WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

3) раскраска обеднения M Q модели M до графовой сигнатуры = {Q} несущественна и Q-упорядочена;

4) формула Q(x, y) является главной формулой в теории Th(M Q).

В параграфе 1.7 приводятся генерические конструкции обогащений теории из параграфа 1.6, в которых любой неглавный тип является властным.

Теорема 1.7.4 Существует малая теория T, обогащающая теорию T0 и удовлетворяющая условию |RK(T )| = 2.

В параграфе 1.8 дается генерическая конструкция обогащения теории из параграфа 1.7, имеющего ровно три счетные модели:

Теорема 1.8.8. Существует полная теория T, обогащающая генерическую теорию T0 и удовлетворяющая условию I(T, ) = 3.

В параграфе 1.9 на основе генерических конструкций из параграфов 1.6 1.8 приводятся конструкции, реализующие всевозможные основные характеристики полных теорий с конечным числом счетных моделей:

Теорема 1.9.1. Для любого конечного предупорядоченного множества X, с наименьшим элементом x0 и наибольшим классом x1 в упорядоченном фактор-множестве X, / по отноше нию (где x y x y и y x), а также для любой функции f : X/, удовлетворяющей условиям f(x0) = 0, f(x1) > 0 при |X| > 1, f( > 0 при |y| > 1, существует полная теория T и изоy) морфизм g : X, RK(T ) такой, что IL(g( = f( для любого y)) y) y X/.

В параграфе 1.10 устанавливаются аналоги теорем 1.1.13 и 1.9.1 для малых теорий с конечными предпорядками Рудина–Кейслера (теоремы 1.10.1 и 1.10.3).

В параграфе 1.11 представляется описание всевозможных предпорядков Рудина–Кейслера в малых теориях:

Теорема 1.11.1. 1. Для любой малой теории T предупорядоченное множество RK(T ) не более чем счетно, направлено вверх и имеет наименьший элемент.

2. Для любого не более чем счетного предупорядоченного направленного вверх множества X,, имеющего наименьший элемент, существует малая теория T, для которой RK(T ) X,.

В параграфе 1.12 показывается, что наряду с получающимся при доказательстве теоремы 1.6.3 властным орграфом, соответствующим условию (1) теоремы 1.4.3, существуют две модификации основной конструкции, в первой из которых властный орграф соответствует условию 2 теоремы 1.4.3 (теорема 1.12.2), а вторая конструкция позволяет построить властный тип без властного орграфа (теорема 1.12.5).

Строящиеся при этом генерические модели M и M расширяются до моделей, теории которых имеют любой заданный предпорядок подчинения и любую заданную функцию распределения числа предельных моделей.

В главе 2 определяются различные понятия полигонометрий и тригонометрий групп, обосновывается связь тригонометрий с властными орграфами и представляются различные алгебраические и теоретикографовые свойства полигонометрий.

Понятия полигонометрии и тригонометрии группы с особым элементом и первоначальные примеры таких полигонометрий и тригонометрий (примеры 2.1.1 и 2.1.2) приводятся в параграфе 2.1. В этом же параграфе доказывается, что любой орграф, индуцируемый бесконтурной тригонометрией, является властным (предложение 2.1.1).

Кроме того устанавливаются критерии существования полигонометрий (теоремы 2.1.3 и 2.1.4), критерий изоморфизма полигонометрий (теорема 2.1.5), критерий существования тригонометрии (теорема 2.1.6).

Замечается, что в отличие от классических тригонометрий в тригонометриях групп имеет место неоднозначность параметров треугольников по трем сторонам (предложение 2.1.8).

Система P = P, L, I, где P множество точек, L множество линий, I P L отношение инцидентности, называется точной (1, 2)-псевдоплоскостью, где 1, 2 некоторые кардиналы, если выполняются следующие предложения:

1 p P = l L I(p, l), l L = p P I(p, l), p1 = p2 P 1l L (I(p1, l) I(p2, l)), l1 = l2 L 1p P (I(p, l1) I(p, l2)).

Здесь = означает “существует ровно ”, а 1 “существует не более одного”.

Точная (1, 2)-псевдоплоскость P называется плоскостью, если выполняется p1 = p2 P =1l L (I(p1, l) I(p2, l)).

