WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

Рис. 8. Данные по экономике США (1900-2001) В третьем параграфе рассматривается математическая модель, основанная на модификации классических моделей экономического роста. Выделяются три основных производственных фактора: капитальные затраты (капитал), затраты на рабочую силу (труд) и полезная работа. Эти производственные факторы используются для описания однородного выпуска внутреннего валового продукта (ВВП) и являются фазовыми переменными управляемой системы. Инвестиции в капитал специфицируются как управляющие параметры. Функция полезности определяется как интегральный индекс потребления логарифмического типа, дисконтированный на бесконечном интервале времени. Формулируется задача оптимального управления на бесконечном горизонте. Задача состоит в максимизации дисконтированного функционала при заданных ограничениях на управляющие параметры и начальных значениях фазовых переменных. Решение задачи оптимального управления основано на результатах первой главы диссертации и осуществляется в рамках принципа максимума Понтрягина для задач с бесконечным горизонтом.

В четвертом параграфе для доказательства локальной оптимальности траектории, полученной в модели с LINEX производственной функцией, выполняется анализ векторного поля соответствующей гамильтоновой системы в принципе максимума Понтрягина. Показано, что оптимальная траектория, выходящая из начального состояния и удовлетворяющая условию трансверсальности на бесконечном горизонте, сходится к установившемуся состоянию.

Качественный портрет векторного поля изображен на рис. 9 и показывает скорости гамильтоновой системы, направляющие оптимальную траекторию в установившееся состояние.

Рис. 9. Векторное поле гамильтоновой системы.

В шестом параграфе представлены результаты вычислительного эксперимента для модели с линейно-экспоненциальной (LINEX) производственной функцией. Получен график оптимальных инвестиций и выполнено сравнение синтезированных траекторий оптимального экономического роста с реальными данными. На основе этого сравнения дан качественный анализ свойств оптимальных траекторий роста и выполнено прогнозирование роста.

В частности, результаты моделирования и прогнозирования демонстрируют S-образную форму траекторий роста и указывают уровни насыщения роста, порожденные устойчивыми состояниями экономической системы.

На рис. 10 оптимальная траектория роста капитала на одного рабочего изображена темной линией, а реальные данные по экономике США изображены серой линией. Видно, что полученная синтезированная траектория адекватно отражает тренды реальных данных. Стоит заметить, что оптимальная траектория даже отслеживает реструктуризацию данных в послевоенный экономический кризис.

В седьмом параграфе предложенный подход реализуется для двухфакторных моделей экономического роста. Рассматривается модель с ростом полезной работы как экзогенного фактора производства. Получены оптимальные траектории для двухфакторной модели и выполнено сравнение с реальными данными.

Рис. 10. Сравнение оптимальной траектории с реальными данными.

В третьей главе рассматривается приложение динамической модели оптимального времени остановки к задаче оптимизации инновационного процесса в конкурентоспособной рыночной среде. Третья глава состоит из шести параграфов.

В первом параграфе строится динамическая модель инновационного процесса, осуществляемого в рыночной среде. Модель сфокусирована на трех задачах: (1) оценка динамики рынка, (2) оптимизация времени коммерциализации, (3) синтез оптимального инвестиционного сценария. Динамика с эффектом запаздыванием адаптируется для описания управляемого процесса инвестирования. Построение функционалов прибыли и затрат основано на интегральной функции платы в задаче оптимального управления с коэффициентами дисконтирования. При описании динамики рынка используется вероятностно-статистическая модель. Вероятность присутствия технологических конкурентов на рынке определяется функцией распределения, которая строится на основании эконометрического анализа. Доказывается, что решение задачи оптимизации может быть разбито на два уровня: на первом уровне производится синтез обратной связи и вычисляются функции цены;

на втором уровне оптимизируется функция прибыли по времени остановки.

В задаче оптимального инвестирования предполагается, что текущий фонд нематериальных активов подчинен динамике роста с запаздыванием и эффектами устаревания (t) = -x(t) + ra(t). (8) Здесь параметр > 0 – коэффициент устаревания (амортизации) технолоАйвазян С.А., Мхитарян В.С., Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. 1022 с.

гии, параметр управления ra – инвестиции в НИР (измеряемые в денежном эквиваленте), параметр, 0 < < 1 – коэффициент эффективности затрат.

