WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

4. Пермском городском теоретическом семинаре “Фундаментальные и прикладные модели управления экономикой” (2006, руководители проф. Аверин В. И. и проф. Перский Ю. К.);

5. Международной конференции “Информационные технологии в инновационных проектах” (Ижевск, 1999);

6. III Всероссийском семинаре “Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач” (Казань, 2000);

7. Региональной конференции “Экономика и управление: актуальные проблемы и поиск путей решения” (Пермь, 2004);

8. IV Международном конгрессе по математическому моделированию (Нижний Новгород, 2004);

9. Конференции “Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования” (Воронеж, 2005).

Исследования проведены при поддержке Программы “Университеты России Фундаментальные исследования” (015.03.01.25, УР. 03.01.023) и РФФИ (07-01-96.060-р-урал-а, 04-01-96016-р-урал-а, 99-01-01278-а).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, в том числе в 5 журнальных публикациях и в 4 материалах российских и международных конференций.

Диссертация содержит только те результаты совместных работ, которые принадлежат автору диссертационной работы.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Объём работы составляет 101 страницу, включая библиографический список из 49 названий.

Содержание работы Во введении дано обоснование актуальности темы исследования, кратко описаны цели и задачи работы.

В первой главе приводятся примеры вариационных задач для квадратичных функционалов. Кратко описывается разработанный Пермским семинаром по функционально–дифференциальным уравнениям подход к исследованию задачи минимизации квадратичного функционала. Даётся описание методов конструктивной математики.

Вторая глава посвящена общему описанию предлагаемого метода исследования применительно к абстрактной вариационной задаче для квадратичного функционала.

N Ix = T1ix, T2ix H + F0, x X min, i=p(x) = 0, q(x) 0.

С помощью метода редукции, предложенного Пермским семинаром по функционально–дифференциальным уравнениям, исходная вариационная задача сводится к задаче минимизации в гильбертовом пространстве. При этом предполагается, что пространство X, в котором ищется решение, изоморфно прямому произведению вещественного сепарабельного гильбертова пространства H и пространства mмерных вещественных векторов Rm:

x = z + Y, z H, Rm.

В рамках теории абстрактного функционально–дифференциального уравнения18 устанавливается, что для заданного набора краевых условий всегда можно построить разрешимую краевую задачу x = z, rx =, Azbelev N. V., Rakhmatullina L. F. Theory of linear

Abstract

functional differential equations and applications // Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics. Tbilisi, 1996, Vol. 6. pp. 1–102.

и, таким образом, с помощью пары операторов [, r]: X H Rm определить изоморфизм X HRm. В этом случае пара {, Y }: H Rm X является обратным оператором по отношению к [, r]. Так как ограничения rx = выбираются из множества ограничений p(x) = 0, то также предполагается, что система ограничений задачи регулярна и при этом число ограничений–равенств не меньше m.

В работе рассматриваются задачи, исследование необходимых и достаточных критериев существования решений которых сводится к определению разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода z - Kz = f() (интегральное уравнение Эйлера) и проверке (строгой) положительной определённости оператора I - K. При этом используется то, что оператор K по построению является ограниченным самосопряжённым линейным оператором.

В этой главе описывается идеализированный вариант исследования задачи, когда все вычисления выполняются точно. Конструктивному варианту данного метода, учитывающему ошибки округления и ошибки численных методов, посвящена третья глава.

Для проверки необходимых и достаточных условий существования решения предлагается заменить исходный объект (3) более простым уравнением Фредгольма второго рода с конечномерным яд ром. Приближённое уравнение z - Kz = f() строится с помощью проекции на подпространства, натянутые на подмножества заданной полной системы функций {i}, ортогональных с единичным весом.

Таким образом n n z, j Kj, i Knz = i j, j i, i i=1 j=и n zfi fn = i.

i, i i=В качестве базиса аппроксимации предлагается использовать ортогональные функции, так как в этом случае при проверке разрешимости приближённого интегрального уравнения и оценке верхней границы спектра интегрального оператора, матрицы, соответствующие конечномерным операторам, будут иметь меньшую размерность.

При выборе функций, ортогональных с единичным весом, вычисление коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, соответствующей интегральному уравнению, сводится к простому сложению.

Если уравнение z - Knz = n имеет решение, то проверка разрешимости исходного уравнения осуществляется с помощью сравнения K - Kn L (Hn) и (I - Kn)-1 -1. Так как множество обратимых L (Hn) линейных ограниченных операторов является открытым, то, при до -статочной близости K и Kn, из существования Kn следует существование K-1. Заметим, что можно доказать только существование решения, так как если оператор K необратим, то данный метод не может дать никакого ответа.

