WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

На правах рукописи

ХОХЛОВ Антон Александрович УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА И ИХ МОДИФИКАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Специальность 05.13.18 “Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ”

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Т.Г.Елизарова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А.Е.Луцкий кандидат физико-математических наук Е.В.Шильников

Ведущая организация:

Институт проблем механики Российской Академии Наук

Защита состоится “ ” 2007 г. в час.

мин. на заседании диссертационного совета К 501.001.17 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд..

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан “ ” 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 501.001.17, доктор физико-математических наук П.А.Поляков

Общая характеристика работы

Актуальность Актуальными задачами численного моделирования газодинамических течений являются задачи с внешними источники энергии. К таким проблемам относятся расчеты течений излучающего газа, исследование возможностей управления потоками с помощью энерговложения, расчеты активных сред в резонаторах газовых лазеров, задачи горения и многие другие практически важные вопросы.

Эффективным подходом к численному решению задач газовой динамики является использование численных алгоритмов, основанных на квазигазодинамических (КГД) уравнениях [1], [2], [3], которые можно рассматривать как модификации уравнений НавьеСтокса.

Дополнительные слагаемые, отличающие эти уравнения от системы Навье Стокса, носят диссипативный характер и выполняют роль искусственных регуляризаторов для разностных алгоритмов решения задач вязкой аэродинамики. Однако соответствующие выражения были получены в предположении об отсутствии внешних источников и стоков тепла.

Цели работы Основные цели настоящей работы:

1. Обобщение КГД системы для случая течений с внешними источниками или стоками энергии таким образом, чтобы КГД уравнения имели диссипативный характер.

2. Создание и тестирование соответствующего комплекса программ для неструктурированных пространственных сеток. Сопоставление вычислительных характеристик КГД алгоритма и алгоритма, основанного на системе Навье-Стокса.

3. Численное моделирование влияния процесса ионизации газа на характеристики програничного слоя (вблизи поверхности) с целью управления сопротивлением летательного аппарата.

Научная новизна работы 1. Используя методику [2], вывод КГД уравнений для неподвижного объема эти уравнения впервые обобщаются на случай течений вязкого газа с внешними источниками тепла. Для построенных уравнений доказана теорема о неубывании полной термодинамической энтропии, что демонстрирует диссипативный характер построенной модели.

2. На примере задач сверхзвукового течения вязкого газа в ударной волне и в окрестности пластины продемонстрированы преимущества и недостатки КГД модели и модели Навье Стокса.

3. Показано, что аккуратный учет коэффициента второй вязкости позволяет с точностью порядка 30% моделировать профиль плотности в ударной волне на основе газодинамических уравнений. Раньше считалось, что такая точность достигается только на основе существенно более сложных кинетических моделей.

Научная и практическая значимость работы 1. Разработанная математическая модель для расчета течений с внешними тепловыми источниками реализована в виде комплекта программ для решения задач на неструктурированных сетках в областях сложной формы. Программы оптимизированы и оттестированы и могут использоваться для расчетов широкого круга нестационарных сверхзвуковых и дозвуковых течений.

2. Проведено численное моделирование течения умеренно разреженного газа вблизи пластины в зоне действия электрического разряда. В результате расчетов сделаны оценки параметров эксперимента для изучения возможностей управления пограничным слоем с целью уменьшения силы сопротивления аппарата.

Результаты, выносимые на защиту

:

1. Построены квазигазодинамические уравнения для описания течения вязкого газа с внешними источниками энергии. Построено уравнение баланса энтропии, доказывающее диссипативный характер полученной модели.

2. Разработан численный алгоритм расчета нестационарных газодинамических течений с внешним энергоподводом с использованием неструктурированных сеток. Тестирование алгоритма (в отсутствие энергоподвода) проведено на задачах о дозвуковом течении в следе за круговым цилиндром и сверхзвуковом течении в окрестности плоской пластины.

3. С целью оптимизации параметров экспериментальной установки проведено параметрическое исследование задачи о сверхзвуковом обтекании пластины в присутствии электрического разряда в условиях умеренно разреженного газа. Получены оценки для параметров экспериментальной установки.

4. Решена задача о структуре фронта ударной волны в аргоне и азоте. Показано существенное влияние второй вязкости на форму профиля плотности для умеренно разреженных течений. Продемонстрировано, что форма профиля плотности, вычисленная с помощью уравнений Навье-Стокса, соответствует данным натурных экспериментов существенно лучше, чем считалось ранее.

