WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

zk zi 3 zl t zi zi t Здесь Vi/, /, - пульсации скорости (“i” - я компонента) и плотности; 0 - средняя плотность жидкости; - мгновенная плотность; P - осредненное давление; ik/ - пульсационная составляющая тензора внутренних напряжений; µ0=0 - осредненное значение динамической вязкости ( - кинематическая вязкость). Численное решение системы уравнений (3) в настоящее время не представляется возможным, вследствие недостаточной производительности современных компьютеров. Для того чтобы систему уравнений (3) можно было решить численно, вводились дополнительные предположения.

1. Система уравнений (3) сводилась к одномерной задаче путем наложения следующих ограничений на пульсации скорости и плотности:

Vk/ (Vi/ / zk)= AVx/ (Vx/ / x), Vl/ / zl = C (Vx/ / x), Vi/ (/ / zi)= G Vx/ (/ / x), (2Vi/ / zk )+(2Vk/ / zi2)= E (2Vx/ / x2), (Vi/ / zk)(Vk/ / zi)= H(Vx/ / x). (4) Здесь в левых частях выражений (4) подразумевается суммирование по повторяющимся индексам; Vx/- проекция пульсационной скорости на ось Ox; A, C, E, G, H - некоторые константы.

2. Воспользовавшись методом И. Пригожина и Р. Тома приведения уравнений к канонической форме для одномерной задачи [9], реализованного в работе [10], была получена теоретически обоснованная нелинейная модель скорости турбулентной диссипации энергии вязкоупругой жидкости ET в единице массы:

2 3 ET = A1 + A2Vx/ + A3Vx/ + A4Vx/ + A5Vx/. (5) Здесь A1, А2, А3, А4, А5 – коэффициенты полинома, которые в общем случае могут зависеть от координат, осредненной скорости и давления, результирующей массовой силы и степени возмущенности турбулентного потока. В отличие от подхода Л. Ландау [11], который раскладывал энергию в ряд вблизи критической точки, упомянутый метод не требует малости параметра порядка (Vx/) и может быть применен вдали от критической точки.

Представление выражения (5) в каноническом виде (в виде потенциала катастрофы сборки [9]) и последующее его сравнение с выражением для величины ET в уравнении баланса внутренней энергии, позволили получить выражение для градиента пульсаций скорости (см.

(6)) и, следовательно, выразить нелинейные члены и лапласианы в уравнениях (3) через значение пульсаций скорости Vx/. Показано, что наиболее вероятное значение Vx/ в этом случае соответствует минимуму скорости турбулентной диссипации энергии, что характерно для инерционного интервала движений.

3. Следуя идеям Г. Cкремстеда [8] полагалось, что влияние неравномерностей внешнего течения, в том числе образование и распад турбулентных вихрей, выражается в периодической зависимости осредненного градиента давления от координаты вдоль направления движения потока: P / x = P0 sin kx x P0 sint, где kx ~ / Vx - проекция волнового числа на ось Ox; P0 - амплитуда возмущения осредненного градиента давления;

- частота распада и образования вихрей, она соответствует крупномасштабным пульсациям с периодом ~10-2-10-3 c. и частотой ~102-103 с-1. Предполагается, что развитая турбулентность возникает при больших числах Рейнольдса Re~(10-102)Rec.

4. Следуя гипотезе Г. Гершуни [12], в модель также вводилась ретардация (запаздывание) - явление релаксации пульсационной скорости за конечное время после мгновенного снятия напряжений [13].

В результате сделанных предположений было получено одномерное НДУ второго порядка в приведенном виде для изотропных турбулентных пульсаций скорости в инерционном интервале вязкоупругой жидкости с запаздыванием:

/ P0 sint - B(3 + a), r + () = (t) (6) 1+ / t t ()= 1- B(32 + a), = - r, B = A2 /(2H - (2 / 3)C ), ReRec, -1 / (t)= -r2 -1+ ( - r ) ctg(t), / x = J(2 + a), J =(3 /(6H - 2C )), C / G+/ = (Re/(Re + (G +1))) -1, Re = Re/ Rec = Vx / Vc, a = -1/2(Re2 -1), = Vx/ 2 / Vx.