Для проверки достаточного условия существования решения исходной вариационной задачи оценивается нижняя граница спектра оператора I - K. Так как операторы K и Kn по построению являются самосопряжёнными, то границы их спектров различаются не больше, чем на K - Kn L (Hn). Таким образом, если величина наибольшего собственного числа оператора Kn строго меньше 1 - K - Kn L (Hn), то оператор K строго положительно определён. Если наибольшее соб ственное число больше 1+ K -Kn L (Hn), то K не будет положительно определён. В противном случае, т.е. когда наибольшее собственное число лежит в интервале [1 - K - Kn L (Hn), 1 + K - Kn L (Hn)], требуются повысить точность аппроксимации, увеличив n. Заметим, что ситуация равенства наибольшего собственное числа единице на этом этапе невозможна, так как в этом случае невозможно выполнение необходимого условия существования решения.

Если необходимые и достаточные условия существования решения выполнены, строится точное (без погрешностей) решение приближённого уравнения z и оценивается норма разности между z и истинным решением исходной задачи z. После этого определяется приближённое решение x = G + Y исходной вариационной задачи.

z В третьей главе описывается конструктивная реализация предлагаемого подхода для пространства H = L2[a, b].

При конструктивном подходе к решению задачи рассматриваются не только утверждения о существовании решения, но и возможность его построения.

Здесь и далее предполагается, что уравнение Эйлера z-Kz = f() является интегральным уравнением Фредгольма второго рода.

Так как непосредственное решение полученного уравнения z Kz = f() часто затрудняется сложностью ядра интегрального оператора, исходное уравнение заменяется приближённым уравнением z - Kz = f с близким к K по норме конечномерным оператором K.

Конструктивность предлагаемого подхода заключается в том, что при положительном ответе на вопрос о существовании решения, оно вычисляется с гарантированной оценкой нормы погрешности (точнее, процесс доказательства существования является частью процесса построения решения). Для этого приближённое уравнение должно иметь вид z - Kz = f(), где ядро оператора K вместе с правой частью уравнения f() являются компьютерно–вычислимыми функциями, то есть функциями, значение которых может быть вычислено точно или с гарантированной оценкой погрешности. Такими свойствами обладают, например, многочлены с рациональными или интервальными коэффициентами, если при расчётах используется арифметика рациональных чисел или интервальная арифметика.

Для построения K и f определяются проекции K и f на подходящие n-мерные пространства L (Hn) и Hn. Для того, чтобы результат был компьютерно–вычислим, в качестве базиса аппроксимации могут быть использованы ортогональные многочлены Лагранжа или ортогональные функции Радемахера–Уолша (коэффициенты многочленов и координаты точек разрывов хранятся в виде рациональных чисел).

Если оказалось, что при первоначальном выборе n размерности используемого подпространства, точность аппроксимации недостаточна, то выбор б ольшей размерности n > n позволяет повысить точность, причём требуется вычислить только n - n (для f) и (n )2 - n2 (для K) коэффициентов, а с учётом симметричности ядра (n )2 - n2 /2.

Достаточно часто ядро интегрального оператора K является непрерывным на области определения K(t, s). При этом, согласно теореме Вейерштрасса, полиномиальные приближения K(t, s) равномерно сходятся к K(t, s) при увеличении степени аппроксимации.

Для решения приближённого параметризованного интегрального уравнения Эйлера применяется стандартный метод свед его к ения системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Показано, что при выборе в качестве базиса системы ортогональных многочленов с единичным весом, для определения элементов матрицы системы и вектора правой части используются только арифметические операции и не требуется интегрирование. Размерность СЛАУ также оказывается существенно меньше, чем при выборе какого-либо другого стандартного базиса.

Описаны два подхода к решению системы линейных алгебраических уравнений с учётом погрешностей аппроксимации.

Первый подход основан на представлении СЛАУ в виде (A+A)Z = (B + B), где A и B середины интервальных оценок, а элементами A и B являются интервалы. Система AZ = B с помощью рациональной арифметики решается точно, после чего оценивается возможная погрешность, вызванная наличием A и B.

Второй подход прямое решение СЛАУ с интервальными элементами с помощью, например, интервальной модификации метода Гаусса.

После решения СЛАУ определяется норма конечномерного опера тора (I - K)-1 = I + R и гарантированно, хотя и грубо, оценивается норма оператора погрешности аппроксимации K - K.

