WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

Классическими для теории конечномерных непрерывных нелинейных динамических систем математическими (символьными) моделями являются обыкновенные дифференциальные U уравнения (ДУ). В случае релейных систем управUmax ления, функции, описывающие связи между переменными и их производUп ными, не являются непре- a- a1 a рывными и однозначны a2 aми. Их необходимо до- Uп полнять описанием правил перехода между раз- Umax личными выражениями в правой части ДУ. Типовая структура нелинейной Рис. 1. Пример СХ регулятора электромеханической системы управления позиционной системы управления подразумевает разделение на динамическую линейную часть и безынерционный нелинейный элемент, который может быть описан в виде модели "вход—выход", например, в виде многозначных СХ. Другим подходом к описанию релейных элементов является представление их в виде модели "вход—состояние—выход" (рис. 2). На входе и выходе логического устройства принятия решения присутствуют символьные переменные ~ ~ и y, т. е. модель x y(t) x(t) Непрерывная часть является гибридной.

(объект управления) Задачи анализа релейных систем Контроллер управления те же, что и по другим ~ y ~ x Логика принятия классам моделей решений анализ равновесных Детектор событий Исполнительная часть и иных типов устаРис. 2. Типовая структура релейной системы управления новившихся и переходных движений, а также их устойчивости, анализ свойств инвариантности и грубости. Поскольку модели релейных систем являются существенно нелинейными, для исследования процессов, сопровождаемых переключениями реле, нельзя применять линеаризацию для малых отклонений. Анализ систем должен начинаться с исследования существования и единственности состояний равновесия, а позднее, их расчета.

Традиционные методы расчета автоколебаний в релейных системах ориентированы на системы с типовой структурой. К точным методам относятся методы Цыпкина и Хамеля, базирующиеся на том, что на выходе простейшего релейного элемента формы колебаний известны точно. Задача сводится к поиску единственного параметра — периода колебаний. В частотном методе Цыпкина используется разложение прямоугольного сигнала в ряд Фурье, а метод Хамеля использует временной подход и идеи метода фазовой плоскости. Приближенный частотный метод гармонического баланса применим, если линейные части удовлетворяют условиям фильтра или резонанса, что позволяет принять гипотезу о приближенно гармонической форме периодического сигнала на входе нелинейного элемента.

Приводится обзор программных средств моделирования и анализа нелинейных динамических систем, применимых при исследовании релейно-импульсных систем. Основной упор разработчики программ делают на средства численного решения задачи Коши — получение частных решений обыкновенных ДУ при заданных начальных условиях. Одним из наиболее распространенных языков компьютерного моделирования является язык программы Simulink, в котором модель представляет собой структурную схему, образованную ориентированным взаимодействием блоков направленного действия. Для моделирования систем управления на базе "непричинных" схем существует ряд специализированных программных средств, таких как Dymola, MathModelica, OmSim, HyTech, LabView.

Компьютерная имитация является универсальным методом анализа конкретных движений в системах с релейными характеристиками. Ее недостатком является невозможность вывода суждений общего характера о динамике системы. Для систем с произвольными релейно-импульсными алгоритмами управления отсутствует единая методика реализации релейно-импульсных и логических систем управления в среде универсальных программ компьютерного моделирования; трудно планировать вычислительные эксперименты с учетом априорной информации о форме решения; сложно организовать целенаправленный поиск в пространстве состояний, не решаются проблемы существования и единственности; таким способом практически нельзя отыскать неустойчивые решения.

Вторая глава посвящена разработке гибридных моделей релейных и релейно-импульсных систем управления. Известны гибридные модели Тавернини (L. Tavernini), Бэка—Гукенхеймера—Маейра (A. Back, J. Guckenheimer, G. Meyer), Брокета (R. W. Brockett), Нероде—Кона (A. Nerode, W. Kohn), гибридные автоматы. В качестве основной формы описания релейных систем с многозначными характеристиками принимается автоматное представление релейных элементов, используемое в модели НеродеКона, которая образована непрерывной и дискретной частями, взаимодействующими посредством интерфейса. Логика управляющего устройства — контроллера (рис. 2) в модели Нероде—Кона представляется конечным автоматом (КА), вход и выход которого принимают значения из конечных < S, Y, X,, >, S, Y, X множеств символов. Автомат задается пятеркой где — конечные множества состояний, выходов и входов автомата;, — функции переходов и выходов. Интерфейс моделирует конвертирование сигналов.