Плоскость P называется проективной плоскостью, если l1 = l2 L =1p P (I(p, l1) I(p, l2)).

Точная (1, 2)-псевдоплоскость называется точной -псевдоплоскостью, если 1 = 2 =.

Пусть G группа, g0 неединичный элемент группы G. Система G, P, g0 (обозначаемая через pm(G, P, g0)) называется полигонометрией группы G с особым элементом g0 на точной |G|-псевдоплоскости P = P, L,, если выполняются следующие условия:

а) для любой линии l L группа G действует точно транзитивно на множестве l, т.е. pe = p, (pg1)g2 = p(g1g2), p l, g1, g2 G, и для любых точек p, p l существует ровно один элемент g G такой, что p = pg;

б) для любых точек p1, p2 P и линий l1, l2 L, если p1 l1 и p2 l2, то существует такая биекция f : P P, что (i) f(p1) = p2, f(l1) = l2;

(ii) множество f(l) принадлежит множеству L для любой линии l L, и f({l | p l}) = {l | f(p) l} для любой точки p P ;

(iii) для любой линии l L и любых точек p, p l, если p = pg на l, то f(p) = f(p)g на f(l);

в) для любой точки p P множество p {p | p = pg0 на некоторой линии l} является линией и отображение p P p L осуществляет биекцию между P и L.

Отметим, что термин “полигонометрия” определяет класс описанных выше объектов более точно, чем использованный в ранних работах автора термин “тригонометрия”. Указанная замена терминологии произведена по предложению Е.А.Палютина.

Полигонометрия pm(G, P, g0) называется тригонометрией группы G с особым элементом g0, если P плоскость. Тригонометрия pm(G, P, g0) будет обозначаться через trm(G, P, g0).

Предложение 2.1.1. Если g = P ; Qg особый граф g0-бескон0 турной тригонометрии trm = trm(G, P, L,, g0), то g властный орграф.

Теорема 2.1.3. Пусть g0 неединичный элемент группы G, некоторое множество G-треугольников. Следующие условия эквивалентны:

(1) множество является g0-согласованным;

(2) на некоторой точной |G|-псевдоплоскости P существует полигонометрия pm(G, P, g0) такая, что = S3(G, P, g0).

Теорема 2.1.4. Пусть g0 неединичный элемент группы G, S некоторое множество G-многоугольников. Следующие условия эквивалентны:

(1) S g0-полигонометрическое множество;

(2) на некоторой точной |G|-псевдоплоскости P существует полигонометрия pm(G, P, g0) такая, что S = S(G, P, g0).

Теорема 2.1.5. Следующие условия эквивалентны:

(1) pm(G, P1, g0) pm(G, P2, g0);

(2) S(G, P1, g0) = S(G, P2, g0) и c(P1) = c(P2).

Теорема 2.1.6. Если P связная псевдоплоскость и тройка (G, P, g0) образует полигонометрию, то следующие условия эквивалентны:

(1) S3(G, P, g0) g0-предполное (g0-полное) множество;

(2) P (проективная) плоскость.

В параграфе 2.2 доказывается существование тригонометрии свободной -порожденной группы F (где произвольный бесконечный кардинал) на проективной плоскости (теорема 2.2.1), устанавливается максимальное число таких тригонометрий (теорема 2.2.2) и показывается существование тригонометрии, имеющей властный орграф (следствие 2.2.4). Кроме того доказываются теорема о расширении полигонометрии подгруппы до полигонометрии группы (теорема 2.2.5), теорема о существовании на проективной плоскости тригонометрии группы GF для любой группы G и подходящей мощности (теорема 2.2.7) и теорема о существовании на проективной плоскости тригонометрии группы G A для любой группы G и подходящей абелевой группы A (теорема 2.2.8).

Теорема 2.2.1. Для любого группа F имеет тригонометрию на некоторой проективной плоскости.

Теорема 2.2.2. Для любого группа F имеет 2 тригонометрий на проективной плоскости.

Следствие 2.2.4. Существует тригонометрия, имеющая властный особый орграф.

Теорема 2.2.5. Если подгруппа H группы G имеет полигонометрию на точной |H|-псевдоплоскости PH, то группа G имеет тригонометрию на некоторой точной |G|-псевдоплоскости, расширяющей псевдоплоскость PH.

