WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

Результаты построения системы сингулярных поверхностей в исходных координатах x1, x2 приведены на рис. 7 и 8. Обозначения подрисунков соответствуют вариантам ориентации отрезка Q. Цифровые выноски сохраняют тот же смысл, что и на рис. 5. Все рисунки сделаны в одинаковом масштабе.

На рисунках а) сингулярные поверхности имеют в целом сходную структуру с тем отличием, что на рис. 8 протяженность в обратном времени системы поверхностей меньше в силу б возможностей ольших второго игрока. На рисунках б) видны различия в изменении системы поверхностей: в случае сильного первого игрока увеличивается экивокальная поверхность, а в случае слабого первого игрока рассеивающая. Наконец, в случае в), когда имеет место однотипность объектов и игра фактически сводится к задаче управления, остается единственный тип поверхности, соответствующий более сильному игроку. В случае сильного первого игрока это поверхность переключения (со скачкообразным изменение оптимального управления обоих игроков), а в случае слабого первого игрока рассеивающая сингулярная поверхность (на ней также скачком меняются оптимальные управления обоих игроков).

Подчеркнем, что когда игра превращается в задачу управления, то полностью пропадает экивокальная поверхность. Она не может существовать в задачах управления.

Численные результаты, полученные при помощи алгоритмов численного глобального построения и классификации сингулярных поверхРис. 7: Изменение структуры син- Рис. 8: Изменение структуры сингулярных поверхностей в игре (8) гулярных поверхностей в игре (8) при сближении отрезков P и Q в при сближении отрезков P и Q в случае сильного первого игрока случае слабого первого игрока ностей, сравнивались с известными в литературе результатами аналитических исследований. Алгоритм для случая скалярных управлений был применен к задаче, исследованной в работе В.С. Пацко и С.И. Тарасовой18. Алгоритм для случая строго выпуклых ограничений Пацко В.С., Тарасова С.И. Свойства сингулярной поверхности в игре сближения второго порядка // Исследования задач минимаксного управления, Ред.

А.И.Субботин, В.С.Пацко. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. С. 48–65.

на управления игроков тестировался на задаче воздушного перехвата, изучавшейся в упоминавшихся ранее статьях J.Shinar. Получено хорошее совпадение, что свидетельствует о разумности процедур, заложенных в алгоритмы.

В параграфе 3.3.9 для случая скалярных управлений описаны закономерности изменения типов сингулярных поверхностей с ростом значения функции цены. При обосновании соответствующей схемы использована теорема об уровневом выметании из второй главы.

Основные результаты, выносимые на защиту 1) исследование численными методами феномена узких шеек множеств уровня функции цены в линеаризованной задаче воздушного перехвата, а также в линейных дифференциальных играх типа обобщенный контрольный пример Л.С.Понтрягина ;

2) формулировка и доказательство теоремы о свойстве уровневого выметания функции цены;

3) разработка алгоритмов автоматического глобального построения сингулярных поверхностей для двух классов линейных дифференциальных игр.

Автор работы глубоко благодарен научному руководителю к.ф.-м.н.

Пацко Валерию Семеновичу за постоянное внимание к работе.

Публикации по теме диссертации [1] Ганебный С.А., Кумков С.С., Пацко В.С. Построение управления в задачах с неизвестным уровнем динамической помехи // Прикл.

математика и механика. 2006. Т.70. Вып. 5. C. 753–770.

[2] Kumkov S.S., Patsko V.S. Parallel algorithm for construction of singular surfaces in linear differential games. Analysis of singular surfaces // Proceedings of the Eighth International Colloquium on Differential Equations, August 18-23, Plovdiv, Bulgaria, 1997. Bainov D. (Ed.).

Utrecht, the Netherlands, 1998. pp. 275–284.

[3] Кумков С.С. О разработке параллельной программы решения линейных дифференциальных игр // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений, Вып. 3. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. С. 145–164.

[4] Kumkov S.S., Patsko V.S. Level sets of value function and singular surfaces in linear differential games // A Proceedings Volume from the IFAC Workshop on Nonsmooth and Discontinuous Problems of Control and Optimization, Chelyabinsk, Russia, 17-20 June 1998.

Batukhtin V.D., Kirillova F.M., Ukhobotov V.I. (Eds.). Pergamon Press, Great Britain, 1999. pp. 143–148.