Инноватор, начинающий процесс инновации в момент времени t0 с начального уровня x0 фонда нематериальных активов x(t), должен достигнуть ко времени коммерциализации ta уровня фонда нематериальных активов xa, xa > x0, который является необходимым для запуска процесса коммерциализации разработанной технологии. В инвестиционном процессе задачей инноватора является минимизация инвестиционных затрат ta J(t0, x0, ta, xa, ra(·),,, ) = e-sra(s)ds, tra = ra(s) = ra(s, t0, x0, ta, xa,,, ). (9) Здесь параметр > 0 – постоянный коэффициент дисконтирования, а функционал (9) представляет приведенную стоимость инвестиционного финансового потока (NPV).

Во втором параграфе рассматривается задача синтеза оптимального уровня инвестиций. На основе принципа максимума Понтрягина строится оптимальный план для стратегии инвестирования, который зависит от начального и конечного уровня фонда нематериальных активов. Выполняется анализ свойств оптимального управления и оптимальных траекторий системы, включая анализ чувствительности по параметрам модели. Строится оптимальная обратная связь, которая базируется на текущем состоянии фонда нематериальных активов и генерирует оптимальные траектории роста технологии. В результате решения получается множество функций затрат, зависящих от моментов времени остановки. Исследуются асимптотические свойства функции затрат.

Выражение для оптимального плана инвестирования имеет вид a (xae(t -s) - x0e-(s-t )) u0 = u0(s, t0, x0, ta, xa,,, ) =. (10) a (e(t -s) - e-(s-t )) Здесь функция = (,, ) задана соотношением ( + ) = (,, ) =. (11) ( - 1) Замечание 1 Оптимальный план инвестирования u0(s) есть экспоненциально растущая функция времени s на временном отрезке [t0, ta] с темпом роста ( + )/( - 1).

В третьем параграфе доказываются достаточные условия оптимальности полученного решения на основании исследования свойства стабильности функции цены в задаче оптимального управления. Доказывается, что предложенная разрешающая функция является полунепрерывной снизу и удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби-Беллмана в точках дифференцируемости. На основании этого устанавливается, что она обладает свойством u-стабильности. Кроме того, проверяются условия теоремы об альтернативе Н.Н. Красовского, А.И. Субботина посредством построения последовательности v-стабильных полунепрерывных сверху функций, аппроксимирующих снизу разрешающую функцию. Окончательно делается вывод о том, что разрешающая функция является функцией цены для задачи оптимального управления.

Теорема 3 Функция (t, x) w0(t, x) есть полунепрерывная снизу функция по (t, x), является u-стабильной в области D0 и удовлетворяет краевому условию при t = ta. Кроме того, для любой точки (, y, ) int hypo w0 :

< w0(, y) из внутренности подграфика функции (t, x) w0(t, x) найдется полунепрерывная сверху, v-стабильная функция (t, x) v(t, x), такая что для нее выполняются следующие два условия:

v(, y); (12) v(t, x) w0(t, x) при всех (t, x) [, ta] R. (13) Поэтому, согласно теореме об альтернативе функция (t, x) w0(t, x) является функцией цены в задаче управления, что обеспечивает необходимые и достаточные условия оптимальности построенных решений.

В четвертом параграфе решается задача выбора инвестиционного сценария и оптимизации времени коммерциализации. Доказано, что экстремумы функции прибыли соответствуют точкам пересечения двух функций, одна из которых является функцией распределения рынка, а другая описывается кривой предельных затрат инвестиционного процесса. Использованы конструкции супердифференциалов для исследования свойств точек экстремума для моделей с кусочно-гладкими функциями распределения рынка. На основании этого анализа предложен алгоритм построения оптимальной стратегии инвестирования. Структура алгоритма состоит в следующих шагах:

• построение функции цены для задачи оптимального управления для инвестиционного уровня;

• вероятностное моделирование функции распределения, описывающей состояние рынка;

• определение точек пересечения функции предельных затрат и функции распределения для оценки оптимального времени остановки;

• выбор оптимального сценария и отслеживание его по принципу обратной связи.

В пятом параграфе выполняется калибровка параметров модели для реализации вычислительных экспериментов. Проведен эконометрический анализ модели на данных для компаний электронного машиностроения Японии, в частности, анализа рынка принтеров на примере фирмы Canon.

В шестом параграфе приведены результаты вычислительных экспериментов, реализующих алгоритм построения оптимального времени коммерциализации для различных функций распределения рынка. В первый примере для описания рынка выбрана модельная кусочно-непрерывная функция распределения типа Хэвиcайда (см. рис. 11). Во втором примере эксперимент выполнен для экспоненциального распределения рынка, калиброванного по данным. Элементы алгоритма иллюстрируются результатами вычислительных экспериментов.

Рис. 11. Точки максимума функции прибыли.

