WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

Теоретическая и практическая ценность Полученные в работе теоретические результаты направлены на исследование задач управления с бесконечным горизонтом. Эти результаты могут быть использованы для качественного анализа динамических свойств и свойств установившихся состояний гамильтоновых систем. Выполненные исследования позволяют конструировать алгоритмы построения оптимальных траекторий и оценивать их точность. Предложенные алгоритмы могут быть использованы для построения решений в экономических моделях роста и оптимизации инвестиций. Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты и разработанные алгоритмы могут быть применены в эконометрическом моделировании. В частности, предложенные конструкции были применены в моделях экономического роста с различными типами производственных функций. Результатом этого моделирования явился качественный анализ синтезированных модельных траекторий, который может быть использован при прогнозировании экономического развития. Анализ свойств функций цены и оптимального времени остановки динамических процессов может быть использован при моделировании инвестиционных процессов. В частности, проведено моделирование оптимальной инвестиционной стратегий для инновационных технологических процессов.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на всероссийских и международных конференциях “Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании” (УГТУ-УПИ, Екатеринбург, 2005-2007 гг.), на научном семинаре “Математическая теория оптимального управления и теория дифференциальных включений” (МИРАН-МГУ, Москва, 12-13 октября 2006 г.), конференции “Устойчивость, управление и моделирование динамических систем”, (УрГУПС, Екатеринбург, 15-17 ноября 2006 г.), на международной конференции “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы” (XXII совместное заседание Московского математического общества и семинара им. А.Г. Петровского, МГУ, Москва, 21-26 мая 2007 г.), the 14th International Workshop on Dynamics and Control (Institute for Problems in Mechanics and Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences, Moscow-Zvenigorod, 2007), the 7th International EUROGEN’2007 Conference “Evolutionary and Deterministic Methods for Design, Optimization and Control with Applications to Industrial and Societal Problems”, (University of Jyvskyl, Finland, June 11-13, 2007), The 22nd European Conference on Operational Research - EURO XXII (University of Economics, Prague, Czech Republic, July 8-12, 2007), IIASA-Tokyotech Workshop on Hybrid Management of Technology in the 21st Century (International Institute for Applied Systems Analysis, Laxenburg, Austria, September 8-9, 2007), the 11th IFAC Symposium “Computational Economics & Financial and Industrial Systems” – CEFIS’2007 (Dou University of Istanbul, Turkey, October 9-11, 2007), семинарах кафедры “Мультимедиа технологии” факультета ИМТЭМ, УГТУ-УПИ, семинарах отдела динамических систем ИММ УрО РАН, семинарах кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва, семинарах по экономическому росту Международного института прикладного и системного анализа, IIASA, г. Лаксенбург, Австрия.

Публикации Основные материалы диссертации опубликованы в 17 работах. В совместных работах [1]-[8], [11]-[17] научному руководителю А.М. Тарасьеву принадлежит постановка задач. В работах в соавторстве [13], [15] А.В. Кряжимскому принадлежит постановка задач. В совместной работе [17] Ч. Ватанабе предоставил экономические данные.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация глав, параграфов и утверждений сквозная. Объем работы составляет 130 страниц текста. Библиография содержит 190 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ Первая глава диссертации посвящена задачам управления с вогнутыми гамильтонианами на бесконечном горизонте. Она состоит из семи параграфов.

В первом параграфе строится модель оптимального управления на бесконечном горизонте. Такие модели возникают в задачах экономического роста.

Обсуждается вариант модели Солоу-Шелла оптимального инвестирования.

Описываются основные переменные, включая управляющие параметры модели. Формулируется задача оптимального управления инвестициями.

Задача управления. В стандартной постановке задача состоит в максимизации функционала + J = ln f k(t) + ln 1 - s(t) e-tdt - max (1) (k(·),s(·)) при следующих ограничениях:

k(t) = s(t)f(k(t)) - k(t), k(0) = k0, s [0, a], a < 1, (2) где фазовая переменная k обозначает капитал на душу населения, f(k) – производственная функция, инвестиции s есть управляющая переменная, измеримая по времени, параметры, = n + µ, k0 суть заданные положительные числа. Параметр 0 < a < 1 есть положительное число, которое отделяет правую границу параметра управления от единицы.