[5] Averbukh V.L., Kumkov S.S., Shilov E.A., Yurtaev D.A., and Zenkov, A.I. Specialized Scientific Visualization Systems for Optimal Control Application // A Proceedings Volume from the IFAC Workshop on Nonsmooth and Discontinuous Problems of Control and Optimization, Chelyabinsk, Russia, 17-20 June 1998. Batukhtin V.D., Kirillova F.M., and Ukhobotov, V.I. (Eds.). Pergamon Press, Great Britain, 1999. pp. 28–33.

[6] Kumkov S.S., Patsko V.S. Backward procedures in linear differential games of small dimension // Modern Applied Mathematics Techniques in Circuits, Systems and Control. Mastorakis N. (Ed.). World Scientific and Engineering Society Press, 1999. pp. 138–143.

[7] Averbukh V.L., Kumkov S.S., Patsko V.S., Pykhteev O.A., and Yurtaev D.A. Specialized visualization systems for differential games // Progress in Simulation, Modelling, Analysis and Synthesis of Modern Electrical and Electronic Devices and Systems. Mastorakis N. (Ed.). World Scientific and Engineering Society Press, 1999. pp. 301–306.

[8] Жаринов А.Н., Кумков С.С. Построение пучка оптимальных движений в линейной дифференциальной игре // Проблемы теоретической и прикладной математики, Труды 31-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2000. С. 87–88.

[9] Кумков С.С., Пацко В.С. Максимальные стабильные мосты в контрольном примере Л.С.Понтрягина // Вестник Удмуртского Университета (Математика, Механика), Ижевск. 2000. № 1.

C. 92–103.

[10] Kumkov S.S., Patsko V.S., Shinar J. Level Sets of the Value Function in Linear Differential Games with Elliptical Vectograms // Proceedings of the 11th IFAC Workshop Control Applications of Optimization (CAO 2000), (July 3-6, 2000, St.Petersburg, Russia), Vol. 2. Zakharov V.

(Ed.). Saint-Petersburg, 2000. pp. 579–584.

[11] Averbukh V.L., Kumkov S.S., Pykhteev O.A., and Yurtaev D.A. Visualization of Level Sets and Singular Surfaces in Differential Games // Proceedings of the 15th Conference on Scientific Computing ALGORITMY 2000, Vysoke Tatry Podbanske, Slovakia, September 10-15, 2000. Handlovicova A., Komornikova M., Mikula K., and Sevcovic D.

(Eds.). Slovak University of Technology, Bratislava Faculty of Civil Engineering Department of Mathematics and Descriptive Geometry, 2000. pp. 196–206.

[12] Кумков С.С. О разработке параллельной программы решения линейных дифференциальных игр // Сборник трудов конференции Высокопроизводительные вычисления и их приложения, Черноголовка, 30 октября 2 ноября 2000 г. М: Изд-во МГУ, 2000.

С. 268–271.

[13] Kumkov S.S., Patsko V.S. Construction of Singular Surfaces in Linear Differential Games // Annals of the International Society of Dynamic Games, Vol. 6. Altman E., Pourtallier O. (Eds.). Birkhauser, Boston, 2001. pp. 185–202.

[14] Жаринов А.Н., Кумков С.С. Построение пучка оптимальных движений в линейной дифференциальной игре с эллиптическими вектограммами // Проблемы теоретической и прикладной математики:

Труды 33-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2002. С. 239–243.

[15] Kumkov S.S., Patsko V.S., Shinar J. On level sets with narrow throats in linear differential games // International Game Theory Review.

2005. Vol. 7. No. 3, September. pp. 285–312.

[16] Kumkov S.S., Patsko V.S. Level Sweeping of the Value Function in Linear Differential Games // Annals of the International Society on Dynamic Games, Vol.8. Haurie A., Raghavan T.E.S. (Eds.).

Birkhauser, Boston, 2006. pp. 23–37.

Кумков Сергей Сергеевич ОСОБЕННОСТИ МНОЖЕСТВ УРОВНЯ ФУНКЦИИ ЦЕНЫ В ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ Автореферат Подписано в печать 19.04.Формат 60x84 1/16. Объем 2 п.л.

Тираж 150 экз.

Pages:     | 1 | 2 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»