Здесь tt/t0, /t0, rr/t0 – приведенные время, время запаздывания и время релаксации внутренних напряжений; t0=210-5 с. - характерный масштаб времени (t0~t/); =(Vx/ / Vc) - приведенная величина x-ой компоненты пульсаций скорости; Vc - критическая скорость перехода к турбулентности; - степень турбулентности; / = / / 0 - приведенное значение пульсаций плотности; 0 - осредненная плотность жидкости; P0 = P0 / 0Vc2 - приведенная амплитуда возмущений осредненного градиента давления; *=t0 - приведенная частота образования и распада вихрей; Rec=cVc/- критическое число Рейнольдса; Re = cVx / - число Рейнольдса; c- характерный пространственный масштаб задачи; Vx - осредненная скорость основного течения; - кинематическая вязкость.

Получены также приведенные выражения для масштаба пространственных пульсаций *=/c ( - масштаб пространственных пульсаций) (7); пульсаций температуры T*/=T//T0 (T/ - пульсации температуры) (8); пульсаций величины скорости турбулентной диссипации * энергии в единице массы ET = сET / Vc3 (9); диагональных ( 11/ ) и недиагональных ( 12/ ) компонент тензора внутренних напряжений, а также выражение для корреляционной функции поперечных пульсаций скорости Bnn в развитом турбулентном потоке:

a - / = ln, T, ET (2 + a), (7), (8), (9) Rec a + 1 2 E, 12 = / / 11 = E - C, Bnn(r)= ((0,t)- (0,t))(r,t)- (r,t).

Rec 3 Rec x x -2J В последних выражениях = a, J = B / A, = ET t0 / cpT0, где ET - осредненная величина скорости турбулентной диссипации энергии в единице массы, cp - теплоемкость жидкости при постоянном давлении; T0 - осредненное значение температуры рассматриваемого турбулентного течения; r*=r/c - приведенная величина расстояния от начала координат до данной точки потока. Угловыми скобками обозначено осреднение по ансамблю реализаций.

Во второй главе приводятся численные расчеты НДУ (6). Показывается, что в широкой области управляющих параметров это уравнение имеет детерминированные хаотические, периодические и перемежающиеся решения, реализующиеся по типу странного аттрактора (рис. 1а, г). Пульсации скорости >0 (=/Re*) соответствуют пульсациям по ходу течения, пульсации <0 – против хода. Промежуток времени рассмотрения выбирался таким образом, чтобы среднее по времени по пульсациям скорости было близко к нулю ( 0 ), что соответствует условию изотропности пульсаций.

0.2 0.0.Yn, Yn, 1 0 Y - Y а б - 0.0.2 0.0.1 0 0.0 50 100 150 200 250 - 0.16 Z 0.n, t(n) t 5104 с Re 510-4 с 410-4 с в г 0 200 400 t Рис. 1. Детерминированный хаос пульсаций скорости в развитой изотропной турбулентности:

а) теоретический расчет по (6) при A=C=G=3, E=6, H=9, =1.0406040110-4; Re*=7, *=1.109901, Rec=5105, P0*=0.38, a*= -0.489648, =1.52, r=0.88, *r=0.98, (0) = 0.3, (0)= 0.02 ; б) фазовый портрет теоретических пульсаций; в) экспериментальные данные; г) теоретический расчет по (6).

Далее все рисунки, если не указывается особо, строятся для значений управляющих параметров рисунка 1а.