Переход от традиционной модели "вход—выход" в виде СХ к гибридной модели "вход—состояние—выход" осуществляется следующим образом. Входная часть интерфейса (информационная часть, детектор событий, аналого-символьный интерфейс) представляет собой совокупность пороговых элементов с уставками, равными значениям входного сигнала в точках разрыва СХ. Участкам непрерывности СХ отвечают различные события, число которых на единицу больше числа пороговых элементов. Важной особенностью входного алфавита автомата X = {x1, x2, } является упорядоченность символов, обусловленная непрерывностью по уровню входной переменной. Выходная, исполнительная часть интерфейса — дешифратор (декодер) — ставит в соответствие символам выходного алфавита автомата Y = {y1, y2,} действительные значения выходного сигнала релейного элемента. Автомат строится следующим образом. Релейная многозначная СХ разбивается на участки, соответствующие состояниям входа (входным символам), т. е.

на участки постоянства значения выхода. Для каждого участка задается столько состояний автомата, сколько ветвей имеет характеристика на данном участке. Исходя из логики (графа) переходов между ветвями строится функция переходов автомата. В таком автомате, зная текущее состояние, можно однозначно определить, какой символ в данный момент на входе, т. е. каждому входному символу из X соответствует подмножество Si множества :

S ~ ~ x = xi s Si ; i j Si S = ;. (1) j S = S i Условие (1) может не выполняться в момент времени t = 0 в случае произвольного начального состояния. Необходимо дополнить автомат функцией началь(~0) ного состояния x, которая ставит в соответствие символу на входе автомата в t = момент времени состояние из множества и обладает следующим свойS (~i) ством: x Si. Автомат, дополненный функцией, может быть преобразован к классическому КА путем дополнения множества состояний автомата выделенS sным начальным состоянием и переходами из этого состояния в соответствии с функцией. В полученном автомате xs1 sусловие (1) выполняется. На рис. 3 поxx2 xказаны графы исходного КА, реализуs1 sxxющего модель реле с гистерезисом xx3 xss(рис. 3, а), и граф КА, полученного x2 xxпутем преобразования автомата, доxxs4 ssполненного функцией начального соxстояния (рис. 3, б).

а б Рассматриваемые преобразоваРис. 3. Граф КА реализующего модель реле тели, реализуемые на основе КА, прис гистерезисом: исходный (а), с учетом меняются при машинном моделировафункции начального состояния (б) нии гибридных систем. В связи с этим, приобретает актуальность задача минимизации вычислительных затрат, а следовательно, задача минимизации автомата, используемого в преобразователях.

Методика основана на объединении состояний, которым соответствуют одинаковые строки таблицы переходов с точностью до незаполненной ячейки.

Для реализации преобразователей с ограниченными временем пребывания AT = на ветвях используем таймированный автомат:, где S — < S, S,, C, I, E > множество состояний, — начальное состояние, — множество меток, C — Sмножество таймеров, E — множество переходов. Переход представляется ~, ~ < s, x cc, cr, s'> s, где: — состояние до перехода, x — входной символ, при котором происходит переход, cc — логическая функция от значений всех таймеров из : если функция cc принимает значение "истина", то происходит переход; cr C s' — множество таймеров, обнуляемых при данном переходе (cr C ); — состояние после перехода. В автомате существует два вида переходов: переходы по входному символу, для которых функция cc "истина" и переходы по истечению времени пребывания на ветви (переходы "по таймеру") при неизменном входном символе. Будем рассматривать сигнал таймера как дополнительный входной сигнал (рис. 4), а множество дополняется символом истечения времени te, который X (s) возникает при достижении сигналов таймера значения. Таймированный автоS, ( x0),, C, I, E мат с s reset C = 1) одним таймером ( C ~ ~t yt yt x может быть преобразован Таймер Автомат D C C D xt к автомату, в котором все переходы могут быть разРис. 4. Модель релейно-импульсного преобразователя делены на переходы по изменению входного символа и переходы по символу таймера. На рис. 5 показан граф таймированного автомата, реализующего управляющее устройство электромеханической позиционной системы (см. рис. 1): исходный (рис. 5, а) и преобразованный (рис. 5, б) x2 x3 x4 xst11 st12 st13 st14 stx5 te s6 sx1 x2 x3 xte te te te te x4 te xx2 x3 x4 xx3 te s4 x5 te s1 s2 s3 s4 sxxx2 te x4 x4 te x4 x1 x2 x3 xte te te te te x1 te x2 sx3 x2 x3 x4 xx3 te sx2 te xst21 st22 st23 st24 stssx1 te xx2 x3 xа б Рис. 5. Граф КА, реализующего модель управляющего устройства электромеханической позиционной системы: исходный (а), преобразованный (б) Третья глава посвящена разработка методов анализа состояний равновесия и периодических режимов в гибридных системах управления.

