WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

описан и исследован класс частичных алгебр, определяющих полигонометрии (параграф 3.1), а также класс групп автоморфизмов полигонометрий (параграф 3.2);

изучены свойства и описаны функции спектра теорий всюду конечно определенных полигонометрий (параграф 3.5);

установлено существование -стабильных тригонометрий групп без кручения на проективной плоскости (теорема 3.7.35);

исследованы полигонометрии групп с условиями симметрии расстояний (параграф 3.9), обобщенные полигонометрии, соответствующие произвольному множеству матриц сторон и углов (параграф 3.10), полигонометрии с несущественными раскрасками точек (параграф 3.11);

исследованы свойства теорий, наследуемых при транзитивных размещениях алгебраических систем (параграф 3.12).

Все основные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в общей теории моделей, при решении пограничных вопросов, связанных с теорией групп, теорией графов, геометрией и теорией универсальных алгебр, при чтении спецкурсов по теории моделей, написании учебных пособий и монографий Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Девятой Всесоюзной конференции по математической логике (Ленинград, 1988), на Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989; Барнаул, 1991; Красноярск, 1993; Москва, 1998; Москва, 2004; Екатеринбург, 2005), на Советско-Французском коллоквиуме по теории моделей (Караганда, 1990), на Суслинских конференциях (Саратов, 1991, 1994), на XI Межреспубликанской конференции по математической логике (Казань, 1992), на Казахско-Французских коллоквиумах по теории моделей (Алма-Ата, 1994; Караганда, 2000), на Международных конференциях по математической логике памяти А.И.Мальцева (Новосибирск, 1994, 1999, 2001, 2004), на Летней школе по теории моделей и универсальной алгебре (Эрлагол, 1995, 1997, 1999, 2001, 2003, 2005), на Корейско-Российском Международном симпозиуме по Науке и Технологии (Ульсан, 1997), на Летней школе по универсальной алгебре и упорядоченным множествам (Велке Карловице, Чехия, 1998), на Международном семинаре “Универсальная алгебра и ее приложения” (Волгоград, 1999), на Международной конференции, посвященной 60-летию со дня рождения академика Ю.Л.Ершова (Новосибирск, 2000), на Международном семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001), на Международной конференции “Алгебра и ее приложения” (Красноярск, 2002), на Научных сессиях НГТУ (Новосибирск, 2003, 2005, 2006), на Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета (Москва, 2004), на Международной конференции “Алгебра, логика и кибернетика” (Иркутск, 2004), на Французско-Казахстанской конференции “Теория моделей и алгебра” (Астана, 2005), на Девятой Азиатской логической конференции (Новосибирск, 2005), на Международной алгебраической конференции к 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70летию Л. Н. Шеврина (Екатеринбург, 2005), на Международной конференции “Методы логики в математике III” (Санкт-Петербург, 2006), на Международной школе “Теория моделей и ее применения в компьютерной науке” (Алма-Ата, 2006), на Российской школе-семинаре “Синтаксис и семантика логических систем” (Иркутск, 2006).

Автор выступал с докладами о результатах диссертации на заседаниях семинаров в Новосибирске (семинар “Теория моделей”, 1987– 2006; семинар “Алгебра и логика”, 1993, 1995, 2001; семинар “Теория групп”, 1999; семинар “Эварист Галуа”, 2002; семинар “Теория вычислимости”, 2005; Общеинститутский математический семинар ИМ СО РАН, 2005), в Москве (1991, 2000, алгебраический семинар МГУ), в Париже, Франция (1993, семинар по теории моделей), в Лионе, Франция (1993, семинар по теории моделей), в Екатеринбурге (2003, семинар “Алгебраические системы”), в Урбане, США (2004, семинар по теории моделей), в Чикаго, США (2004, семинар по теории моделей).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [52]– [98]; часть из них включена в учебник С. В. Судоплатова и Е. В. Овчинниковой [52].

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит страниц и состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии и алфавитного указателя. Основные утверждения диссертации названы теоремами. Все утверждения занумерованы тройками индексов, из которых первые два индекса указывают на номер соответствующего параграфа, а третий порядковый номер утверждения в этом параграфе. Нумерация примеров основана на том же принципе, но составлена независимо от нумерации утверждений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 изучаются вопросы, связанные с синтаксической характеризацией класса эренфойхтовых теорий. Центральной здесь является доказываемая в параграфе 1.1 теорема 1.1.13, представляющая синтаксическую характеризацию класса элементарных полных теорий с конечным числом счетных моделей и являющаяся аналогом теоремы Рыль-Нардзевского.

Через M, N,... (возможно с индексами) обозначаются бесконечные модели элементарных теорий, через M, N,... их соответствующие носители. Тип кортежа в модели M обозначается через tpM(), а также через tp(), если из контекста ясно, о какой модели идет речь.

Множество всех типов теории T над пустым множеством обозначается через S(T ) или S().

