WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     |
|

На правах рукописи

СУХИНОВ АНТОН АЛЕКСАНДРОВИЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА ПРИМЕСЕЙ В ЖИДКОСТЯХ И ПОРИСТЫХ СРЕДАХ Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2009

Работа выполнена в Институте математического моделирования Российской академии наук

Научный консультант: доктор физико-математических наук, членкорреспондент РАН, профессор Четверушкин Борис Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Мажукин Владимир Иванович доктор физико-математических наук, профессор Шевелёв Юрий Дмитриевич

Ведущая организация: Институт вычислительной математики РАН, г. Москва

Защита состоится « 3 » декабря 2009 года в 14 ч. 20 мин. на заседании Диссертационного совета Д.002.058.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская площадь, 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математического моделирования РАН.

Автореферат разослан « » октября 2009 года.

Учёный секретарь Диссертационного совета Д.002.058.01 доктор физико-математических наук Н.В. Змитренко 1

Общая характеристика работы

Работа посвящена различным аспектам решения задач математической физики: от методов построения сеток и решения систем сеточных уравнений до обработки экспериментальных данных и верификации моделей. В основном рассматриваются задачи переноса вещества в жидкостях и пористых средах.

1.1 Актуальность работы Аномальные природные явления и деятельность человека зачастую приводят к попаданию большого количества примесей в водоёмы. При этом даже химически нейтральные взвеси ухудшают качество воды, уменьшают её прозрачность, и образуют донные отложения, тем самым нарушая функционирование экосистемы. Кроме того, загрязняющие вещества попадают в почву, просачиваясь на большую глубину.

Математическое моделирование этих процессов играет первостепенную роль как в прогнозировании возможного вмешательства в экосистему, так и в анализе текущей ситуации. Используемые при этом модели чаще всего представляют собой разновидности моделей диффузии-конвекции.

Численное решение задач математической физики обычно требует наличия сетки, покрывающей расчётную область. Дискретизация уравнений модели производится на уровне элементов сетки. Физические явления часто характеризуются наличием разрывов и локализованных областей с высокими градиентами физических величин.

Численное моделирование таких задач и используемые методы (конечные элементы, конечные объёмы, конечные разности и спектральные методы) на равномерных сетках неэффективны, когда требуется высокая точность решения. Точность может быть повышена путём использования схем высокого порядка аппроксимации или путём уменьшения размеров элементов сетки. Первый метод имеет недостаток: схемы высокого порядка аппроксимации приводят к появлению осцилляций [1]. Уменьшение же размеров ячеек во всей области значительно увеличивает вычислительную сложность задачи.

Адаптивные сетки — метод, который позволяет локально перестраивать сетку.

Адаптация требуется, чтобы сгустить сеточные элементы в областях, где они наиболее необходимы, оставив сетку грубой в остальных местах. Такие сетки позволяют максимально точно передать движущиеся поверхности разрывов, ударные волны, фазовые переходы и другие области больших градиентов функций. В связи с этим построению методов адаптации сеток в работе уделено особое внимание (половина объёма диссертации посвящена адаптивным сеткам).

Следует отметить, что адаптивные сетки — метод далеко не новый. Технологии адаптации расчётных сеток широко применяются при решении практических задач численными методами. Данная методика успешно развивается как в нашей стране, так и за рубежом, и является на сегодняшний день чрезвычайно актуальной и востребованной, о чем свидетельствует большое количество публикаций.

Большинство программных пакетов для решения задач математической физики имеет возможность адаптировать сетку к форме области. Однако адаптация сетки к получаемому решению зачастую приводит к проблемам неустойчивости (как решения, так и конфигурации сетки). Поэтому сетки, динамически адаптирующиеся к решению, всё ещё не перешли из разряда исследовательских разработок в разряд вычислительных инструментов.

Помимо математических и алгоритмических сложностей существуют проблемы программной реализации, преодоление которых требует больших усилий со стороны высококвалифицированных математиков и программистов. Как правило, каждая разработка нацелена на решение конкретного узкого типа задач и не является универсальной. Возникают вопросы об экономичности и эффективности алгоритмов адаптации сеток.

1.2 Цели и задачи работы Целями работы являются:

• Разработка эффективных алгоритмов и компьютерных программ построения декартовых сеток, динамически адаптирующихся к решению.

• Применение разработанных методов к решению задачи переноса примесей в пористой среде.

• Разработка и исследование модели переноса многокомпонентной примеси в водной среде.

