WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обосновывается значение метода динамической регуляризации при решении обратных задач динамики управляемых систем, обсуждается его место среди иных методов, разработанных для этих целей. Для семейства операторов Dh в пространстве V[a, b] подчеркивается важность получения верхней (нижней) оценок его точности. Под нижней (верхней) оценкой точности понимаются функции 1(·)(2(·)) : (0, ) (0, ), удовлетворяющих для h (0, h] и движений x(·) X из множества корректности неравенствам 1(h) sup v(·) - Dh (·) V[a,b] 2(h);

(·)h x(·) их порядком функции i(h) : [0, ) [0, ), i = 1, 2, такие, что C1h1(h) 1(h) 2(h) C2h2(h);

и асимптотическим порядком число r = lim 1(h) = lim 2(h). Расh0 hсматриваютя условия, налагаемые на систему (1), ее движения со значениями из компакта X Rm, и управления v(·), при выполнении которых возможно получение оценок точности и асимптотического порядка:

условие x1 x(t) intX для всех t [a, b];

условие s1 отображения f(·), g(·) удовлетворяют условию Липшица на [a, b] X с константой L;

условие f1 матрица f(·, x(·)) обратима на [a, b];

условие f2 образ матрицы f(·, x(·)) – R1 f(·, x(·)) постоянен на [a, b];

условие f3 rank f(·, x(·)) постоянен на [a, b];

b условие v1 вариация v(·) на [a, b] v(·) ограничена;

a условие v2 v(·) удовлетворяет условию Липшица, и известно v(a);

условие v3 v(t) intQ для всех t [a, b].

(2) (1) Предлагается модификация Dh, рассмотренного семейства Dh, суть которой состоит в отказе от процедуры проектирования на Q при определении значения vi. Очевидно, что это приводит к уменьшению числа арифметических операций, выполняемых на шаге метода, и соответственно улучшает динамические свойства алгоритма.

(2) В первой главе Dh рассматривается при условиях m = q = 1, f(·, x(·)) 1, g(·, x(·)) 0, сводящих задачу (1) к проблеме численного дифференцирования. На ее примере исследуется предлагаемый подход к получению оценок точности. Помимо возникающей на i–м промежутке (2) при реализации Dh модели wh(t) = wh(ti) + vi (t - ti) с управлением (ti) - wh(ti) vi =, рассматривается модель (h) x(t) - w0(t) w0(t) =, (h) x(t) - w0(t) которая, равно, как и управление v0(t) =, реально реализо(h) ваны быть не могут, поэтому названы виртуальными. При этом виртуальное управление определяется формулой t t(h) v0(t) = e v()d, (h) a правая часть которой может трактоваться как сингулярный интеграл [7] t1 (h) с ядром e. С помощью приемов, принятых при его исследова(h) нии, доказана (h) Лемма 1.1 Пусть выполены условия x1, v1, v3; (h), стремятся (h) к нулю вместе с h; 0 Q; k N. Тогда найдется h1(k) > 0 такое, что для всех h (0, h1(k)), t [a, b] справедлива оценка k t (h) |v0(t) - v(t)| 3Mv + v(·).

(h) t-(h) (2) Рассмотрение модели в Dh как реализации метода Эйлера для виртуальной модели, описываемой линейным дифференциальным уравнением, позволяет установить тот факт, что справедлива Лемма 1.4 Пусть выполнены условия леммы 1.1, функции (·), (·) и (h) величина h2 > 0 таковы, что при h (0, h2) равномерно ограни2(h) чена. Тогда найдется положительная константа K1 такая, что для всех t [a, b] имеет место неравенство h (h) |v0(t) - vh(t)| 3 + K1.

(h) (h) Подчеркнем, что указанные в диссертационной работе в явном виде постоянные Ki, зависят только от коэффициентов Липшица и ограничивающих констант. Номер i соответствует лишь порядковому номеру появления константы в автореферате.

Полученные результаты доказывают справедливость следующего факта Теорема 1.1 Пусть выполнены условия лемм 1.1, 1.4. Тогда k (h) h v(·) - vh(·) L 3Mv (b - a) + 3(b - a) + (h) (h) b (h) + K1(b - a) + (h) v(·).