Тип p(x) S(T ) называется мощным или властным типом теории T, если в любой модели M теории T, реализующей тип p, реализуется любой тип q S(T ): M |= S(T ).

Ясно, что наличие властного типа влечет малость теории T, т.е.

счетность множества S(T ), что в свою очередь влечет существование для любого типа p S(T ) и любой его реализации простой модели M над. Поскольку все простые модели над реализациями типа p изоморфны, эти модели обозначаются через Mp.

Пусть p и q типы из S(T ). Будем говорить, что тип p подчиняется типу q или p не превосходит q по предпорядку Рудина–Кейслера и писать p RK q, если Mq |= p, т.е. модель Mp является элементарной подмоделью модели Mq: Mp Mq. При этом будем также говорить, что модель Mp подчиняется модели Mq или не превосходит модели Mq по предпорядку Рудина–Кейслера и писать Mp RK Mq.

Типы p и q называются взаимоподчиняемыми, взаимореализуемыми или эквивалентными по Рудину–Кейслеру (p RK q), если p RK q и q RK p. При этом модели Mp и Mq также называются взаимоподчиняемыми или эквивалентными по Рудину–Кейслеру (Mp RK Mq).

Обозначим через RK(T ) множество PM типов изоморфизма моделей Mp (p S(T )) с отношением подчинения, индуцированным отношением подчинения RK между моделями Mp: RK(T ) = PM, RK.

Будем говорить, что типы изоморфизма M1, M2 PM взаимоподчиняемы (M1 RK M2), если взаимоподчиняемы их представители.

Элементарная цепь (Mn)n называется элементарной над типом p (p S(T )), если Mn Mp для любого n. Модель M на зывается предельной над типом p, если M = Mn для некоторой n элементарной цепи (Mn)n над типом p и M Mp.

Для любого класса M RK(T )/ RK, состоящего из типов изоморфизма взаимоподчиняемых моделей Mp,..., Mp, обозначим че1 n рез IL(M) число попарно неизоморфных моделей, каждая из которых предельна над некоторым типом pi.

Теорема 1.1.13 Для любой счетной полной теории T следующие условия эквивалентны:

(1) I(T, ) < ;

(2) теория T мала, |RK(T )| < и IL(M) < для любого M RK(T )/RK.

При выполнении условия (1) (или (2)) теория T обладает следующими свойствами:

(a) RK(T ) имеет наименьший элемент M0 (тип изоморфизма простой модели) и IL(M0) = 0;

(б) RK(T ) имеет наибольший RK-класс M1 (класс типов изоморфизма всех простых моделей над реализациями властных типов), и из |RK(T )| > 1 следует IL( ) 1;

M (в) если |M| > 1, то IL(M) 1.

Более того, справедлива следующая декомпозиционная формула:

|RK(T )/RK|- I(T, ) = |RK(T )| + IL(Mi), i= где M0,..., M|RK(T )/RK|-1 все элементы ч.у.м. RK(T )/RK.

Будем говорить, что теория T обладает свойством согласованного расширения цепей простых над кортежами моделей (CEP), если для любого типа p S(T ) любые две предельные модели M и N над типом p изоморфны. Заметим, что существование изоморфизма предельных моделей равносильно существованию элементарных цепей (Mn)n и (Nn)n над типом p, удовлетворяющих следующим условиям:

1) M = Mn, N = Nn;

n n 2) существуют константные обогащения M = Mn+1, c cM и n+n Nn+1 = Nn+1, c cN, n, M = M0, N0 = N0, такие, что M 0 n+n Nn+1, n.

На основании теоремы 1.1.13 справедлива следующая теорема для теорий, удовлетворяющих условию (CEP).

Теорема 1.1.14. Пусть теория T удовлетворяет (CEP). Следующие условия эквивалентны:

(1) I(T, ) < ;

(2) теория T мала и |RK(T )| <.

При этом справедливо следующее неравенство, которое превращается в равенство при |RK(T )/RK | 2:

I(T, ) |RK(T )| + |RK(T )/RK | - 1.

Из теоремы 1.1.14 выводится синтаксическая характеризация класса теорий, имеющих ровно три счетные модели.

Следствие 1.1.15. Для любой полной теории T следующие условия эквивалентны:

(1) I(T, ) = 3;

(2) теория T мала, обладает (CEP) и |RK(T )| = 2.

В параграфе 1.2 определяются понятия несущественных и почти несущественных совмещений и раскрасок моделей, при которых типы кортежей при совмещениях определяются типами тех же кортежей, рассматриваемых в исходных моделях. Доказываются характеризации несущественности и почти несущественности совмещений (теоремы 1.2.6 и 1.2.7). В этом же параграфе устанавливается, что при несущественных совмещениях и раскрасках моделей сохраняются свойства -стабильности и малости теории (теоремы 1.2.8 и 1.2.12). В завершающей части параграфа 1.2 определяется понятие упорядоченной раскраски, приводится достаточное условие несимметричности отношения полуизолированности при наличии упорядоченной раскраски (предложение 1.2.13) и строится пример -стабильной теории (пример 1.2.3), который показывает, что различные элементарные цепи над одним и тем же типом могут порождать неизоморфные предельные модели и при этом образуется континуум попарно неизоморфных предельных моделей.