Из рис. 1в, г видно, что характерные периоды пульсаций скорости, полученные в эксперименте и в численных расчетах при Bnn( r ) заданном масштабе t0=210-5 c., имеют один и тот же порядок ~10-4 с., что указывает на Bnn( 0 ) адекватность теоретической модели эксперименту. Показывается, что хаотические 0.пульсации в данной постановке испытывают также плотность, величина скорости турбулентной диссипации энергии в единице массы, масштаб пространственных пульсаций, 0 0.5 1 1. r* температура и компоненты тензора внутренних Рис. напряжений. Описываемый хаос является детерминированным, так как исходная математическая модель (6) не содержит источников шума.

В диссертации сопоставляются теоретические расчеты для корреляционной функции поперечных пульсаций скорости Bnn(r*) (рис. 2, белые точки) с экспериментальными данными Г. Тейлора (рис. 2, черные точки) и указывается на их удовлетворительное соответствие при r*1.

Зависимость диагональных и недиагональных пульсационных компонент тензора внутренних напряжений от пульсаций скорости для развитой турбулентности близка к квадратичной. В небольшой окрестности приведенного масштаба пульсаций скорости в инерционном интервале 0 = + = - (при > 0 ) пульсации тензора положительны, что указывает на преимущественные процессы растяжения микроскопических объемов жидкости, участвующих в турбулентном течении. Сами же пульсации компонент тензора содержат ламинарные и турбулентные фазы с ярко выраженными проявлениями жесткой турбулентности. При численных расчетах установлено, что пульсационные компоненты тензора внутренних напряжений релаксируют в полном согласии с уравнением Максвелла (1).

На рис. 3а представлена скорость турбулентной диссипации энергии ET = ET () в инерционном интервале движений в зависимости от пульсаций скорости, а на рис. 3б - ее изменение во времени.

ET --ET En,En,1 1.1.E + - 0 50 100 150 0.2 0 0.0 t(n) - 0.2 Yn,1 0.t5104 с а б Рис. Расчет пульсаций температуры производился по выражению (8) по известным значениям (t), (t) и = ET - средняя скорость диссипации энергии за счет теплопроводности. Величиной рассеяния энергии за счет акустических колебаний пренебрегали. При численных расчетах величина ET находилась по (9) путем осреднения по времени. На рис. 4a представлена динамическая огибающая пульсаций температуры в зависимости от пульсаций пространственного масштаба (t) ((t)=*(t)/Re*). Характерной особенностью такого рассмотрения является появление четко выраженного инерционного и диссипативного интервалов для указанных пульсирующих характеристик (штриховые линии на рис. 4 соответствуют масштабам инерционного интервала). Резкое увеличение пульсаций температуры в инерционном интервале связаны с логарифмическим увеличением внутреннего масштаба пространственных пульсаций * (Рис. 4б).

По известным из расчета (6) пульсациям 0.T*/ скорости (t) вычислялись приведенные пульсации 3.742 10- плотности =*/() (см. систему уравнений (6)), а 0.003 динамика которых представлена на рис. 5. Явлению T жесткой турбулентности соответствуют n, пульсационные пики, значительно превышающие 0.хаотические всплески в соседних по времени интервалах. Следует отметить наличие 0.0010.преимущественных пульсаций плотности в сторону - 4 Sn, 1 ее положительных значений > 0. Это, вероятно, б t(n) свидетельствует об адиабатическом сжатии, которое наблюдается в развитой турбулентности.

t(n) Согласно излагаемой физической модели t(n) произведение ET - один из основных t5104100 показателей развитой турбулентности в теории с Колмогорова-Обухова [14, 15] - является сложной -4 0 - 4 Sn, 1, r, - r трансцендентной функцией приведенной скорости Рис. пульсаций :

a + Re Re ET = ln (2 + a0), a0 = a / Re2. (10) 2J a0 Rec a - Re В этом выражении ET = ET (). Зависимость (10) имеет четко выраженный характер, в том числе и при нестационарных процессах (рис. 6а), что воспроизводится и фиксируется при численных расчетах в динамическом режиме.