Основные результаты диссертации 1. Изучены достаточные условия оптимальности, связанные со свойством вогнутости гамильтониана, для принципа максимума Понтрягина в задачах управления с бесконечным горизонтом. Исследованы свойства оптимальных траекторий в окрестности установившихся состояний гамильтоновой системы.

2. Разработан алгоритм построения оптимального управления для задач с кусочно-определенными гамильтонианами. Получены оценки точности построения для предложенного алгоритма, которые устанавливают связь между параметрами точности в фазовом пространстве и параметрами точности функциональных показателей. Предложены конструктивные формулы построения нелинейных регуляторов для динамической системы роста.

3. Изучены свойства функции цены в многоуровневых задачах оптимизации. Предложен алгоритм построения управления по выбору оптимального времени остановки динамического процесса.

4. Предложенные алгоритмы реализованы в моделях экономического роста и оптимизации инвестиций, для которых проведен эконометрический анализ на реальных данных.

Работа поддержана грантами Российского фонда фундаментальных исследований, 05-01-00601, 05-01-08034; грантом Российского гуманитарного научного фонда, 05-02-02118a; грантом поддержки ведущих научных школ, НШ8512.2006.1; грантом Фонда содействия отечественной науке (грант для аспирантов РАН, 2006-2007 г.г.); грантом Президиума Уральского отделения РАН (грант для молодых ученых, 2006 г.); грантом программы “SIMOT” Министерства образования, науки и технологии Японии; Международным институтом прикладного системного анализа (IIASA).

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах 1. Красовский А.А., Тарасьев А.М., Специальные статистические распределения в динамической модели инновационного процесса // Вестник Уральского государственного технического университета – УПИ, 2006. № 6 (77). С. 17-33. усл. печ. л. 1,03.

2. Красовский А.А., Тарасьев А.М., Динамическая оптимизация инвестиций в моделях экономического роста // Автоматика и телемеханика, 2007. № 10. С. 38-52.

усл. печ. л. 1,22.

Другие публикации 3. Красовский А.А., Тарасьев А.М., Динамические модели и эконометрический анализ в бизнес-планировании // Вестник Гуманитарного университета, 2005. Т. 1 (6). С. 35-73.

4. Красовский А.А., Тарасьев А.М., Моделирование оптимального экономического роста // Тезисы докладов научного семинара “Математическая теория оптимального управления и теория дифференциальных включений”, Москва: МИРАН-МГУ, 2006. С. 26.

5. Красовский А.А., Тарасьев А.М., Оценивание производственных факторов в задаче оптимального экономического роста // Тезисы докладов конференции “Устойчивость, управление и моделирование динамических систем”, Екатеринбург: УрГУПС, 2006.

С. 48.

6. Красовский А.А., Тарасьев А.М., Алгоритмы построения оптимальных траекторий в моделях экономического роста // Тезисы докладов Международной конференции “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы” (XXII совместное заседание Московского математического общества и семинара им. А.Г. Петровского), М.: Изд-во МГУ, 2007. С. 164.

7. Красовский А.А., Тарасьев А.М., Прогнозирование оптимального экономического роста // Сборник материалов Международной научной конференции “Информационноматематические технологии в экономике, технике и образовании”: Проблемы математического моделирования и информационно-аналитической поддержки принятия решений, 2007. Вып. 3. С. 10-18.

8. Красовский А.А., Тарасьев А.М., Оптимизация времени остановки в многоуровневых динамических системах // Вестник Удмурдского университета, Вып. 2, 2008. C. 64-65.

9. Krasovskii, A.A., Assessment of the Impact of Aggregated Economic Factors on Optimal Consumption in Models of Economic Growth // IIASA Working Paper IR-06-050, Laxenburg: IIASA, 2006. 46 P.

10. Krasovskii, A.A., Dynamics of Investments to Efficiency Factors in the Growth Model with the LINEX Production Function // Proceedings of the IIASA-Tokyotech Workshop on Hybrid Management of Technology in the 21st Century, International Institute for Applied Systems Analysis, Laxenburg, 2007. P. 7.

11. Krasovskii, A.A., Tarasyev, A.M., Assessment of Sensitivity of Stochastic Solutions in the Problem of Optimal Timing // Proceedings of IFAC-IIASA Workshop “New Approaches in Dynamic Optimization to Assessment of Economic and Environmental Systems”, Laxenburg: IIASA, 2006.

12. Krasovskii, A.A., Tarasyev, A.M, Optimization of Investment Dynamics in Economic Growth Modeling // Abstracts of the 14th International Workshop on Dynamics and Control, Institute for Problems in Mechanics and Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences, Moscow-Zvenigorod, 2007. P. 46.

Pages:     | 1 | 2 || 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»