WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     ||
|

N ci + (, ci (v + gi)) = (, ici) + Ti,jcj + fi, i = 1,..., N, (12) t j=где ci — концентрация примеси i; t — время; = i /x + j /y + k /z — оператор набла; v : (, v) = 0 — скорость течения жидкости; gi — скорость гравитационного осаждения примеси i; : (x, x) = 0 — тензор диффузии примеси i;

N T : j = 1,..., N, Ti,j = 0 — матрица взаимного преобразования примесей; fi — i=источники/стоки примеси i.

Модель применяется для исследования возможной причины возникновения анаэробной зоны, которая была обнаружена в августе 2001 года во время экспедиции в Азовском море [5].

Зона аноксии располагалась в восточной части моря (рисунок 7). В этом районе наблюдалась устойчивая стратификация водной среды. Придонный слой воды толщиной от 1 до 4-х метров характеризовался увеличенной плотностью, отсутствием кислорода и высоким содержанием сероводорода. Он отделялся от верхних слоёв переходной зоной (толщиной 0,5–1 м), максимальный градиент плотности в которой составлял 10% на метр. На границе придонного слоя также наблюдался слой мутности, характерный для водоёмов с анаэробными условиями (Чёрное море, Балтийское море). Концентрация сероводорода на глубине 7–8 метров превышала его концентрацию в Чёрном море на глубинах более 350 метров. В результате этого явления произошел массовый замор рыбы.

Автор воспользовался моделью течений, разработанной для Азовского моря другими исследователями [6], чтобы проверить гипотезу о природном возникновении 35 36 37 38 Рисунок 7: Концентрация растворённого кислорода (мкм) в придонном слое.

Пунктирная линия показывает границу области с анаэробными условиями этого явления [7]. Гипотеза заключается в том, что высокое содержание сероводорода (и низкое содержание кислорода) в определённом участке моря вызвано большим количеством органических примесей, попавших в воду вместе со стоками рек. Эти примеси выделяли сероводород в процессе своего разложения.

Модель переноса примесей была адаптирована к требуемой задаче. Результат моделирования показан на рисунке 8.

2.5 Четвёртая глава Четвёртая глава посвящена измерению и обработке исходных данных. Здесь приведены методы измерения мутности и концентрации примесей, в том числе с использованием косвенных методов (например, на основе измерения мощности отражённого от слоёв воды ультразвукового сигнала).

Кроме того, приведён простой но действенный способ фильтрации данных допплеровского профилографа, полученных при измерении течений во время волнения моря.

Основное внимание в этой главе уделено методу интерполяции исходных данных, разработанному и исследованному автором. Метод является разновидностью метода наименьшей кривизны [8]. Математически задача формулируется, как опРисунок 8: Рассчитанная зона аноксии.

Числа показывают концентрацию кислорода (мкм) тимизационная. Для получения результата должна быть решена система линейных уравнений с ограничениями. Это требует большого объёма вычислений при использовании итерационных методов. Для существенного сокращения количества вычислений использован многомасштабный подход.

Применительно к задаче интерполяции глубины метод формулируется следующим образом. В плоской области G заданы ограничения на диапазон изменения глубин: функции m (x, y) и M (x, y) такие, что m (x, y) < M (x, y), где (x, y) G — горизонтальные координаты некоторой точки области. Это означает, что значение реальной глубины/высоты e (x, y) в области G удовлетворяет неравенствам m (x, y) e (x, y) M (x, y). Допустимы случаи, когда в некоторых точках или подобластях m (x, y) = - и/или M (x, y) = +.

Требуется построить в области G функцию f (x, y), которая имеет непрерывные производные первого порядка и ограниченные производные второго порядка, удовлетворяющую следующим условиям:

m (x, y) f (x, y) M (x, y), (13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 f f 2f 2f 2f 2 + 2 + + + 2 dx dy min, (14) x y x2 y2 xy f (x,y)G где 0 — параметр, значение которого будет описано ниже. Постановка задачи имеет следующие отличия от классической задачи интерполяции [8]:

• исходные данные представлены в интервальном виде: [m (x, y), M (x, y)] ;

• форма области G также берётся в расчёт; это важно при интерполяции физических величин, существующих только в пределах некоторой области (например, концентрации загрязнений в водоёме).

Перечисленные особенности расширяют область применения описываемого интерполяционного метода.

Минимизация суммы квадратов первых производных даёт тенденцию горизонтального положения интерполированной поверхности. Это соответствует минимизации потенциальной энергии земной поверхности. Коэффициент 0 (обычно достаточно малый) предназначен для настройки этой особенности; его оптимальное значение может быть оценено на основе анализа исходных данных.

В работе производится дискретизация уравнений (13), (14), предлагается и исследуется многомасштабный итерационный метод для решения получающейся при дискретизации системы уравнений.

В качестве примера рассмотрена задача интерполяции данных, показанных на рисунке 9. Следует отметить, что метод не требует распознавания изолиний глубины: в качестве входных данных могут быть использованы цвета областей, поэтому достаточно залить области между изолиниями различными цветами. Каждый цвет обозначает свой диапазон глубин, который записывается в ограничения по высоте при построении сетки. Кроме областей с цветом карта имела множество отметок глубины и высоты (на рисунке 9 показаны кружочками), которые были оцифрованы и внесены в соответствующие ячейки сетки при её построении. Погрешность всех данных положена равной 0,1 метра. Кроме того, была отдельная карта для треугольного водоёма на юго-востоке карты (Этанг-де-Больмон). Её данные не показаны.