1.1. n, n, - 0.- 0.0 100 200 10 0 t( n) - 1.4 - 0.() n+ 1, 1 n, t5104 с t( 14) -t( 1) Рис. 5. Хаотическая динамика пульсаций плотности развитой изотропной турбулентности.

Рядом приведен фазовый портрет пульсаций этой величины.

Описываемая функция (10) является нечетной (рис. 6а, непрерывная кривая) и для нее были подобраны интерполяционные формулы ET = A0 µ C02 + D03 (при >0 и <0), (11) которые при A0= 3 / Rec, С0=110-4, D0=6.53610-4 хорошо аппроксимируют (10) и дают кривую, изображенную на рис. 6a пунктирной линией. В соответствии с интерполяционными выражениями произведение ET в сильно диссипативном интервале ( << /, << /, где / и / - приведенные пространственные и скоростные масштабы пульсаций в диссипативном интервале) оценивалось по формуле: ET ~ ( 3 / Rec).

710- 510-5.б а 1` 1` ET Xn,2` ~ ~ 2` ~ 2 - 510-5.- 710-0.1 0 0.0 50 t0t(n) Рис. На рисунке 6а нанесена линейная асимптотика (1`-2`), соответствующая области сильно диссипативного интервала. При этом теория Колмогорова-Обухова для этого интервала также дает линейную зависимость: ~ (=///). В инерционном интервале ( 0, 0, где 0 и 0- пространственные и скоростные масштабы пульсаций в инерционном интервале) аппроксимация выражения (10) интерполяционными формулами (11) приводит к соотношению ET ~ ( 3 Re2 / Rec)3, что полностью соответствует закону Колмогорова-Обухова «одной трети». В переходной области / 0, / 0 при r ~ 0.18 (остальные параметры остаются неизменными) наблюдается более удовлетворительное соответствие интерполяционной формулы (11) выражению (10), чем при r ~ 1. В результате можно констатировать, что выражения (10) не только правильно описывает пульсации в инерционном интервале и интервале сильной диссипации, но и позволяют находить численные коэффициенты в указанных зависимостях.

По решениям НДУ (6) строится нормированный спектр мощности пульсаций скорости (рис. 7а) в зависимости от приведенного волнового числа k*=k/kl (kl- волновое число Колмогорова), который сравнивался с экспериментальным обобщенным спектром Д.

Чепмена [16] (рис. 7б). В области k>kl, которая находится за пределами чувствительности газоразрядных анемометров с тлеющим разрядом, теоретический спектр предсказывает изменение спектральной плотности по закону ~1/k*2. При меньших волновых числах наблюдается полное соответствие теории и эксперимента, как по волновым числам, так и по величинам спектральной плотности. Таким образом, теоретическая модель объясняет не только закон “5/3” в инерционном интервале, но и резкий спад спектра в области больших волновых чисел (в диссипативном интервале) по закону ~1/k*-7, который также соответствует эксперименту.

Показывается хорошее соответствие построенного по выражению (8) теоретического спектра пульсаций температуры и экспериментального температурного спектра С. Понда.

Оба эти спектра подчиняются закону «5/3».

Полный анализ хаотических состояний подразумевает построение бифуркационных диаграмм – зависимостей решений от управляющих параметров уравнения (6). В диссертации приводятся примеры построенных диаграмм, отражающие переход к развитой изотропной турбулентности. Исследование устойчивости течения в зависимости от двух управляющих параметров (Re*, *) приводит в теории турбулентного течения к нейтральным кривым. В действительности для развитой турбулентности число управляющих параметров в исследуемой задаче больше двух и каждое из них влияет не только на переход к турбулентности и структуру вихрей, но и на свойства пульсаций. Поэтому нами исследовалось нарушение устойчивости (переход к хаосу) по принятому в нелинейной динамике методу бифуркационных диаграмм в зависимости от следующих параметров:,, Re*, *, r, P0*.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»