(h) a (2) Во втором разделе изучается вопрос о нижней оценке точности Dh в L1[a, b] для задачи численного дифференцирования. Следуя подходу [8], рассматривается правило формирования ошибки измерения и пример управления, которые гарантируют, что имеет место Теорема 1.2 Пусть x(t) = v, x(a) = x0, где v = 0 внутренняя h точка Q; (h), 0 вместе с h, (h) = h. Тогда существуют (h) постоянные h3, K2 > 0 такие, что при h (0, h3) нижняя оценка (2) точности Dh для задачи численного дифференцирования удовлетворяет неравенству:

sup v - vh(·) L K2 h.

(·)h(x(·)) На основании этих результатов делается вывод о том, что при выборе k k+параметров метода по правилу (h) = h, (h) = k+1(h), (h) = h2k+(2) асимптотический порядок точности Dh в L1[a, b] равен.

(2) В разделе 1.3 Dh реализуется на модельном примере, при этом полностью подтверждаются полученные ранее теоретические выводы.

Завершается первая глава рассмотрением примера использования (2) к.д.а Dh для решения задачи определения скорости изменения электросопротивления монокристалла от температуры, возникающей при изучении явления высокотемпературной сверхпроводимости.

Следующие, вторая и третья главы, посвящены получению оценок точности виртуального управления при различных ограничениях, налагаемых на систему (1) и управление v(·). При этом виртуальные модель и управление принимают вид:

w0(t) = g(t, x(t)) + f(t, x(t))v0(t), w0(a) = x0, (4) x(t) - w0(t) v0(t) = fT(t, x(t)).

(h) Как и в главе 1, движение виртуальной модели может быть представлено в явном виде t w0(t) = K(t, a; A(·))x0 + K t, ; A(·) A(, x())x()+ (h) a + g(, x()) d, где A, x() = f(, x())fT(, x()), а K t, ; A(·) матрица Коши системы (4).

Преобразования полученного решения при выполнении условия fприводят к равенству t -x(t) - w0(t) = K t, ; A(·) A(, x()) fT (, x()) v()d.

(h) (h) a С учетом свойств матрицы Коши, интегральный оператор в правой части может быть рассмотрен как обобщение сингулярного интеграла, рассмотренного в первой главе. Будем трактовать его оператор -1как восстановления значения функции F (t) = fT t, x(t) v(t) с ядром h(t, ) = K t, ; A(·).

Если при t [a, b], [a, t] функция K t, ; A(·) удовлетворяет неравенству K t, ; A(·) e-(t-), то говорят о выполнении свойства B(, ) [9].

В лемме 2.3 доказано, что при выполнении условий s1, f1, v1, v3, 0 Q, матрица Коши K t, ·; A(·) удовлетворяет свойству B(, m), (h) где = min {1()}, а 1() минимальное собственное число [a,t] A(, x()). При этих же условиях, на основании справедливости неравенства [10] A-1 2 B - A B-1 - A-1, (5) 1 - A-1 B - A b устанавливается, что F (·) ограничена. Этот факт, а также свойство a B(, m) матрицы Коши, позволяют оценить погрешность операто(h) ра восстановления:

Лемма 2.6 Пусть выполнены условия s1, f1, v1, v3, 0 Q; функция (h) (·) : (0, ) (0, ) такова, что (h), 0 при h 0; при (h) [a - (h), a) A, x() A a, x(a), v() 0 и k N. Тогда существуют положительные константы K3, K4 и h4(k) такие, что для всех h (0, h4(k)), t [a, b] справедлива оценка:

t k t (h) K t, ; A(·) F ()d - F (t) K3 + K4 F (·).

(h) a t-(h) Итогом раздела 1 главы 2 является теорема о точности виртуального управления при условии обратимости матрицы f(·, x(·)) на [a, b], послед нее гарантирует одноэлементность множества U x(·) :

Теорема 2.1 Пусть выполнены условия леммы 2.6. Тогда существуют положительные константы K5, K6 такие, что k b -(h) v(·)-v0(·) L K5 (b-a)+(h)K6 fT (·, x(·)) v(·). (6) (h) a В разделе 2 главы 2 рассматривается случай выполнения условий x1, s1, f2, v1, v3. При этом полагаем f(·, x(·)) вырожденной при t [a, b], так как иной случай рассмотрен ранее. В этой ситуации, действуя по аналогии с предыдущим разделом, приходим к использованию операции псевдообращения, которая приводит к рассмотрению оператора восстановления вида t + x(t) - w0(t) = K1 t, ; A(·) fT (, x()) v()d, (h) a здесь K1 t, ; A(·) = K t, ; A(·) P1, а P1 проектор на постоянное по t подпространство R1 A(t, x(t).