Состояния равновесия являются важнейшими для любых динамических систем. Положения равновесия можно найти по моделям статики, получаемым из динамических моделей приравниванием производных нулю. Легко показать, что если СХ элементов разомкнутой системы являются кусочно-линейными относительно своих аргументов, то СХ замкнутой системы также кусочно-линейна. Построение СХ замкнутой системы сводится к пересчету координат "узлов" кусочно-линейных характеристик. СХ замкнутой релейной системы не определены для некоторых интервалов. Численное решение уравнения статики можно проводить методом простой итерации (алгоритм Пикара). В общем случае алгоритм может и не сходиться.

Теорема: Если алгоритм Пикара для уточнения состояний равновесия гибридной системы с кусочно-постоянной СХ релейного элемента сходится, то он сходится за конечное число шагов.

xСледствие: Если начальное приближение принадлежит той же ветви СХ, что и искомое решение, то алгоритм сходится за один шаг.

Устойчивость состояний равновесия замкнутых систем с кусочно-постоянными СХ нелинейного элемента определяется устойчивостью непрерывной части.

Если непрерывная часть гибридной системы рассматриваемого класса линейна и устойчива, то любое состояние равновесия устойчиво "в большом" (исключаются из рассмотрения точки разрыва СХ).

Рекомендуется предварительное изучение состояний равновесия по графическим построениям, тем самым, решая проблемы существования, единственности и назначения начальных условий для численного уточнения решений.

Подходы к анализу периодических процессов в нелинейных системах базируются на так называемых прямых методах. Пусть исходная модель представлена в форме однородного ДУ. Рассмотрим другое равносильное (x, x,, x(n)) = уравнение:

= + x,. (2) (x, x,, x(n)) = x Рассмотрим неоднородное ДУ, (3) (x, x,, x(n)) = y y(t) описывающее разомкнутую систему, находящуюся под воздействием.

x(t) Системы (2) и (3) эквивалентны, если реакция разомкнутой системы тождественна воздействию:

y(t) x(t). (4) В качестве воздействия в правой части уравнения (3) будем выбирать "функции-кандидаты" на решение, в частности, периодические функции y(t, ) = y(t + T, ), причем, период T и, быть может, другие параметры подлежат определению. Результатом "подстановки" является реакция разомкнутой системы. Если реакция совпадет с воздействием, то будет получено искомое решение.

На рис. 6, б изображена соответствующая структура разомкнутой системы, на вход которой подается сигнал от генератора сигналов с перестраиваемыми параметрами. Модели систем управления, как правило, изначально имеют вид контура, они легко приводятся к структуре с единичной обратной связью (рис. 6, а).

(n) (x, x,, x ) = x(t) y(t) x(t) Г (x, x,, x(n) ) = x (x, x,, x(n) ) = y а б Рис. 6. Структуры замкнутой (а) и разомкнутой (б) систем Необходимо выбрать переменную, о форме которой имеется максимальная информация, и разомкнуть контур в этом месте. На рис. 7 показаны варианты выбора точки разрыва системы, где символом O обозначен оператор, вычисляющий установившийся процесс на выходе непрерывной части.

~ ~ y x x(t) xг (t) y(t) Автомат СD CС Г CC CD O а ~ ~ y x(t) x yг(t) y(t) Автомат Г O CC CD СD CС б ~ ~ yг ~ y ~ x(t) x x(t) x y(t) Автомат Г СD CС CC CD CC CD O O в Рис. 7. Варианты выбора точки разрыва системы: на выходе непрерывной части (а), на выходе релейного элемента (б), на выходе автомата (в) Если разорвать систему на выходе фильтрующей непрерывной части (рис. 7, а), то приходим к приближенному методу гармонического баланса. Точная форма сигнала известна на выходе релейного элемента (рис. 7, б), что используется в методах Цыпкина и Хамеля. Использование сигнала на выходе автомата (рис. 7, в) приводит к тому, что вместо непрерывных сигналов можно сравнивать параметры последовательностей символов (моменты смены символов), что является особенностью разработанного метода.

Для проверки тождества (4) используется компьютерное моделирование разомкнутой системы, находящейся под периодическим воздействием. Методика определения периодических режимов состоит из следующих этапов.

1. Назначается форма искомого режима.

2. Выбираются начальные значения параметров.

3. Проводится компьютерное моделирование до практического установления процесса, и определяются параметры установившейся реакции.

4. Если значения параметров близки, то решение найдено, иначе осуществляется переход к шагу 5.

5. Изменяются параметры воздействия, и осуществляется переход к шагу 3.

Методика применима, если непрерывная часть системы устойчива в терминах "вход—выход", а установившаяся реакция имеет тот же период, что и входной сигнал.

Должна быть предусмотрена возможность изменения параметров периодического сигнала по результатам очередной итерации, а также выбора формы сигнала.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»