Во втором параграфе приводятся необходимые условия принципа максимума Понтрягина для задач с бесконечным горизонтом, развитые в работах С.М. Асеева и А.В. Кряжимского. Исследуются свойства гамильтонианов, отвечающих различным режимам управления. Показано, что при достаточно общих условиях максимизированный гамильтониан является гладкой функцией. При условии строгой вогнутости производственной функции на основе методов выпуклого анализа установлено, что максимизированный гамильтониан является строго вогнутой функцией по фазовой переменной. Именно, максимизированный гамильтониан склеивается из нескольких гладких строго вогнутых частей таким образом, что результат склейки является гладким и строго вогнутым по фазовой переменной. Дано описание областей, отвечающих разным режимам формирования оптимального управления, и определены линии склейки этих областей. Получены достаточные условия оптимальности траекторий роста для класса систем с вогнутыми производственными функциями.

Теорема 1 При выполнении условий лемм, обеспечивающих свойства гладкости максимизированного гамильтониана (k, ) по переменным (k, ) и его строгой вогнутости по переменной k, принцип максимума Понтрягина дает достаточные условия для нахождения оптимального решения в задаче управления (1)-(2).

В третьем параграфе доказано существование и единственность установившегося состояния гамильтоновой системы. Выполнен анализ свойств собственных чисел и собственных векторов линеаризованной системы в окрестности установившегося состояния. Дано описание поведения нелинейной гамильтоновой системы на основе результатов качественной теории дифференциальных уравнений. Этот анализ позволяет описать пропорции основных экономических факторов и тренды оптимального роста.

Рокафеллар Р.Т., Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 469 с.

Hartman, Ph., Ordinary Differential Equations. N.Y., London, Sydney: J. Wiley and Sons, 1964.

Лемма 1 Существует единственное установившееся состояние (k, z) гамильтоновой системы уравнений, которое вычисляется по формулам:

f (k) = +, (3) 1 f(k) = -.

z k При этом справедливы оценки k > 0, 0 < z <. (4) Здесь z = k, – сопряженная переменная.

В четвертом параграфе на основе анализа, выполненного во втором и третьем параграфах, предлагается алгоритм построения оптимальной траектории методом склейки динамики гамильтоновых систем. Алгоритм состоит из следующих шагов:

• численная оценка установившегося состояния гамильтоновой системы методом последовательных приближений;

• линеаризация гамильтоновой системы в окрестности установившегося состояния;

• вычисление собственных чисел и собственных векторов линеаризованной системы;

• построение куска траектории из установившегося состояния в направлении собственного вектора, отвечающего отрицательному собственному числу;

• интегрирование нелинейной гамильтоновой системы в обратном времени от характеристического состояния с учетом переключения кусочноопределенных гамильтонианов до начального состояния системы;

• развертка интегрированной траектории в прямом времени и масштабирование временной шкалы.

В пятом параграфе получены оценки точности построения для предложенного алгоритма, которые устанавливают связь между параметрами точности в фазовом пространстве и параметрами точности функциональных показателей.

Теорема 2 Точность алгоритма по функционалу оценивается точностью аппроксимации начальных условий в алгоритме. В зависимости от соотношений параметров оценок роста возможны три случая оценки:

• в случае, когда модуль липшицевости динамики системы строго меньше параметра дисконтирования, точность алгоритма по функционалу имеет порядок 2;

• в случае, когда модуль липшицевости динамики системы совпадает с параметром дисконтирования, точность алгоритма по функционалу имеет порядок 2 ln ;

• в случае, когда модуль липшицевости динамики системы строго больше параметра дисконтирования, точность алгоритма по функционалу +имеет порядок, где > 0.

В шестом параграфе рассматривается вопрос о стабилизации системы в установившемся состоянии. Для этого предлагаются несколько алгоритмов управления по принципу обратной связи, которые стабилизируют систему.

Выделяются два основных типа таких регуляторов. Первый регулятор связан со значением оптимального управления в установившемся состоянии, поэтому мы будем называть его регулятором установившегося состояния. Второй регулятор основан на аппроксимации оптимальной траектории в направлении собственного вектора, отвечающего отрицательному собственному числу линеаризованной гамильтоновой системы, в окрестности установившегося состояния. Второй регулятор будем называть регулятором гамильтоновой системы.

Лемма 2 Регулятор k s0(k) = (5) f(k) стабилизирует систему в установившемся состоянии.