5. На примере задач о течении в окрестности пластины, в следе за цилиндром и в ударной волне проведено сопоставление эффективности подходов КГД и НС и сделаны выводы о целесообразности и эффективности того и другого метода в конкретных задачах.

Апробация работы Результаты, полученные в диссертации, представлялись на следующих конференциях:

1. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых “Ломоносов 2005”, Москва, 2005, 2. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых “Ломоносов 2006”, Москва, 2006, 3. Международная конференция “Тихонов и современная математика”, Москва, 2006, 4. ICFD Conference on Numerical Methods for Fluid Dynamics, London, 2007, 5. 2nd European Conference for Aerospace Science, 1-6 July, Brussels, 2007, а также семинарах:

1. в институте проблем механики РАН (Москва, 11 апреля г.), 2. на кафедре молекулярной физики (Москва, физический факультет МГУ, 25 апреля 2007 г.), 3. в институте прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН (Москва, 31 мая 2007 г.).

Результаты использовались при создании коммерческого пакета программ для расчета пространственных нестационарных вязких течений в рамках научного центра GDT Software Group (Тула).

Работа выполнена при при поддержке гранта РФФИ 05-07-90230.

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и 3 приложений. Общий объем диссертации 108 страниц. Диссертация содержит 4 таблицы, 54 рисунка и список литературы из 63 названий.

Содержание диссертации Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дана характеристика работы и краткое изложено содержание по главам.

В первой главе производится вывод КГД уравнений с источниками тепла. Используется методика, описанная в [2]. Полученные уравнения имеют вид:

+ ji = 0, t xi ui + jjui + p = Fi + ji, t xj xi xj u2 u2 p + + ji + + + qi = t 2 xi 2 xi = jiFi + ijuj + Q, xi где введены обозначения:

ji = (ui - wi), wi = uiuj + p - Fi, xj xi = - uk, xk ij = NS ij + ui uk uj + p - Fj + xk xj + ij uk p + p uk - ( - 1)Q, xk xk NS ij = uj + ui - ij uk, xi xj 3 xk 1 Q qi = qNS i - ui uj + puj -, xj xj qNS i = - T.

xi Здесь p, ui,, T давление, скорость, плотность и температура газа, Fi компоненты внешней силы, Q мощность тепловых источников. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Для этих уравнений получена формула для производства энтропии 2 T NS ijNS ij X = + + uk ui + p - Fi + T 2T T xk xi 2 p Q p Q + ui + ui - + ui +, T xi xi 2T xi T где -1 Q T = T · 1 + ui + ( - 1) ui -, xi xi откуда следует, что при условии малости параметра производство энтропии является неотрицательным. Приведенное выражение в отсутствие источников тепла совпадают с ранее выведенными, например, в [2], а при = 0 с соответствующим выражением для уравнений Навье-Стокса.

Во второй главе излагается алгоритм решения КГД уравнений на треугольной сетке. Используется метод конечного объема [3] для апроксимации пространственных производных и явная схема по времени. Рассматриваются вопросы быстродействия такого алгоритма для нынешнего поколения вычислительных машин.

Далее затрагивается вопрос о возможности автоматической настройки шага по времени в задачах установления и приводится соответствующий эвристический алгоритм. Обосновывается необходимость подобной автоматизации.

Третья глава посвящена тестированию алгоритма на задаче об обтекании прямого кругового цилиндра с образованием дорожки Кармана. Полученный в численном эксперименте период колебаний сравнивается с вычисленным по формуле D T =, u0Sh где D диаметр цилиндра, u0 скорость невозмущенного потока, Sh число Струхаля, зависящее лишь от числа Рейнольдса. Моделирование проводилось для Re = 2.1.0.0 0 1 2 3 4 5 --0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.Рис. 1: Дорожка Кармана. Вверху: график u2(x, y) в некоторый момент времени, показана расчетная сетка. Внизу: зависимость вертикальной компоненты скорости uy от времени t в точке (x = 2.5 м, y = 2 м).

Расчетная сетка и зависимость вертикальной компоненты скорости от времени в некоторой фиксированной точке изображены на рисунке 1.

Период, полученный в численном эксперименте отличается от вычисленного не более, чем на 10%, что вполне объяснимо конечным размером сетки. Проводится вычисление на более подробной сетке, что позволяет улучшить этот результат. Окончательное значение Texp = 0.057 сек, вычисленное теоретически значение T = Рис. 2: Обтекание пластинки: схема экспериментальной установки.