Теорема 2.2.7. Для любой группы G группа G F(G), где (G) = max{|G|, }, имеет тригонометрию на некоторой проективной плоскости.

Теорема 2.2.8. Для любой группы G группа G A, где A = A-1 Ai, где A-1 {Z2, Z3, Z}, Ai {Z} {Zn | 2 n < }, i<(G) (G) = max{|G|, }, имеет тригонометрию на некоторой проективной плоскости.

В параграфе 2.3 устанавливается критерии вложимости одной полигонометрии в другую (теоремы 2.3.1 и 2.3.3), критерий вложимости полигонометрии в тригонометрию на проективной плоскости (теорема 2.3.8), необходимое условие совместного вложения полигонометрий (предложение 2.3.10).

Теорема 2.3.1. Пусть G1 неединичная подгруппа группы G2, P1 связная точная |G1|-псевдоплоскость. Следующие условия эквивалентны:

(1) полигонометрия pm(G1, P1, g0) вложима в полигонометрию pm(G2, P2, g0);

(2) S(G1, P1, g0) = S(G2, P2, g0) G1.

Теорема 2.3.3. Пусть G1 неединичная подгруппа группы G2.

Следующие условия эквивалентны:

(1) полигонометрия pm(G1, P1, g0) вложима в полигонометрию pm(G2, P2, g0);

(2) S(G1, P1, g0) = S(G2, P2, g0) G1, и число c(P1) не превос ходит числа c(P1) для любой максимальной G1-подполигонометрии pm(G1, P1, g0) полигонометрии pm(G2, P2, g0).

Теорема 2.3.8. Пусть pm = pm(G, P, g0) некоторая (g0-бесконтурная) полигонометрия, имеющая не более (pm) компонент связности. Следующие условия эквивалентны:

(1) полигонометрия pm вложима в некоторую (g0-бесконтурную) тригонометрию pm группы G F(pm) на проективной плоскости;

(2) полигонометрия pm не содержит h.p.-многоугольников.

В параграфе 2.4 определяются понятия полигонометрии и тригонометрии пары групп, объединяющие понятия полигонометрии и тригонометрии группы, а также классические тригонометрии. Приводятся примеры, интерпретирующие полигонометрии пар групп в виде классических тригонометрий. Аналогично полигонометриям групп устанавливаются критерии существования полигонометрии (теоремы 2.4.и 2.4.2), изоморфизма полигонометрий (теорема 2.4.3), существования тригонометрии (теорема 2.4.4), вложимости одной полигонометрии в другую (теорема 2.4.6), теорема о расширении полигонометрии с пары подгрупп на пару групп (теорема 2.4.9), критерий вложимости полигонометрии в тригонометрию на проективной плоскости (теорема 2.4.10), теорема о совместной вложимости полигонометрий (теорема 2.4.11), предложение о вложимости любой полигонометрии пары групп в полигонометрию группы (предложение 2.4.12).

В параграфе 2.5 определяются понятия гомоморфизма полигонометрий и фактор-полигонометрии и приводится полигонометрический аналог теоремы о гомоморфизмах (теорема 2.5.1).

В параграфе 2.6 определяются полигонометрические аналоги операций над графами, показывается, что любая связная полигонометрия получается некоторой факторизацией древесной полигонометрии (следствие 2.6.4), а также доказываются критерии вложимости цветного графа в полигонометрии:

Теорема 2.6.6 Пусть = M, Ri | i I цветной граф с попарно различными отношениями и без петель. Следующие условия эквивалентны:

1) граф вложим в некоторую полигонометрию пары групп;

2) граф вложим в некоторую тригонометрию группы;

3) граф вложим в некоторую тригонометрию группы G = i(Z2)i F, где (Z2)i копия группы Z2, F свободная порожденная группа, = || + ;

4) для любых дуг (a1, b1), (a2, b2) Qi не существует цвета j = i в, и если (b1, a1) Qj, то (b2, a2) Qj.

В параграфе 2.7 приводятся критерии для конечных полигонометрий (предложения 2.7.1 и 2.7.2), примеры серий конечных полигонометрий и описание полигонометрий малого порядка.