Лемма 3 Регулятор гамильтоновой системы k s0 = 1 - (6) (z + (k - k))f(k) стабилизирует систему в установившемся состоянии. Здесь есть коэффициент наклона собственного вектора, отвечающего отрицательному собственному значению линеаризованной гамильтоновой системы в окрестности установившегося состояния.

В седьмом параграфе приведены вычислительные эксперименты, основанные на реальных данных и иллюстрирующие конструкции алгоритма.

На рис. 1-6 изображены результаты вычислительных экспериментов: на рис. 1 показана конфигурация областей определения максимизированного гамильтониана и линий склейки; на рис. 2 изображен трехмерный график значений максимизированного гамильтониана; на рис. 3 иллюстрируется алгоритм построения оптимальной траектории, выходящей из установившегося состояния; на рис. 4 показаны значения Оптимальных инвестиций для двух режимов оптимального управления; на рис. 5 проведено сравнение оптимальных траекторий роста капитала с реальными данными; на рис. 6 проведено Рис. 1. Конфигурация областей максимизированного гамильтониана Рис. 2. График максимизированного гамильтониана Рис. 3. Установившееся состояние и оптимальная траектория Рис. 4. Оптимальные инвестиции Рис. 5. Сравнение траекторий роста капитала Рис. 6. Сравнение оптимальных траекторий роста объемов производства сравнение оптимальных траекторий роста объемов производства с реальными данными для экономики Японии.

Во второй главе рассматривается задача оптимизации инвестиций в процессе экономического роста для модели с производственной функцией специального вида, которая называется линейно-экспоненциальной (LINEX) производственной функцией. Вторая глава состоит из пяти параграфов.

В первом параграфе предлагается методологическая схема для исследования моделей экономического роста. Отличительной чертой предлагаемой методологии является то, что анализ роста экономики основан не на прямой аппроксимации реальных макроэкономических данных. Эконометрическому анализу подвергаются только параметры производственной функции. Далее на основе этой функции строится математическая модель инвестирования и решается побочная задача оптимального управления на бесконечном горизонте. В результате решения задачи оптимального управления численно строятся траектории оптимального роста. Проводя сравнение полученных синтезированных оптимальных траекторий модели с трендами реальных данных, можно судить об адекватности выбранной модели. Такой подход позволяет рассматривать экономический рост как динамический процесс и выявлять некоторые закономерности, движущие экономикой. Конструкция методологической схемы указана на рис. 7.

Рис. 7. Методологическая схема.

Во втором параграфе рассматривается линейно-экспоненциальная (LINEX) производственная функция, используемая для анализа макроэкономических показателей США. Для калибровки производственной функции выполняется эконометрический анализ, включающий нелинейные регрессии с ограничениями на параметры. Особенностями этого анализа является выявленная авторегрессионная зависимость в данных. В связи с этим эффектом делается коррекция обобщенного метода наименьших квадратов для авторегрессии с почти единичным корнем.

Исследование выполняется для LINEX производственной функции, представленной выражением K L U 1 2 F (K, L, U) = a0Ka La U(1-a -a2) exp a3 + a4 + a5. (7) L U K Здесь K – капитал, L – труд, U – полезная работа, ai, i = 0, 1,.., 5 – постоянные коэффициенты. Можно заметить, что в отличие от классических производственных функций, таких как функция Кобба-Дугласа, производственная функция с постоянной эластичностью предельной нормы замещения и т.п., LINEX производственная функция наряду со степенной частью имеет экспоненциальный множитель, содержащий комбинацию дробей из производственных факторов.

Эконометрический анализ выполнен на данных по экономике США при условии, что коэффициенты эластичности неотрицательны. Временные ряды по ВВП и производственным факторам представлены значениями за каждый год в течение 101 года (1900-2001 гг.). Значения всех переменных приведены на 1900 г. Иллюстрация данных приведена на рис. 8. Полезная работа измеряется в экзаджоулях (ЭДж=1018 Дж); уровень полезной работы в 1900 г. составлял 0,64 ЭДж. Труд измеряется в индексе отработанных часов. Капитал измеряется в денежном эквиваленте (миллиарды долларов США); уровень капитала в 1900 г. был $ 2021 млрд. Символом Y обозначен ВВП, в 1900 г.

уровень ВВП составлял $ 354 млрд.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»