В лемме 2.8, являющейся аналогом леммы 2.3, устанавливается свой ство B, m для матрицы K1 t, ; A(·), где точная нижняя (h) граница минимальных положительных собственных значений A(t, x(t)) при t [a, b].

Ввиду имеющего место обобщения неравенства (5) (см. [11]) на случай псевдообратной матрицы, имеет место ограниченность вариации + fT (·, x(·)) v(·) на [a, b]. Поэтому оценка точности оператора восста новления с ядром K1 t, ; A(·) этой функции принимает вид, ана логичный (6) с заменой обратной матрицы на псевдообратную, а v(t) на v(t).

В третьей главе диссертации удается перенести результаты второго раздела предыдущей главы на ситуацию, когда условие f2 заменяется условием f3, то есть на случай, когда подпространство образов матрицы f(·, x(·)), меняясь во времени, сохраняет постоянную размерность.

В лемме 3.4 устанавливается, что функция P1(A(t, x(t)))K t, ; A(·) P1(A(, x())) обладает свойством B(, 4 mKU), где, как и в лемме 2.8, точ4(h) ная нижняя граница минимальных положительных собственных значений A(t, x(t)) при t [a, b]. Схема доказательства этого не очевидного, но принципиально важного для нас результата состоит в следующем: в силу свойств ортогональных проекторов Pk A(t, x(t)), k = 0, 1 существует ограниченный обратимый оператор поворота U(, t) [12] (max U-1(, t) KU ), при помощи которого вводится в рассмотрение t, матрица–функция Z(t, ) = K t, ; A(·) U(, t), являющаяся решением дифференциального уравнения с большим параметром:

Z(t, ) = Z(t, )A1(, x(); t)+ (h) +Z(t, )U-1(, t) U(, t), Z(t, t) = E (7) где матрица – коэффициент A1(, x(); t) коммутирует с проекторами.

Рассматривая A2(, x(); t) = A1(, x(); t) - (h)E, собственные числа которой при малых h отличны от нуля, и, переходя к “медленному” t - времени s =, получаем уравнение (h) Z t, t - (h)s = -Z t, t - (h)s A2 t - (h)s, x(t - (h)s); t s -(h)Z t, t - (h)s B t, t - (h)s, Z(t, t) = E, (8) где B t, t - (h)s = U-1(, t) U(, t) + E.

Отбрасывая второе слагаемое в правой части (8), приходим к “усеченному” уравнению Z t, t - (h)s = -Z t, t - (h)s A2 t - (h)s, x(t - (h)s); t, s которое будучи рассмотренным для столбцов Z[k](t, ·) матрицы Z(t, ·) распадается на систему независимых уравнений:

[k] [k] Zi (t, t - (h)s) = -A2 t - (h)s, x(t - (h)s); t Zi (t, t - (h)s), s [k] с начальными условиями Zi (t, t) = Pi[k](A(t, x(t))).

При этом в лемме 3.2 доказывается, что для решений “усеченных” [k](t, уравнений при малых значениях h имеют место оценки |Z1 t (h) [k](t, [k](t, [k](t, 2 s (h)s)| |Z1 t)|e- s, |Z0 t - (h)s)| |Z0 t)|e.

Уравнения, обладающие такими свойствами, называются э– дихотомичными [9]. Методы, изложенные в цитированной монографии, позволяют при малых h гарантировать наличие условий э–дихотомии и для уравнения (8), рассмотренного для столбцов матрицы Z(t, ·), и являющегося возмущенным по отношению к “усеченному.” При этом Z (t, t - (h)s) = P (A(t, x(t)))Z[k](t, t - (h)s) 4e[k] s.

Переходя к оценке спектральной нормы матрицы, получаем окончательный результат, который позволяет оценить погрешность оператора восстановления с ядром h(t, ) = P1(A(t, x(t)))K t, ; A(·) P1(A(, x())).