Для вычислений использовалась сетка размерами 512 512 ячеек. Вначале был произведён расчёт одномасштабным алгоритмом. Потребовалось более 50-ти тысяч итераций (14 минут машинного времени) для того, чтобы итерации сошлись.

Рисунок 9: Пример данных о высоте для залива Этанг-де-Берр (Франция) Затем был произведён расчёт многомасштабным алгоритмом. На сетке каждого масштаба требовалось произвести от 10 до 100 итераций. В итоге алгоритм сошёлся за 215 итераций (2,9 секунд машинного времени). Использование многомасштабного алгоритма позволило ускорить вычисления в 300 раз.

Алгоритм интерполяции может быть обобщён на случай наличия поля выделенных направлений (вызванного, например, наличием течений в водоёме). При этом в модели появляется ещё один коэффициент, отражающий предполагаемое отношение скоростей конвективного и диффузионного переноса. Такая расширенная модель может быть использована при интерполяции концентраций примесей, измеренных в водоёме с известными течениями. Более того, сама карта течений может быть получена путём интерполяции экспериментальной информации о течениях в водоёме. В последнем случае интерполируемое векторное поле само для себя создаёт выделенное направление.

2.6 Основные результаты и выводы • Разработаны эффективные алгоритмы динамических адаптивных сеток.

Рисунок 10: Результат интерполяции данных с рисунка 9.

Сетка 512 512 ячеек, = 3 · 10-3 1/м. Масштаб указан в метрах • Алгоритмы реализованы в виде библиотеки компьютерных программ и опробованы на задаче переноса пассивной примеси в пористой среде • Разработана и исследована модель переноса многокомпонентной примеси в водной среде.

• На основе разработанной модели подтверждена гипотеза о механизме возникновения анаэробной зоны в Азовском море.

• Разработаны алгоритмы обработки и интерполяции исходных данных.

2.7 Основные результаты опубликованы в работах:

1. A.I. Sukhinov, B. Roux, A.A. Sukhinov Reconstruction of Basin Bottom Surface for High Precision Hydrodynamics Modeling Using Parallel Computations. Int. Conf on Parallel Computational Fluid Dynamics, May 21–24, 2007, Antalya, Turkey (Parallel CFD 2007). CD-ROM Proceedings, ParCFD-2007-031, 8 pp.

2. B.N. Chetverushkin, N.G. Churbanova, M.A. Trapeznikova, A.A. Sukhinov, A.A. Malinovskij, Adaptive Cartesian mesh refinement for simulating multiphase flows in porous media.

Computational Methods in Applied Mathematics, Vol. 8 (2008), No 2, Minsk, Belarus, pp.

101–115.

3. А.А. Сухинов, Реконструкция экологической катастрофы в Азовском море на основе математических моделей. Математическое моделирование, 20:6 (2008), стр. 15–22.

4. А.А. Сухинов, Адаптивные декартовы сетки. Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, № 54 (2008), стр. 164–165.

5. А.А. Сухинов, Восстановление донной поверхности по различным картографическим данным. Вестник Южно-Уральского Государственного Университета, вып. 3 (2009), 10 стр.

6. Boris N. Chetverushkin, Natalia G. Churbanova, Anton A. Sukhinov, Marina A. Trapeznikova, Technique of Cartesian Mesh Refinement with Dynamic Adaptation to the Solution.

Adaptive Modeling and Simulation 2009. Proc. of the IV International Conference on Adaptive Modeling and Simulation, Bruxelles, Belgium, 25–27 May, 2009, ed. by Ph. Bouillard and P. Diez, CIMNE, Barcelona, pp. 55–58.

7. A.A. Sukhinov, Mathematical Reconstruction of the Ecological Disaster in the Sea of Azov.

Mathematical Models and Computer Simulations, 2009, Vol. 1, No. 3, pp. 353–359.

2.8 Цитируемая литература 1. С.К. Годунов, Разностный метод численного расчёта разрывных решений уравнений гидродинамики. Мат. сборник, 1959, т. 47(89):З. Стр. 271-306.

2. M.J. Berger, J. Oliger, Adaptive mesh refinement for hyperbolic partial differential equations. Journal of Computational Physics. Vol. 53, pp. 484–512. Mar. 1984.

3. R.A. Finkel, J.L. Bentley, Quad trees: A Data Structure for Retrieval on Composite Keys.

Acta Informatica 4(1), pp. 1–9, 1974.

4. В.Н. Николаевский, Механика пористых и трещиноватых сред, Москва, Недра, 1984.

5. Е.В. Якушев, А.И. Сухинов и др. (2003). Комплексные океанологические исследования в Азовском море во время 28-й экспедиции научно-исследовательского судна “Акванавт” (Июль-Август 2001 г.). Журнал «Океанология», РАН, т. 43, стр. 44–53.

6. В.С. Васильев, А.И. Сухинов (2003). Прецизионные двумерные модели мелководных водоёмов. «Математическое моделирование», РАН, т. 15, № 10, стр. 17–34.

7. А.А. Сухинов, Реконструкция экологической катастрофы в Азовском море на основе математических моделей. Математическое моделирование, 20:6 (2008), стр. 15–22.

8. Schu, G.H. Review of Interpolation Methods for Digital Terrain Models. Canadian Surveyor, December, 1976. Vol. 30, N. 5. P. 389–412.

Pages:     ||
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.