WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Из этого же рисунка видно, что при t>tr величина выходит на плато и начинает колебаться вблизи некоторого значения : = / c = 0,471± 0,021. Полученное численное значение воспроизводилось при различных начальных условиях и малой вариации управляющих параметров. Величина =0.471c названа в диссертации аналогом длины пути перемешивания по Прандтлю для развитой изотропной турбулентности, поскольку выражение для ее расчета напоминает выражение Прандтля для длины пути перемешивания:

= y, где y – расстояние от обтекаемой поверхности, а =0,4. Тогда величину = условились называть приведенным аналогом длины пути перемешивания для развитой турбулентности. Физический смысл аналога длины пути перемешивания состоит в том, что это среднее максимальное расстояние, на которое расходятся фазовые траектории по пульсациям пространственного масштаба с течением времени. Аналогичная картина наблюдается при расхождении фазовых траекторий по скорости пульсаций (=/t).

Показатель Ляпунова в таких системах определяется по наклону касательной к графикам (t) и (t) (рис. 9). Знак и величина этого показателя позволяют судить о степени хаотичности системы. Так, при положительных, но конечных показателях Ляпунова (>0, ) система будет хаотической (турбулентный режим течения). При 0 система будет иметь регулярный, периодический характер (ламинарный режим течения).

Во второй главе диссертации в анализ развитой турбулентности вводится энтропия Колмогорова K0, которая пропорциональна скорости потери информации о состоянии системы с течением времени. Для Рис. турбулентных пульсаций такая постановка является очень важной, так как благодаря этому может быть оценено время жизни фазовой траектории tr (время перемешивания): tr = (1/K0 )ln(1/ 0)= (1/0.17)ln(1/10-9)121.3. За это время система полностью забывает начальные условия и при t>tr ее уже нельзя вернуть в исходное состояние.

Энтропия Колмогорова равна сумме положительных показателей Ляпунова (K0=>0 - для одномерной задачи) и как показатель Ляпунова, может служить своеобразным индикатором периодического (K0=0), хаотического (K0>0, K0 ) или случайного (K0) поведения пульсационных характеристик.

Следуя Тейлору, было получено выражение для коэффициента турбулентной диффузии жидких частиц в развитом турбулентном потоке: DT = 2NL или DT = 2 L.

Здесь NL - наиболее длительный интервал времени, в течение которого частица в среднем испытывает перемещение в данном направлении; L- приведенный масштаб вихревой диффузии. Численные расчеты показали, что для развитой изотропной турбулентности в инерционном интервале L1.382103 см. при внешнем масштабе турбулентности с3.см. Несложно убедиться в том, что для инерционного интервала справедливо приближенное равенство 2 0 2 = a. Величина NL по своему физическому смыслу соответствует величине tr - времени забывания начальных условий. Тогда DT 1.6102 см2/c, что по порядку величины соответствует экспериментальным данным: DTэксп=300500 см2/c.

В диссертации показывается, что элементарный фазовый объем сжимается экспоненциально во времени, что свидетельствует о диссипативном характере рассматриваемой системы (6).

В третьей главе путем интегрирования НДУ (6) на конечном временном промежутке производится переход к дискретной модели - одномерному отображению для пульсаций скорости. При этом полагалось: 1) процессы распада и образования турбулентных вихрей происходят с единым периодом Y, равным периоду мелкомасштабных пульсаций t/ и подобны «ударам» по системе; 2) время релаксации внутренних напряжений в жидкости r много меньше времени ретардации (r<<); 3) влияние возмущений в течении мало ( P0 = 0 ).

В результате в диссертации было получено одномерное отображение для пульсаций скорости в виде:

B Re2(3 + a0k + b0), a0 = -1/2 1- 1 A k k+1 = k - Y, B =. (12) 1- B Re2(32 + a0) Re2 2H - (2 / 3)С k Здесь переменные kk/Vx - приведенные пульсации скорости в момент времени t=kY (k - целое число). Поскольку YY/t/, то в соответствии с условиями перехода Y1. Отмечается, что при описании развитой изотропной турбулентности параметр b0*=0 и огибающая для ET является симметричной функцией (рис. 3а). Разрушение изотропной турбулентности происходит, когда b0 0.

Приводятся численные расчеты отображения (12), которые показывают, что полученные в результате хаотические решения для пульсаций скорости качественно повторяют все основные особенности хаотической динамики этой величины для НДУ (6).

Вследствие относительной простоты отображения (12) для него были проведены дополнительные исследования и получены следующие результаты.

1. Методом временных задержек в двумерном фазовом пространстве была посчитана корреляционная размерность аттрактора. Численные расчеты показали, что для N=точек и времени задержки t=10 корреляционная размерность равна =1.57. Она определяется по наклону касательной к графику характеристики пространственной корреляции N C( r ) = lim (1/ N ) H( r - i - ), где H - функция Хевисайда, N - количество точек j N i, j= итерации, i и - значение радиус-векторов двух различных точек в фазовом j пространстве (k+t,k), где t - время задержки пульсаций. Корреляционная размерность при малых t не зависит от времени задержки. Ее величина колеблется вблизи значения 1.53.