0.053 сек.

В четвертой главе решается задача об обтекании горизонтальной пластинки при наличии (модельного) электрического разряда вблизи ее поверхности. Работа проводилась в сотрудничестве с экспериментальной группой, проводившей моделирование методом МонтеКарло и эксперимент в аэродинамической трубе. Упрощенная схема экспериментальной установки приведена на рисунке 2.

Использование КГД уравнений позволило значительно сократить время счета и получить результат за приемлемое время, даже используя схему первого порядка. На рисунке 3 показаны профили скорости, полученные при помощи разных методов. Таблица 1 демонстрирует преимущество КГД подхода.

Были получены профили скорости, согласующиеся с экспериментом в отсутствие разряда, а также оценены тепловая мощность и величина электрического поля в разряде, при которых воздействие 0.0.0.0.0.0 100 200 300 400 500 ux, m s-Рис. 3: Обтекание пластинки: сравнение методов между собой. Профили скорости для x = 0.1м. Тонкая сплошная линия Монте-Карло, толстая сплошная КГД, штриховая Навье-Стокс.

КГД Навье-Стокс Шаг счета 5 · 10-6 3 · 10-Количество шагов до сходимости 200 Общее время вычисления 5 мин 87 мин Таблица 1: Обтекание пластинки: сравнение времени счета при помощи метода КГД уравнений ( = 0) и Навье-Стокса ( = 0).

на характер обтекания пластинки становится заметным. Влияние электрического поля и нагревания на профиль скорости показано на рисунке 4. Примечательно, что согласия с экспериментом удается достичь даже на простой модели без учета реальной структуры поля и эффектов взаимодействия поля с плазмой (как, например, в [4]).

В пятой главе рассматривается задача о структуре фронта одномерной ударной волны в аргоне и азоте. Стационарная система уравнений Навье-Стокса сводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений и решается методом стрельбы по параметру. На примере азота демонстрируется влияние второй вязкости на толщину ударной волны. Введение второй вязкости и использование уточненных данных о зависимости коэффициента вязкости от температуры позволило получить результат, отличающийся от эксперимента не более чем на 30% в диапазоне чисел Маха от 1.5 до 10. Традиционно считается, что расчет с помощью уравнений Навьеy, m 0.0. E0. E E0. E0.0 100 200 300 400 500 600 ux, m s-0.Q0.Q0.Q0.Q0.0 100 200 300 400 500 ux, m s-Рис. 4: Обтекание пластинки: профили скоростей для x = 0.07 м в зависимости от величины приложенного электрического поля (F = eNaE/mair, E0 < E1 < E2 < E3) сверху, и мощности источников тепла (Q0 < Q1 < Q2 < Q3) снизу.

Стокса в этой задаче дает результат, отличающийся от эксперимента по крайней мере в 2 раза. Полученные графики зависимости обратной ширины волны от числа Маха для аргона и азота приведены на рисунке 5.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации и намечены пути дальнейшего развития.

Приложение 1 посвящено некоторым практическим вопросам построения сеток и работы с ними. Рассмотрены некоторые коммерческие и свободные пакеты для триангуляции, описан процесс построения и экспорта сетки из пакета Comsol Multiphysics.

В приложении 2 приведены наиболее важные фрагменты программного кода, использовавшегося для решения КГД уравнений на y, m y, m 0.0.0.0.0.0.0.0.0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ma 0.0.0.0.0.0.0.0.0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ma Рис. 5: Сверху: обратная ширина ударной волны / в сравнении с данными экспериментов для аргона, сплошная линия - расчет, маркеры - данные экспериментов. Внизу: обратная ширина в сравнении с данными экспериментов для азота (маркеры), сплошные линии расчет без второй вязкости (1), с упрощенной второй вязкостью (2), с полной второй вязкостью (3).

/ / треугольной сетке.

В приложение 3 вынесены выражения, полученные для КГД уравнений в случае неидеального газа. В этом общем случае теорема об энтропии пока не доказана, однако в случае газа Ван-дерВаальса производство энтропии оказывается положительным вдали от критической точки.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] Елизарова Т.Г., Хохлов А.А. Численное моделирование структуры ударной волны путем решения стационарных уравнений Навье-Стокса. // Вестник Московского университета, серия 3, Физика. Астрономия. - 2006. - No 3. - c.28-32.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»