+ Лемма 3.5. Пусть F+(·) = fT (·, x(·)) v(·); выполнены условия (h) s1, v1, v3, f3, 0 Q; (h), стремятся к нулю вместе с h; при (h) [a - (h), a) v() 0, A, x() A a, x(a) ; k N. Тогда существуют положительные константы h5(k), K7 K8 такие, что при h (0, h5(k)), t [a, b] k t t 4(h) h(t, )F+()d - F+(t) K7 F+(·) + K8.

(h) t-(h) a Итогом третьей главы является Теорема 3.1. Пусть выполнены условия леммы 3.5. Тогда k 4(h) v(·) - v0(·) L K8 (b - a)+ (9) (h) b + +(h)K9 fT (·) v(·) + (h)K10(b - a) a Четвертая глава посвящена получению оценки точности метода Эйлера, примененного к виртуальной системе модели на сетке разбиения (2) [a, b], задаваемой к.д.а Dh. Рассуждения проводятся по той же схеме, что и в первой главе: в два этапа. На первом, в лемме 4.4 гарантируется существование констант K11, K12, K13, K14 таких, что h (h) h (h) |vh(t) - v0(t)| K11 + K12 + K13 + K14.

2(h) 2(h) (h) (h) Из полученной оценки непосредственно следует результат теоремы 4.1:

Пусть выполнены условия леммы 4.4. Тогда найдутся положительные константы K15, K16 такие, что h (h) vh(·) - v0(·) L K15 + K16.

2(h) 2(h) На втором этапе оценка уточняется при условии ограниченности велиh (h) чин,, за счет использования свойств линейного уравнения, 2(h) 2(h) при этом, окончательный результат представим в виде оценки, указанной в теореме 4.2:

h (h) v0(·) - vh(·) L K17 + K(h) (h) Пятая глава является заключительной. В ней на основании оценок точности виртуального управления и метода Эйлера выводятся итоговые (2) оценки точности к.д.а Dh.

(2) В первом разделе результаты относительно точности к.д.а Dh в метрике L1[a, b] на различных классах корректности, построенных в главах 2, 3, 4, сформулированы в виде теорем 5.1, 5.3, 5.4:

Теорема 5.1 Пусть выполнены условия x1, s1, f1, v1, v3, 0 Q, 1(h) = (h); существует h6 > 0 такое, что для всех h (0, h6) h (h), ограничены. Тогда найдутся положительные константы 2(h) 2(h) (2) K19, K20 такие, что верхняя оценка точности Dh в пространстве L1[a, b] имеет вид:

b k -(h) h (h) 2(h) K19 +K201(h) fT (·) v(·) + K17 + K1(h) (h) (h) a Замечание 1. В рассматриваемом случае при выборе параметров реk k+гуляризации 1(h) = (h)k+1, (h) = h2k+1, (h) = h, асимптотический (2) порядок точности Dh равен.

Показывается, что такой же порядок точности имеет место при ограh (h) ниченности величин, и выполнении: а) условий x1, s1, f2, 2(h) 2(h) v1, v3 (теорема 5.3); б) условий x1, s1, f3, v1, v3 (теорема 5.4).

Замечание 2. Полученный порядок точности является неулучшаемым.

В теореме 5.2 в равномерной метрике рассматривается асимптоти(2) ческий порядок точности к.д.а Dh, примененного к системе (1) при закрепленном левом конце управления (v(a) = va) и выполнении условий v2, f1, x1, s1, v1. Показывается, что при выборе параметров регуляризации, рекомендуемом в замечании 1, этот порядок равен.

Замечание 1. При замене в теореме 5.2 условия f1 на f3, результат остается справедивым, но уже для нового нормального управления v(·) - P1 A(·, x(·)) v(a).

Замечание 2. Указанный порядок является асимптотически оптимальным.

Замечание 3. Полученные в разделе 5.1 относительно асимптотиче(2) ского порядка точности к.д.а Dh результаты остаются справедливыми и (1) для к.д.а Dh в случае выполнения условий x1, v1, v3.

В этом же разделе подводятся итоги моделирования управления с ис(2) пользованием к.д.а Dh с помощью разработанного программного комплекса. Они полностью согласуются с результатами, полученными аналитически.

(2) В разделе 5.2 приводится сравнение применения к.д.а Dh и других методов. При этом отмечается его преимущество, достигаемое за счет действия на интервалах непрерывности восстанавливаемого управления, на которые он наиболее заострен.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»