Однако, при больших t наблюдается слабый рост корреляционной размерности. Например, при t=100, величина =1.601. Такой рост закономерен и связан с тем, что при больших t точки на двумерной плоскости (k+t,k) все меньше располагаются вдоль прямой линии (при t=0) и все более равномерно распределяются по фазовой плоскости. Чем больше время задержки, тем точнее считается величина. Таким образом, можно говорить о том, что для данного хаотического процесса корреляционная размерность 1.6. Последнее указывает на антиперсистентный характер пульсаций скорости: увеличение амплитуды пульсаций в прошлом сменяется уменьшением в будущем и наоборот.

2. В диссертации была построена и исследована бифуркационная диаграмма в зависимости от приведенного числа Рейнольдса Re*=Re/Rec и соответствующая кривая показателя Ляпунова (Re*).

Рис. 10. а) Бифуркационная диаграмма в зависимости от приведенного a числа Рейнольдса, рассчитанная по k 0 отображению (12) при 0=0.02, =1.0406040110-4, =0.09, Rec=5105; б) соответствующий показатель Ляпунова.

-Анализ бифуркационной диаграммы (рис. 10а) позволяет определить критические значения б чисел Рейнольдса, при которых происходит перестройка режимов 0 2 течения. Эти перестройки проявляются 4 6 8 10 в виде ветвлений на бифуркационной Re* диаграмме. Первое ветвление при Re*=1 связано с потерей устойчивости ламинарного режима течения (k=0) и соответствует фазовому переходу второго рода. В результате в турбулентном потоке возникают однонаправленные пульсации скорости k конечной амплитуды + или - (в зависмости от знака начальных условий). A / M В диссертации приводится физическая C интерпретация всех остальных точек ветвлений вплоть до точки перехода к C // развитой турбулентности (Re*11). При M B Re*>11 имеются узкие области, где показатель Ляпунова отрицателен, что указывает на регулярный процесс (рис.

10). Такие окна в теории - 0.детерминированного хаоса называются «окнами детерминированного поведения».

* 0.5 0 0.b Рис. 3. При итерации отображения (12) были построены также бифуркационные диаграммы и показатели Ляпунова в зависимости от параметра b0* (рис. 11, a0 < 0 ). Из этого рисунка видно, что при b0 0 в турбулентном течении имеются выделенные направления пульсаций: k>0 - по ходу течения (при b0*<0) и k<0 - пульсации против хода течения (при b0*>0), при этом k 0. Даже при b0 > 0.6, когда в потоке возникают пульсации в обоих направлениях, они не являются одномасштабными. Таким образом, можно говорить, что ненулевые значения параметра b0* соответствуют неизотропной турбулентности.

4. На основе численных расчетов установлено, что при изменении управляющего параметра b0* возможен заход в метастабильную область для каждой из стационарных значений пульсаций + (ветвь M/C) и - (ветвь M//C) (рис.11). Вероятно, можно говорить о неустойчивости ветвей, каждая из которых ограничена с одной стороны точкой срыва C в метастабильной области, а с другой стороны - бифуркационной точкой удвоения периода (A или B). Заход в метастабильную область тем значительнее, чем большие значения по абсолютной величине имеют начальные условия k (k=0). Глубокий заход в область метастабильных состояний заканчивается взрывной переориентацией пульсаций скорости, что хорошо фиксируется при решении динамической задачи численными методами.

Отметим, что получение таких диаграмм в рамках уравнения (6) затруднено.

В четвертой главе рассматривается применение полученного одномерного уравнения (6) и одномерного отображения (12), разработанных диссертантом, к описанию ряда других физических задач:

- описание динамики движения нелинейного ротатора с кусочно-постоянным коэффициентом затухания, возбуждаемого периодическими ударами;

- описание хаотической динамики защемленной с обоих концов вязкоупругой цилиндрической балки с последействием, обтекаемой развитым турбулентным потоком жидкости или газа;

- описание хаотической динамики плотности тонкого поверхностного слоя жидкости единичного объема на границе раздела жидкость-пар;

- нахождение коэффициентов моментов сопротивления и моментов силы сопротивления свободно вращающегося диска и диска в кожухе при турбулентном режиме течения.