• Применение модели переноса многокомпонентной примеси для моделирования процесса возникновения анаэробной зоны в Азовском море.

• Разработка алгоритмов обработки исходных данных: измерение течений, концентрации примесей, формы донной поверхности.

1.3 Научная новизна Научная новизна работы заключается в новых методах и моделях:

• Комплекс алгоритмов адаптации декартовых сеток, имеющий низкие накладные расходы.

• Способы упорядочивания и «раскраски» узлов адаптивных сеток для итерационных методов решения систем сеточных уравнений, снижающие требуемое число итераций и имеющие большую область сходимости по сравнению с классическими алгоритмами обхода узлов.

• Модель переноса многокомпонентной примеси, учитывающая конвективный и диффузионный перенос примесей, гравитационное осаждение, а также их взаимное преобразование.

• Метод интерполяции пространственно распределённых двумерных данных, учитывающий форму области интерполяции, погрешность исходных данных, и наличие поля выделенных направлений (например, течений в водоёме).

Метод адаптации декартовых сеток имеет следующие отличия от аналогичных методов:

• Алгоритм производит адаптацию сетки на каждом временном шаге, оперирует отдельными ячейками сетки (без их предварительной группировки), и производит изменение их размеров в минимальное число раз — в 2 раза. Это позволяет увеличить разрешающую способность алгоритма, и производить адаптацию к самым мелким и «короткоживущим» особенностям решения.

• Результат адаптации сетки не зависит от порядка обработки ячеек. Это позволяет избежать «зацикливания» алгоритма адаптации и минимизировать изменение сеточной функции, вносимое адаптацией.

• Алгоритм адаптации и генерируемые им структуры сеток устойчивы относительно сеточной функции и их изменения во времени.

1.4 Теоретическая и практическая значимость Разработанные алгоритмы адаптивных декартовых сеток могут быть использованы при численном решении уравнений математической физики различной размерности. Некоторые из разработанных методов (например, метод интерполяции сеточной функции и построения разностной схемы, методы решения СЛАУ на адаптивных сетках) могут быть применены независимо от остального комплекса алгоритмов.

Модель переноса примесей, предложенная в работе, может быть использована для моделирования широкого класса явлений путём надлежащего выбора матрицы преобразования примесей.

Разработанный алгоритм интерполяции исходных данных имеет гораздо более широкую область применения по сравнению с классическими алгоритмами, так как позволяет учитывать погрешность измерений, форму области интерполяции, и пространственную распределённость исходных данных (исходные данные могут быть заданы не обязательно в точечном виде). Кроме того, метод позволяет учесть наличие выделенных направлений, вызванных наличием течений.

Все рассмотренные в диссертационной работе алгоритмы реализованы в виде компьютерных программ на языках программирования Delphi и C++.

1.5 На защиту выносятся:

• Алгоритмы декартовых сеток с динамической адаптацией к решению, в том числе:

– структуры данных, необходимые для хранения сеток и их эффективной адаптации к получаемому решению;

– алгоритм адаптации сетки;

– методы интерполяции сеточной функции и аппроксимации дифференциальных уравнений на таких сетках;

– методы решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих на вложенных декартовых сетках.

• Модель переноса многокомпонентной примеси, учитывающая диффузию, конвекцию, гравитационное осаждение и взаимное преобразование примесей различного типа.

• Метод интерполяции исходных данных, учитывающий погрешность этих данных, наличие поля выделенных направлений, и форму области интерполяции 1.6 Апробация работы:

Изложенные в диссертации результаты докладывались на 10-й Международной конференции «Mathematical Modeling and Analysis» (Тракай, Литва, 2005), на конференции «European Conference on Computational Fluid Dynamics» (Егмон Аан Зи, Нидерланды, 2006), третьей Международной конференции «Adaptive Modeling and Simulation» (Гётеборг, Швеция, 2007), Международной конференции «Parallel Computational Fluid Dynamics» (Анталия, Турция, 2007), Научно-практическом семинаре «Круглый стол МФТИ-Шлюмберже» (Москва, 2007), 50-й Научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Долгопрудный, 2007), третьей Международной конференции «Computational Methods in Applied Mathematics» (Минск, Белоруссия, 2007), пятой Всероссийской межвузовской конференции молодых учёных (Санкт-Петербург, 2008), конференции «Параллельные вычислительные технологии» (Нижний Новгород, 2009).

