WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Второе замечание касается сравнения представления (1.30) c представлением, полученным А.И.Янушаускасом в [4]. Его представление, относясь к более общему уравнению, носит и само весьма общий характер. В частности, при помощи такого представления уже нельзя сделать конкретные заключения об области голоморфности решения, подобные, как в первом параграфе. Для их реализации потребуются весьма трудоёмкие технические преобразования представления А.И.Янушаускаса к виду, предложенному нами в теореме 1.3.

Третий параграф главы 1 посвящён уравнению Пуассона n 2u 2u + = h(x1, x2,K, xn, z) (1.31) z2 xk k=в пространстве Cn+1 комплексных переменных x1, x2,K, xn, z. Для него рассматривается следующая задача Коши: найти голоморфное решение u( x1, x2,K, xn, z) уравнения (1.31), удовлетворяющее начальным условиям u u = 0, = 0. (1.32) z =z z =Применяя классическую методику поиска решения уравнения в виде ряда, нами доказана ТЕОРЕМА 1.4. Если функция h( x1, x2,K, xn, z) голоморфна в области H(D) из теоремы 1.2, то для решения u( x1, x2,K, xn, z) задачи Коши (1.31), (1.32) справедливо следующее представление u(x1, x2,K, xn, z)= {h(t1,K,tn,0)G(t1 - x1,K,tn - xn, z)+ (2i)n z h dt + (t1,K,tn, z -)G(t1 - x1,K,tn - xn,)d Kdtn, z 2m+ m где G = (-1)m (1.41).

m=(2m + 2)! (t1 - x1)K(tn - xn) Эта теорема – основная в третьем параграфе.

Если теперь с данным представлением проделать дополнительные преобразования (подобные преобразованиям из второго параграфа), то можно получить ещё одно представление решения в виде z h(t1,K,tn, z -) u(x1,K, xn, z)= (2i)n (t1 - x1)K(tn - xn) 2 1 ( ) FBn 1,K,,1,K,1; ;- ddt1Kdtn, (1.48) 2 2 2 (t1 - x1),K,- (tn - xn) являющимся фактически представлением Дюамеля, выражающим решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (уравнения Пуассона в данном случае) через решение соответствующего однородного уравнения (уравнения Лапласа).

Этот факт можно трактовать как обоснование возможности использовать классический принцип Дюамеля в случае комплексных уравнений.

Во второй главе, опираясь на содержание работы [11], проводится исследование задачи Коши для дифференциального уравнения вида mu + a1m- u + K + am-1u + amu = 0, (2.1) где a1,a2,K,am – произвольные комплексные числа, - оператор Лапласа 2 + K+, 2 x1 xn+m (m-1), m N, m в пространстве Cn+1 комплексных переменных x1, x2,K, xn+1. Всюду в дальнейшем точку ( x1, x2,K, xn+1) пространства Cn+1 обозначаем (X, z), где X = (x1, x2,K, xn), z = xn+1. Для этого уравнения И.Н.Векуа [7] получено общее представление совокупности решений.

Нами при помощи этого общего представления исследуется задача Коши:

найти голоморфное решение уравнения (2.1), удовлетворяющее начальным условиям j u = f (X ), j = 0,1,K,2m - 1. (2.2) j j z z=В случае, когда все корни 1,2,K,m характеристического уравнения m + a1m-1 + K + am-1 + am = 0 (2.3) являются простыми, решение задачи Коши для исходного уравнения (2.1) путём алгебраических преобразований нами сводится к решению m задач Коши для уравнений u-ku = 0, k = 1,2,…,m.

Далее, используя интегральные представления решений этих задач [4], мы выводим интегральное представление решения задачи Коши (2.1), (2.2), описанное в конце главы в форме теоремы.