Показывается, что полученное в первой главе уравнение (6) может быть использовано для решения последней из перечисленных задач, если переменная будет равна разности между мгновенной эффективной угловой скоростью вращения диска e* и некоторой средней характерной угловой скоростью ek*, определяемой уравнением:

3 - 23 = 4 / 3 / Re1/ 2. В правой части уравнения (6) содержится функция источника в ek ek ek виде кубического полинома, тогда в стационарной задаче (левая часть уравнения (6) равна нулю) мы получаем кубическое уравнение, которое имеет три стационарных решения (ek, e±*=ek*±(-a*)1/2), соответствующие возможным значениям угловой скорости вращения диска при турбулентном режиме течения:

3 + a* + b = 0, a = -3(ek 2 -1), b* = -M + 3ek - 2ek, M = M / M.

x x x c Здесь Mx - момент силы, под действием которой вращается диск. Далее, пользуясь соотношениями (13), находятся безразмерные количественные аналитические выражения для коэффициентов моментов сопротивления CMi* (i=”k”, “+”, “-”), моментов силы сопротивления Mi*, толщины пограничного слоя i* соответствующие трем возможным значениям угловой скорости свободно вращающегося диска при турбулентном режиме течения:

4/3 CMi ( / Re1/ 2)+, = ( / ), = 2 (ek - 1) / 4 / 3, e = 3/2, (13) ek ei ek {}= ( + 1/ 2), i = / Re1/ 2, (i =" k","+","-"), M = ei4/3 C, Re = Re/ Rec, i i i Mi Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными (рис. 12) показало, что в турбулентном течении вблизи свободно вращающегося диска реализуется режим, соответствующий максимальному коэффициенту сопротивления (e-*=ek*-(-a*)1/2), который находится на верхней ветви сепаратрисы одного из стационарных решений (рис. 12, кривая 7). В диссертации приводятся также выражения для коэффициента момента сопротивления и момента силы сопротивления для диска в кожухе. Рассмотрены случаи, когда ширина щели между кожухом и диском больше и меньше толщины пограничного слоя.

Таким образом, сопоставление теоретических результатов с экспериментальными для свободно вращающегося диска и диска в кожухе в широком диапазоне чисел Рейнольдса указывает на их удовлетворительное соответствие.

Рис. 12. Бифуркационная диаграмма 0,коэффициентов моментов сопротивления свободно вращающегося диска (расчет по (13)): 1 - устойчивый ламинарный режим течения, рассчитываемый по формуле Кохрэна;

2, 3, 4 - неустойчивые бифуркационные C 0,решения и линии их сеператрисы (5-10); 7 - M устойчивый турбулентный режим течения.

Экспериментальные данные соответствуют:

о-NACA Report № 793; число Маха: - от 0,48 до 1,69; -от 0,24 до 0,62.

Pages:     | 1 | 2 || 4 |






Pages:     | 1 | 2 || 4 |

S(k*) S(k*) ~(k*)-5/~(k*)-5/~(k*)-10-~(k*)-10-а б ~(k*)-10-10-10- k*= k/kl 10-10-3 10-1 k*=k/kl 10-5 10-10-3 10-2 10-1 Рис. 7. Спектр турбулентных пульсаций скорости: а) нормированный теоретический спектр для развитой изотропной турбулентности, расчет по (6); б) экспериментальный обобщенный спектр Д.

Чепмена [16] (1- турбулентность за сеткой, 2 - пограничный слой).

Анализ спектров пульсаций скорости показал, что при изменении числа Рейнольдса в диапазоне от Re*=1 до Re*=6.5 в рассматриваемом течении происходят последовательные бифуркации удвоения периода, посредством которых осуществляется переход от ламинарного (периодического) движения к развитой изотропной турбулентности. При Re*происходит бифуркация Хопфа из устойчивого фокуса в предельный цикл с частотой *=2.26. Вторая частота 0*=1.109 соответствует частоте воздействия малых возмущений, связанных с распадом и образованием турбулентных вихрей. При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса в системе происходят последовательные бифуркации удвоения периода, приводящие к периодическому движению с частотами */2, */4, */8 и т.д. (Рис. 8). Эта последовательность сходится при Re*7, возникает странный аттрактор и спектр делается сплошным. Промежуточные пики меньших амплитуд соответствуют частотам (3/2)*, (3/4)* и т.д., которые также наблюдались на спектрах при бифуркациях удвоения периода в эксперименте Рэлея-Бенара. Таким образом, в диссертации путем анализа спектров пульсаций скорости в зависимости от числа Рейнольдса делается вывод о том, что переход к развитой турбулентности в соответствии с излагаемой моделью происходит по сценарию Фейгенбаума посредством удвоения периода.

10- S 10-Рис. 8. Спектр пульсаций скорости при 10-* Rec=5105, r=0.865, =1.52, *=1.109901, P0*=0.61, 10- *-5 /=1.0406040110-4, (0)=0.03, ( 0 ) = 0.002, ~ 10-*r=0.96, A=C=G=3, E=6, H=9, Re*=6.4. Наклон 10-пунктирной линии соответствует колмогоровскому 10-спектру *-5/3.

10-9 * R e =6.0.1 1 В диссертации на основе показателей * Ляпунова устанавливается свойство перемешивания для рассматриваемой системы, что проявляется в экспоненциальном расхождении двух изначально близких фазовых траекторий за малое время tr на некоторое характерное расстояние.Положим, что 0 - есть мера начального «расстояния» между двумя точками фазовых траекторий 1 и 2 по пространственному масштабу (7). Тогда “расстояние” между траекториями, выходящими из этих точек ( (t) = 1 (t)- 2(t) ), при t

© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»