В главе 3 изучаются алгебраические системы и элементарные теории, связанные с полигонометриями групп. В параграфе 3.1 определяется аксиоматизируемый класс частичных алгебр, соответствующих полигонометриям (класс полигонометрических алгебр). На языке этих алгебр приводятся критерий существования полигонометрий (теорема 3.1.1), критерий изоморфизма полигонометрий (теорема 3.1.3), доказывается теорема о подобии теории класса полигонометрических алгебр над проективными плоскостями конечно аксиоматизируемой теории (теорема 3.1.10), исследуются вопросы замкнутости класса полигонометрических алгебр относительно операций над частичными алгебрами (предложения 3.1.11 и 3.1.12), а также изучается связь категории гомоморфизмов полигонометрий с категорией гомоморфизмов полигонометрических алгебр (предложение3.1.14).

Теорема 3.1.1. Пусть A некоторая частичная алгебра, определенная на носителе G1 G2. Следующие условия эквивалентны:

(1) A является полигонометрической алгеброй над парой групп (G1, G2);

(2) на некоторой точной (|G1|, |G2|)-псевдоплоскости P существует полигонометрия pm(G1, G2, P) такая, что A = A(pm).

Теорема 3.1.3. Следующие условия эквивалентны:

(1) pm(G1, G2, P) pm(G1, G2, P);

(2) A(pm(G1, G2, P)) = A(pm(G1, G2, P)) и c(P) = c(P).

Теорема 3.1.10. Теория класса всех тригонометрических алгебр над проективной плоскостью подобна конечно аксиоматизируемой теории класса всех проективно тригонометрических алгебр.

В параграфе 3.2 изучаются группы автоморфизмов полигонометрий. Приводится описание группы автоморфизмов данной полигонометрии на языке порождающих элементов и определяющих соотношений (теорема 3.2.4), а также описание класса групп автоморфизмов полигонометрий (теорема 3.2.15).

Теорема 3.2.4. Если GN(S) полигонометрическое множество, задающее полигонометрию pm = pm(G1, G2, P) с c(pm) компонентами связности, то Aut(pm) G1, G2 R1, R2, a1 a2... an a11a22... ann = e S Sc(pm).

1 2... n При этом, если c(pm) = 1, то группа G1 изоморфна стабилизаторам линий, а G2 стабилизаторам вершин.

Теорема 3.2.15. Группа G изоморфна группе автоморфизмов некоторой полигонометрии пары групп (G1, G2) тогда и только тогда, когда G изоморфна некоторой группе G0 S с некоторым кардиналом, удовлетворяющей следующим условиям:

(а) G1 G0, G2 G0, G1 G2 = {e};

(б) группа G0 порождается множеством G1 G2;

(в) если a11... an-2n-2an-1n-1ann = e и a11... an-2n-2an-1n- a n = e, ai G1\{e}, i G2\{e}, 1 i n, n 3, то n-1 = n-1, n an = a, n = n;

n (г) если 1a1... n-2an-2n-1an-1nan = e и 1a1... n-2an-2n-1a n- na = e, ai G1 \{e}, i G2 \{e}, 1 i n, n 3, то an-1 = a, n n- n = n, an = a ;

n (д) если a11a22a33 = e, ai G1, i G2, 1 i 3, и a3 = e, то a1 = a2 = e или 1 = e;

(е) если a11a22a33 = e ai G1, i G2, 1 i 3, и 1 = e, то 2 = 3 = e или a3 = e.

В параграфе 3.3 на языке групп автоморфизмов охарактеризован класс полигонометрий групп (теорема 3.3.1), а также условие определимости полигонометрии пары групп в алгебраической системе (предложение 3.1.2).

В параграфе 3.4 определяется понятие полигонометрической теории, приводятся свойства полигонометрических теорий (предложения 3.4.1, 3.4.2, 3.4.4; теоремы 3.4.11 и 3.4.12), параметризация формул и типов в полигонометрических теориях (предложения 3.4.6 3.4.9).

В параграфе 3.5 описываются спектральные функции теорий всюду конечно определенных полигонометрий, т.е. полигонометрий, имеющих конечное число различных наборов параметров нетривиальных n-угольников для каждого n.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»