ТЕОРЕМА 2.1. Если все корни 1,2,K,m уравнения (2.3) простые, то решение u(X, z) задачи Коши (2.1), (2.2) можно представить в виде m m u(X, z) = pk (X, z)+ qk(X, z) k=1 k=m z - - k J1(z - kt)[pk(X, z 1- t)+ 0 k=2 t(1- t) + 1- tqk(X, z 1- t)]dt, где каждая из функций pk(X, z) и qk(X, z), k = 1,2,…,m является решением задачи Коши для уравнения Лапласа (в смысле второго параграфа главы 1), удовлетворяющим начальным условиям соответственно вида pk qk pk z=0 = gk, = 0 и qk z=0 = 0, = hk.

z z z=0 z=Третья глава посвящена исследованию задачи Коши для полигармонического и полиметагармонического уравнений. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [10], [13], [15].

В первом параграфе этой главы для полигармонического уравнения pu = 0, (3.1) где - оператор Лапласа 2 + K+, 2 x1 xn+p (p- ), p N, p в пространстве Cn+1 комплексных переменных x1, x2,K, xn+рассматривается следующая задача Коши: найти голоморфное решение u уравнения (3.1), удовлетворяющее начальным условиям j u = f (X ), j = 0,1,K,2 p - 1, (3.2) j j z z=где, как и выше, приняты обозначения X = (x1, x2,K, xn), z = xn+1, а f (X ) - функции, голоморфные в некоторой области голоморфности DCn.

j Используя общепринятую методику [8], нами сначала исследуется «стандартная» задача Коши, а именно f (X ) 0, j = 0,1,K,2 p - 2, f2 p-1(X ) = f (X ), (3.3) j для решения которой получено представление в виде ряда по степеням переменной z (лемма 3.1) и описана область абсолютной и равномерной сходимости этого ряда (лемма 3.2).

Опираясь на эти леммы, доказано следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 3.1. Если функция f (X ) голоморфна в круговом полицилиндре D:{x1 < r1,K, xn < rn}и непрерывна в замкнутой области D, то для решения задачи Коши (3.1), (3.3) справедливо следующее интегральное представление z2 p-1 f (t1,K,tn) u(X, z) = (2i)n(2 p) (t1 - x1)K(tn - xn) 1 1 z2 z( ) dt1Kdtn,(3.6) FBn 1,K,,1,K,1; p + ;-,K,2 2 2 2 (t1 - x1) (tn - xn) ( ) где FBn (a1,K,an,b1,K,bn;c; z1,K, zn) - гипергеометрическая функция Лауричелла, а интегрирование ведётся по остову границы полицилиндра D.

Далее, для рассматриваемой в главе 3 общей задачи Коши (3.1), (3.2) выводится следующее представление.

ТЕОРЕМА 3.2. Если функции f (X ), j = 0,1,K,2 p - 1, голоморфны в j круговом полицилиндре D:{x1 < r1,K, xn < rn}, то для решения задачи Коши (3.1), (3.2) справедливо следующее представление p k-u(X, z) = Cp- {Gk(t1 - x1,K,tn - xn, z)f2k-2(t1,K,tn)+ k= (2i)n (3.14) + Hk(t1 - x1,K,tn - xn, z)f2k-1(t1,K,tn)}dt1Kdtn, в котором Gk = (-1)m+k- p (m + k - p)p-k(m +1)k- (p)m= (2m + 2k -1) z2m+2k-2m, (3.15) (t1 - x1)K(tn - xn) m+k- p (m + k - p)p-k (m +1)kHk = (-1) (p)m= (2m + 2k) z2m+2k-1m, (3.16) (t1 - x1)K(tn - xn) а интегрирование ведётся по остову границы полицилиндра D.

При обосновании этой теоремы получены два вспомогательных технических результата (леммы 3.3, 3.4), связанные с преобразованием конечных сумм и представляющие, на наш взгляд, некий самостоятельный интерес.

Используя теперь представление (3.14), нами в заключительной части первого параграфа главы 3 сформулировано следующее основное утверждение для полигармонического уравнения.