Для оценки верхней границы спектра оператора K также исполь зуется конечномерный оператор K. Уравнение Kz = z сводится к системе линейных алгебраических уравнений, и вычисляется определитель матрицы коэффициентов характеристический многочлен матрицы E-A. Хотя матрица системы и не будет в общем случае симметричной, вследствие самосопряжённости (по построению) операто ра K все корни характеристического многочлена будут вещественными числами.

Вычисление характеристического многочлена выполняется с использованием рациональной арифметики. Для оценки сверху значения наибольшего собственного числа используется метод Ньютона.

Полученные результаты представлены в виде формул, готовых для программной реализации на выбранном языке программирования.

В конце главы рассматривается обобщение на случай функций нескольких переменных: H = L2([a1, b1] · · · [ad, bd]).

Четвёртая глава посвящена описанию некоторых особенностей программной реализации.

Программирование осуществлялось на языке C++, который сочетает высокую скорость работы получаемых программ с возможностью написания объектно–ориентированных программ. Для компиляции применялся набор компиляторов GNU GCC 4.3.2 (операционная система Linux Fedora 10 x86_64).

Использование параллельных вычислений позволяет существенно снизить время счёта. Для создания процедур, использующих многопоточность, использовались библиотекиPTHREADSиOpenMP, предназначенные для работы на машинах с общей памятью. Параллельные вычисления используются при численном интегрировании, а также при работе с матрицами.

Арифметические вычисления с рациональными числами используют библиотекуGNU MPи её интерфейсный классmpq_class, применение которого позволяет записывать арифметические выражения в естественном виде. Для интервальных вычислений был создан класс INTERVAL, который использует поддерживаемые аппаратно арифметические вычисления с направленным округлением.

Часть расчётов выполнялась с использованием математического пакета GNU Octave. Этот же пакет использовался для создания двухи трёхмерных графиков. При проверке результатов применялся пакет компьютерной алгебрыMaxima.

При работе над диссертацией (выполнение расчётов и оформление результатов) использовалось свободно доступное программное обеспечение.

В пятой главе приводятся результаты доказательного вычислительного эксперимента, полученные при исследовании модельных вариационных задач.

Классическая вариационная задача Лагранжа с локальным интегрантом b I(x) = (t)2 + p(t)x(t)2 + q(t)x(t) dt min, a x(a) = 1, x(b) = 2, используется для сравнения классического решения с решением, полученным в ходе доказательного вычислительного эксперимента.

Графики приближённых решений интегрального уравнения z и исходной задачи x для a = 0, b = 10, p(t) = sin(2t) exp(-t/5), q(t) = 1 + cos(t), ---------0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 Более сложный вариант задача с нелокальным интегрантом (функции с сосредоточенным отклонением аргумента):

b I(x) = (t)2 + p(t)x(t)2 + q(t)x(t) + g(t)x h1(t) x h2(t) dt min, a x() = 1(), < a, x() = 2(), > b, x(a) = 1, x(b) = 2.

Для реализации была выбрана задача с постоянным отклонением аргумента:

h1(t) = t - 1, h2(t) = t + 2.

В этом случае ядро интегрального оператора может быть записано в явном виде, без использования интегралов.

Графики приближённых решений интегрального уравнения z и исходной задачи x при g(t) = и 1 = 2, 2 = 3.

t2 + 2 1.-0.---0.----1.--0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 Пример вывода программы:

...

Вычисление множителей Лагранжа... Ok lambda = [-2.2617755252867937088;-2.2617755243554711342] Собираем приближённое решение интегрального уравнения... Ok ||tilde z|| = [4.6253698739152611097;4.6253698747206657416] Собираем приближённое решение вариационной задачи... Ok ||tilde x|| = [13.763986684880748612;13.763986687045989044] Оценка норм приближений... Ok ||tilde F|| = [7.8466967066809925058;7.8466967076305111917] ||tilde K|| = [3.0774280508222049413;3.0774280514274656717] Генерируем данные для графиков... Ok Оцениваем погрешность аппроксимации f...Ok max DeltaF = 0.||DeltaF|| = 0.Оцениваем погрешность аппроксимации K...Ok max DeltaK = 0.||DeltaK|| = 0.Оцениваем квадрат нормы резольвентного оператора... Ok ||R|| = [1.9771270453048617188;1.9771270640409375208] 1/(1+||R||) = [0.33589429624232166135;0.33589429835621901951] ||z - tilde z|| <= 0.Вычисление характеристического многочлена для E-A... Ok Все корни внутри круга радиуса 3.Оцениваем верхнюю границу спектра... Ok max sigma <= 0.Успешное завершение Затрачено 47.07сек.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»