1.7 Структура и объём работы:

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 150 страницах, включает 35 рисунков и 5 таблиц. Список литературы включает 40 наименований.

1.8 Публикации по теме диссертации:

По теме диссертационной работы опубликовано 7 статей. Их список представлен в конце автореферата.

2 Содержание работы 2.1 Введение Введение включает обоснование актуальности темы, содержит формулировку основных целей работы и краткое содержание глав.

2.2 Первая глава В первой главе приводится классификация существующих алгоритмов адаптивных сеток, и описываются отличия предлагаемых методов от оригинальной работы “Adaptive mesh refinement for hyperbolic partial differential equations” [2].

Затем вводятся основные предположения адаптивных сеток (на примере двумерных сеток, хотя алгоритмы легко обобщаются на пространство любой размерности):

1) Корневая ячейка сетки: вначале сетка состоит из единственной прямоугольной ячейки R R2, которая называется корневой ячейкой сетки.

2) Разбиение ячеек: ячейка может быть разбита (разделена) на четыре ячейки одинакового размера. Эти меньшие ячейки называются дочерними ячейками (потомками) разделённой ячейки. Сама разделяемая ячейка называется родителем своих потомков.

3) Объединение ячеек: четыре ячейки могут быть объединены в одну, только если они когда-то составляли одну ячейку.

4) Сеточная функция: каждой ячейке сетки C поставлена в соответствие величина f (C) Rn (скалярная или векторная), описывающая среднее значение вычисляемой функции в пределах ячейки. Величину f (C) будем называть значением ячейки C.

5) Ограничение на размеры ячеек: ячейка не должна иметь в своей окрестности ячеек, которые отличаются от неё по размерам более чем в два раза.

После этого вводятся основные понятия четверичных деревьев [3] и показывается, что структура адаптивной сетки, удовлетворяющей предположениям 1–4, может быть представлена в виде четверичного дерева (при этом ячейки сетки не уничтожаются при разбиении, рисунок 1). Адаптивная сетка определяется, как четверичное дерево, дополненное геометрическими размерами и сеточной функцией. Последнее (пятое) предположение сужает класс четверичных деревьев, которым соответствуют адаптивные сетки.

C C C 3 C C 3 C C 1 C C 7 C C C 7 C C 11 C C C 5 C C 9 C C 11 C C 9 Рисунок 1: Четверичное дерево — удобный способ представления двумерной адаптивной сетки Вводится понятие соседних ячеек, как ячеек, имеющих общие точки с текущей ячейкой, и равных по размерам текущей ячейке, либо больших её (если ячеек равного размера нет). Также определяются малые соседние ячейки (рисунок 2), которые являются дочерними ячейками (если таковые имеются) соседних ячеек.

При постановке граничных условий предполагается, что расчётная область имеет простую ступенчатую форму. Для упрощения алгоритма интерполяции и обеспечения независимости адаптивных сеток от решаемой на этих сетках задачи в данной работе используется метод фиктивных ячеек. В случае адаптивных сеток такой подход требует не только доопределения значений сеточной функции за пределами сетки, но и достраивания структуры сетки некоторым образом за её границами.

Получается двухуровневая схема построения сетки в расчётной области: расчётная область покрывается равномерной сеткой из прямоугольников, каждый из которых представляет собой адаптивную сетку. Граничные условия обеспечиваются достраиванием фиктивных адаптивных сеток за пределами области.

Определяется процедура сшивки адаптивных сеток, а также методы построения фиктивных сеток для периодических граничных условий, граничных условий на непроницаемой границе, и граничных условий первого рода.

Далее в первой главе вводится понятие адреса ячейки в поддереве. Адрес — это путь от корневой ячейки поддерева к текущей ячейке, записанный в виде двух (по числу измерений пространства) двоичных строк. При этом все геометрические операции на сетке (нахождение соседних ячеек, построение граничных условий, нахождение координат ячеек и их размеров) выражаются простыми формулами, оперирующими адресами ячеек. Адреса легко реализуются на компьютере с использованием целочисленной арифметики.

Ключевое место в алгоритмах адаптивных сеток занимают алгоритмы интерполяции сеточной функции. Интерполяция используется как для построения разностных схем (например, методом конечных объёмов), так и для оценки «качества» ячеек при адаптации сетки.

Имея значения ячеек, можно построить непрерывно дифференцируемую функцию f (x, y), которая удовлетворяет следующим уравнениям для каждой ячейки C:

Pages:     |
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.