает вопрос: возможно ли предложить конструктивный способ распознавания интегрируемых с помощью МОЗР уравнений. Как одна из попыток ответа возникла так называемая ARS-гипотеза [8], суть которой сводится к тому, что для интегрируемости по МОЗР нелинейного эволюционного уравнения любая его редукция к ОДУ должна обладать свойством Пенлеве.

Таким образом, метод Ковалевской представляет собой одно из актуальных направлений в теории динамических систем и математической физике. Интерес к исследованиям в этом направлении связан как с практическим применением метода, так и с важностью метода для построения теории нелинейных систем.

Цель работы Были поставлены следующие цели.

1. Применить метод Ковалевской к системам с экспоненциальным взаимодействием, являющимся обобщением хорошо известных цепочек Тоды:

(1) Поскольку подобные гамильтоновы системы с псевдоевклидовой метрикой {•, •) возникают в космологии [6], ставилась задача изучить возможность обобщения существующих результатов об интегрируемости на псевдоевклидовы системы.

2. Изучить связь между комплексно-аналитическими свойствами общего решения с наличием тензорных законов сохранения в классе квазиоднородных динамических систем.

Известна теория X. Иошиды, применившего метод Ковалевской к квазиоднородным системам. Им впервые были доказаны теоремы о связи между ведущими степенями в разложении общего решения - показателями Ковалевской - и весами квазиоднородности первых интегралов. Эти результаты были перенесены В.В. Козловым на поля симметрии и произвольные тензорные инварианты.

Однако, все эти теоремы неприменимы для инвариантов, вырожденных на частных решениях типа квазиоднородного «луча».

Аналог теоремы Иошиды для вырожденного случая известен, ставилась задача получить аналог теоремы Козлова. Кроме того, получаемой по теоремам Иошиды и Козлова информации об интегралах и полях симметрии часто слишком мало для их поиска, было бы неплохо знать больше, чем просто степень квазиоднородности.

3. Исследовать на интегрируемость одну гамильтонову систему, получить, если возможно, полный набор ее первых интегралов.

Известна классификация интегрируемых по Биргкофу систем с экпоненциальным взаимодействием (в евклидовой метрике). Для ее окончательного завершения необходимо исследовать на интегрируемость гамильтониан:

Научная новизна Получены следующие результаты:

1. Впервые вычислены все наборы показателей Ковалевской систем с экспоненциальным взаимодействием (1). По ним сделано предположение о виде возможных первых интегралов системы (2).

Показана невозможность обобщения на псевдоевклидов случай известных результатов об интегрируемости систем в евклидовой метрике.

2. Доказана новая теорема о резонансах на показателях Ковалевской. Теорема представляет собой утверждение о связи степеней квазиоднородности тензорных инвариантов с показателями Ковалевской, включает в себя известные ранее подобные теоремы, применима к более широкому классу систем.

3- С использованием предыдущего результата впервые предложен алгоритм поиска тензорных инвариантов на основе метода Ковалевской. Этот алгоритм может использоваться также как расширенный тест на интегрируемость и особенно эффективен для нахождения полиномиальных первых интегралов и полей симметрии.

4. Полученный алгоритм успешно применен к системе (2) в случае четырех степеней свободы. Доказана интегрируемость этой системы, найден полный набор первых интегралов.

Теоретическая и практическая ценность Результаты диссертации могут использоваться при изучении систем с экспоненциальным взаимодействием: при изучении псевдоевклидовых систем и для завершения классификации интегрируемых по Биркгофу систем в евклидовой метрике.

Теорема о резонансах на показателях Ковалевской представляет интерес с теоретической точки зрения.

Полученный алгоритм поиска тензорных инвариантов может весьма эффективно использоваться при интегрировании квазиоднородных систем либо использоваться как более совершенный тест на на интегрируемость.

Положения, выносимые на защиту На защиту выносятся следующие положения.

Исследование методом Ковалевской систем с экспоненциальным взаимодействием. Вычисление всех наборов показателей Ковалевской.

Невозможность прямого обобщения на псевдоевклидов случай известных интегрируемых систем с экспоненциальным взаимодействием.

Исследование связи комплексно-аналитических свойств решений и наличием у динамической системы тензорных законов сохранения.

Обобщение существующих теорем о степенях однородности тензорных инвариантов. Теорема о резонансах на показателях Ковалевской.

Метод поиска тензорных инвариантов квазиоднородных динамических систем. Тест на интегрируемость.

Интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновой системы (2) с четырьмя степенями свободы.

Апробация работы Полученные результаты докладывались на семинаре «Динамические системы классической динамики» (МГУ, руководители: академик РАН проф. В.В. Козлов, д.ф.-м.н. С.В. Болотин), семинаре физического факультета УдГУ, семинарах лаборатории нелинейной динамики и синергетики УдГУ, Всероссийской Научной Конференции СтудентовФизиков (г. Екатеринбург, г. Заречный).