В параграфе 1.3 определяются понятия p-главного p-типа и редуцированности теории над типом и доказывается, что из отсутствия свойства строгого порядка в теории T с неглавным властным типом p следует существование не p-главного p-типа и нередуцированность теории над типом p (предложение 1.3.5 и теорема 1.3.6). В этом же параграфе приводится пример -стабильной теории, имеющей не pглавный p-тип, реализующийся в модели Mp (пример 1.3.1).

В параграфе 1.4 определяется понятие властного орграфа, устанавливается связь властных орграфов с властными типами (предложения 1.4.1 и 1.4.2), дается описание структуры транзитивных замыканий насыщенных властных орграфов, образующихся в моделях теорий с неглавными властными 1-типами при условии конечного числа неглавных 1-типов (теорема 1.4.3), и доказывается, что структура властного орграфа, рассматриваемая в модели простой теории, индуцирует бесконечный вес (предложение 1.4.6). Приведем в этой связи определение властного орграфа и формулировку теоремы 1.4.3.

Счетный бесконтурный орграф = X, Q называется властным, если выполняются следующие условия:

(а) группа автоморфизмов орграфа транзитивна;

(б) формула Q(x, y) эквивалентна в теории Th() дизъюнкции главных формул;

(в) acl({a}) Qn(, a) = {a} для любой вершины a X;

n (г) |= x, yz(Q(z, x)Q(z, y)) (свойство попарного пересечения).

Теорема 1.4.3. Пусть = X; Q насыщенный властный ор граф, в котором acl({a}) Qn(a, ) = {a} для любого a X.

n Тогда его транзитивное замыкание TC() = X, Qn изоморфно n направленному вниз множеству с транзитивной группой автоморфизмов и имеющему один из следующих порядков:

(1) плотный частичный порядок с максимальными антицепями, содержащими элементов, ( + 1) \ {0};

(2) частичный порядок с бесконечным числом покрывающих элементов для любого элемента.

В параграфе 1.5 определяется понятие генерического класса, а также синтаксический способ построения генерической модели. Устанавливается существование генерической модели (теорема 1.5.2), а также показывается, что синтаксический подход обобщает подход семантический (теорема 1.5.3). Определяется понятие самодостаточного генерического класса, устанавливается свойство конечного замыкания для класса моделей теории генерической насыщенной модели, порожденной самодостаточным классом (следствие 1.5.6), приводятся критерии насыщенности генерической модели (теорема 1.5.7), доказывается существование самодостаточных замыканий (теорема 1.5.8), а также однородность генерической модели, порожденной самодостаточным классом (следствие 1.5.9). Определяется понятие наследственного класса и показывается, что любая счетная однородная модель порождается некоторым наследственным классом (теорема 1.5.10), а, значит, любая полная счетная теория является генерической (следствие 1.5.11). Устанавливается критерий малости теории (теорема 1.5.12), критерий вложимости одной счетной однородной модели в другую на языке генерических классов (теорема 1.5.13). Определяется свойство однородного амальгамирования генерического класса T0 и доказывается, что это свойство при условии конечных замыканий влечет насыщенность генерической модели, а также (T0)-базируемость генерической теории, где (T0) множество формул, которые получаются навешиванием кванторов существования на конъюнкции формул, определяющих типы порождающего самодостаточного класса (теорема 1.5.14). Замечается, что в условиях теоремы 1.5.14 проверка свойств формул, сохраняющихся при переходе к булевым комбинациям, сводится к проверке свойств формул из множества (T0) (следствие 1.5.15). В частности, если стабильны формулы, входящие в множество (T0), то генерическая теория является стабильной (следствие 1.5.16).

Приведем формулировку основной теоремы параграфа 1.5:

Теорема 1.5.14. Если (T0; ) самодостаточный класс, обладающий свойством однородного t-амальгамирования, и класс K имеет конечные замыкания, то (T0; )-генерическая модель M -насыщена. При этом любое конечное множество A M расширяется до своего самодостаточного замыкания A M, тип tp(A) содержит тип (Y ) для самодостаточного типа (A) и выполняется (Y ) tp(A).

В параграфе 1.6 на основе синтаксической генерической конструкции и несущественной упорядоченной раскраски бесконтурного орграфа строится пример генерического властного орграфа, имеющего неограниченные длины кратчайших маршрутов и допускающего обогащение до структуры неглавного властного типа.

Теорема 1.6.3. Существует счетный цветной насыщенный орграф M K0, удовлетворяющий вместе со своей теорией T0 следующим условиям:

1) если f : A c M, g : A c B c-вложения и B K, то существует c-вложение h : B c M такое, что f = g h;

2) если A и B c-изоморфные c-подграфы орграфа M, то tpM(A) = tpM(B);

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»