ТЕОРЕМА 3.3. Каковы бы ни были функции f (X ), голоморфные в j полицилиндре D Cn и непрерывные в замкнутом полицилиндре D, в пространстве Cn+1 найдётся содержащая D область голоморфности H(D) такая, что решение u(X, z) задачи Коши (3.1), (3.2) голоморфно в H(D).

Если, кроме того, начальные данные f (X ) аналитически продолжимы j из области D, то решение задачи Коши u(X, z) аналитически продолжимо из области H(D).

При этом, для каждой точки X границы области H(D) существует решение уравнения (3.1), голоморфное в H(D), удовлетворяющее начальным данным, голоморфным в D, и имеющее особенность в точке X.

Второй параграф главы 3 посвящён полиметагармоническому уравнению ( + )pv = 0, p N, p 2, = const (3.23) в пространстве Cn+1 комплексных переменных x1, x2,K, xn, z.

Решения этого уравнения представлены через полигармонические функции, что и отражает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3.4. Если функция u(X, z) является решением уравнения (3.1), удовлетворяющим начальным условиям (3.3), то решение v(X, z) уравнения (3.23), удовлетворяющее тем же начальным условиям, описывается формулой J1(z s)u(X, z 1- s)ds, z v(X, z) = u(X, z)- (3.25) 2 s где J1(z s) - функция Бесселя [5].

В заключение автор считает своим непременным долгом почтить светлую память своего первого научного руководителя доктора физико-математических наук, профессора А.И.Янушаускаса (1932-1999), с которым была связана моя многолетняя научная жизнь как в вопросах постановки ряда задач, так и в выборе методов их решения.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ [1]. Янушаускас А.И. Задача Коши для уравнения Лапласа и операция умножения для гармонических функций. – ДАН СССР, 159, № 2 (1964), c. 286 – 289.

[2]. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений. – Новосибирск: Наука, 1979. 190 с.

[3]. Янушаускас А.И. К задаче Коши для уравнения Лапласа с тремя независимыми переменными. – Сиб. матем. журн., 1975, т.16, № 6, с.

1352 – 1363.

[4]. Янушаускас А.И. О задаче Коши для одного класса эллиптических и вырождающихся уравнений. – Сиб. матем. журн., 1967, т.8, № 4, c. – 925.

[5]. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. – М.: ИЛ, 1963. 468 с.

[6]. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.

Дополнительные главы. – М.: Наука, 1986. 800 с.

[7]. Векуа И.Н. О метагармонических функциях. – Труды Тбилисского матем. ин-та, XII, 1943, c. 105 – 174.

[8]. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. – М.: Мир, 1966. 351 с.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ [9]. Шалагинов С.Д. Задача Коши для уравнения Лапласа в комплексном пространстве. – Дифференц. уравнения, 1980, т.16, № 5, с. 947 – 949.

[10].Шалагинов С.Д. Задача Коши для полигармонического уравнения. – Тезисы областной межвузовской конференции молодых учёных и специалистов. Тюмень, 1985, с. 57.

[11].Шалагинов С.Д. Интегральные представления решений одного эллиптического уравнения высокого порядка с постоянными коэффициентами. – Деп. в ВИНИТИ, 1990, № 3651-В90, 9 с.

[12].Шалагинов С.Д. Интегральное представление решений уравнения Пуассона. В кн.: Краевые задачи. Иркутск: Иркут. ун-т, 1990, c. 69 – 72.

[13].Шалагинов С.Д. Интегральные представления полигармонических функций. В кн.: Математический сборник. Ишим: Изд-во ИГПИ им.

П.П. Ершова, 2000, c. 95 – 97.

[14]. Шалагинов С.Д. Задача Коши для уравнения Лапласа в многомерном комплексном пространстве. – Успехи современного естествознания, 2003, № 2.

[15]. Шалагинов С.Д. Интегральные представления решений полигармонического уравнения в комплексном пространстве. – Деп. в ВИНИТИ, 2002, № 1557-В2002, 12 с.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»