Публикации по теме диссертации По теме диссертации опубликованы три работы.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы. Объем диссертации - 67 страниц.

Содержание работы Введение Введение дает краткий обзор истории метода Ковалевской и проблемы интегрируемости динамических систем. Помимо введения работа содержит еще четыре главы и приложение.

Квазиоднородные системы В первой главе мы даем определение квазиоднородных уравнений и связанных с ними понятий, таких как матрица и показатели Ковалевской. Все определения и теоремы проиллюстрированы на простейших примерах. Далее мы приводим известные теоремы, составляющие основу ставшей уже классической теории X. Иошиды. Обсуждается представление общего решения вблизи особой точки в виде полнопараметрических обобщенно-степенных рядов, ветвление решений и связь с классическими результатами, такими как теорема Пуанкаре о вырождении периодических решений и теорема Зиглина о ветвлении решений и неинтегрируемости гамильтоновых систем. Квазиоднородные системы являются хорошей моделью для демонстрации метода Ковалевской и обсуждения лежащих в его основе идей. Эту главу нужно рассматривать как вводную: сюда вынесены всевозможные определения, известные результаты.

Системы с экспоненциальным взаимодействием Вторая глава посвящена системам с экспоненциальным взаимодействием. Речь идет о гамильтоновых уравнениях с гамильтонианами следующего вида:

(3) где - скалярное произведение. Изучение таких систем является весьма популярной темой последних десятилетий. В связи с появившимися в космологии приложениями таких систем встает вопрос о возможности перенесения полученных результатов на случай псевдоевклидовой метрики {-,•). Мы предъявляем методику вычисления показателей Ковалевской произвольных систем с экспоненциальным взаимодействием. Используя эту методику, мы доказываем ряд утверждений, из которых, в частности, последует невозможность обобщения на псевдоевклидов случай условий интегрируемости евклидовых систем. Показано также, что знаконеопределенность псевдоевклидовой метрики принципиальна и приводит к ветвлению решений и алгебраической неинтегрируемости. Таким образом, в главе 2 существующие на сегодня способы исследования применяются к определенному классу систем.

Тензорные инварианты квазиоднородных систем Основным результатом третьей главы является доказательство теоремы о резонансах на показателях Ковалевской.

Теорема о резонансах. Предположим, что квазиоднородная система (4) имеет тензорный инвариант степени однородности т с компонентаголоморфными на частных решениях вида ми и неотритогда существует такой набор индексов цательные целые числа такие, что (s;

где - показатели Ковалевской, причем - наименьший порядок ненулевой в точке х = с производной компонент тензорного поля.

Сформулированное утверждение включает почти все известные сейчас теоремы о связи показателей Ковалевской со степенями однородности тензорных инвариантов квазиоднородных систем. Кроме доказательства теоремы и обсуждения некоторых следствий, мы предъявляем алгоритм, по которому можно находить полиномиальные интегралы, либо ряды, представляющие собой тейлоровские разложения инвариантов в окрестности частных решений, инвариантных относительно однопараметической группы квазиоднородных растяжений расширенного фазового пространства. Предлагаемый алгоритм демонстрируется на примере поиска первого интеграла в простой системе с двумя степенями свободы. В этой главе обсуждается также связь между ветвлением решений и несуществованием голоморфных тензорных инвариантов.

Интегрируемость по Биркгофу систем с потенциалом экспоненциального вида В качестве демонстрации теории, развитой в главе 3, в четвертой главе мы возвращаемся к рассмотрению систем с экспоненциальным взаимодействием (3) и находим полный набор первых интегралов системы с четырьмя степенями свободы. Это система (2). Вопрос ее интегрируемости открыт уже давно и важен для завершения классификации интегрируемых систем. Уравнения Гамильтона для (2) заменой преобразуются в систему уравнений с полиномиальными правыми частями. При п = 4 получим:

(б) Полученная система уравнений квазиоднородна с весами и по переменным р и х соответственно. Применяя теорему о резонансах и следующий из ее доказательства алгоритм поиска, который существенно упрощается для скалярных тензорных инвариантов — первых интегралов, мы находим для этой системы три полиномиальных первых интеграла, степени квазиоднородности 4, 6 и 8. Исходная гамильтонова система (2), таким образом, имеет полный набор первых интегралов в виде полиномов по импульсам с коэффициентами вида:

Первые интегралы находятся в инволюции. Полученные для них формулы громоздки и вряд ли могут быть использованы для понимания динамики системы, но качественный результат важен: система полностью интегрируема.

Приложение Приложение содержит иллюстрации к введению и некоторые громоздкие формулы, которые, будучи выписаны в основном тексте, затруднили бы понимание.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»