WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Лемма 1.1. Найдутся такие дробно-рациональные функции L1(z), L2(z) с полюсами внутри единичного круга и такая дробно-рациональная функция L3(z), без полюсов на единичной окружности, что функция (z, F), определяемая формулой (6), удовлетворяет тождеству (F)(F) (L1 L2F)(L1 L2F ) L3. (7) При этом задача (5) трансформируется к поиску такой функции F(z) RH, чтобы выполнилось условие j j j j J (F) (z, F) sup L1(e ) L2(e )F(e ) L3(e ), (8) [0,s ] j где Jg sup L3(e ) – заданное число.

[0,s ] Замечание: здесь и далее знак «–» над рациональной дробью обозначает замену ее аргумента z на z1.

Теорема 1.1. В регулярной ситуации ( J ) задача (8) об ограничении g нормы обобщённой передаточной функции (z, F) замкнутой системы сводится к задаче о поиске такой функции F(z) RH, чтобы выполнялось условие L1 L2F P 1, где P(z) RH – весовой множитель, однозначно определяемый начальными данными.

Теорема 1.2. Задача о поиске функции F(z) RH, удовлетворяющей соотношению L1 L2F P 1, имеет решение для таких и только для таких величин J, для которых является знакоположительной эрмиg това матрица L() lij (), где lij (1 ij ) /(11/ gi g ), j i Ta(gi )Ta (gi )Aa(gi )(gi1 1) / R (gi )Na (gi ), i, j 1, n1, (9) gi i 1,n1 – простые нули функции G (z) – результата факторизации GG AATaTa (z 1)(z1 1) qNaNaHaHa, G – шуров полином, n1 degG.

Теорема 1.3. Пусть найдено любое решение Z(z, ) m1 /(m2zn ) задачи Неванлинны-Пика Z(z, ) 1 с исходными данными gi, i (9) при фиксированной величине Jg. Тогда для этого решения существует единственная функция F0 F0(z, ) RH, определяемая формулой ~ ~ ~ Ha (z)R (z)Na(z)m1(z, ) Ta (z)Ta (z)A(z)(z 1)m2(z, )/ G(z) F0(z, ), m2(z, )G(z) ~ для которой L1 L2F0P Z(z, ), G(z) G (z)zn.

В четвертом параграфе сформирован алгоритм поиска передаточной функции искомого фильтра в соответствии с приведенными утверждениями. Его работоспособность и эффективность проиллюстрирована на практическом примере.

Во второй главе диссертации основное внимание уделяется проблеме использования прогнозирующих моделей в замкнутом контуре управления с практической цифровой реализацией в режиме реального времени.

В первом параграфе рассмотрен традиционный способ задания управления на горизонте прогноза P в виде конечной программной последовательности векторов ui, i k, k 1,...,k P 1. При этом задача оптимизации управления на горизонте прогноза по отношению к заданному функционалу сводится к задаче нелинейного программирования Jk (uk,uk1,...,ukP1, xk ) min, (10) (uk,uk 1,...,uk P1)EmP ~ где xk xk – текущее состояние, EmP – допустимое множество.

Предложены следующие способы понижения размерности задачи оптимизации (10), позволяющие уменьшить время вычислений:

1. За счет выбора периода Tu дискретности управления кратного периоду T функционирования системы управления.

2. Посредством введения горизонта управления C P.

3. Одновременным использованием периода Tu дискретности управления и горизонта управления C.

Предложен алгоритм формирования управления на каждом такте, учи тывающий ограниченность допустимого времени счета. Параметрами алгоритма являются период дискретности Tu управления, горизонт управления C и период tu пересчета управляющего воздействия.

На базе данного алгоритма сформирована схема практической реализации управления с прогнозом, состоящая из следующих операций:

~ 1. Осуществляется измерение вектора yk и восстанавливается теку~ щее состояние xk объекта с помощью асимптотического наблюдателя.

2. Решается оптимизационная задача (10). При этом используется алгоритм формирования управления на каждом такте и применяется один из способов понижения размерности задачи (10).

3. Из найденной в результате решения задачи (10) оптимальной последовательности u*k,u*k 1,...,u*k P 1 используются векторы u*k,...,u*k l 1, где l tu /T, в качестве программного управления на тактах k l,..., k 2l 1 (в течение следующего периода длиной tu ).

4. Начиная с момента времени k l, все операции, указанные в пунктах 1–3, повторяются заново.

Применение подхода иллюстрируется на примере управления циркуляцией морского судна с учетом ограничений величины крена.

Во втором параграфе предложен новый подход к управлению с прогнозом, ориентированный на учет требования устойчивости замкнутой системы в линейном приближении. В данном случае управляющее воздействие на горизонте прогноза ищется в виде регулятора uk W(q,h)yk, (11) где q – оператор сдвига на такт вперед, W(q,h) – передаточная матрица регулятора, h Er – вектор настраиваемых параметров.

Показано, что функционал Jk, характеризующий качество управления, является функцией вектора настраиваемых параметров h. Формулируется следующая задача оптимизации управления на горизонте прогноза:

Jk Jk (h) inf, (12) hH где H – множество настраиваемых параметров, обеспечивающих расположение корней характеристического полинома линейного приближения замкнутой системы внутри заданной области C в единичном круге.

В качестве C рассматриваются области C1 и C2, которые определяют заданную степень устойчивости и колебательности системы:

C1 {z C1 : z r}, где r 0,1 – заданное вещественное число;

C2 {z C1 : z ei, 0 r, 0 ()}, где r 0,1 – заданное вещественное число, – вещественная функция переменной 0,r, принимающая значения из отрезка 0,, причем r 0.

Доказаны следующие утверждения:

d Теорема 2.1. Для любого вектора En корни полинома *(z, ), построенного по приведенным ниже формулам, находятся внутри области C1 или на ее границе. Обратно, если корни некоторого полинома (z) принадлежат области C1 и при этом вещественные корни положительd ны, то можно указать такой вектор En, что справедливо тождество (z) *(z, ). Здесь d *(z, ) z2 ai (, r)z ai0(, r), (13) iесли nd – четное, d nd / 2;

d *(z, ) z ad 1(, r)z2 ai (, r)z ai0(, r), (14) iесли nd – нечетное, d [nd / 2];

1 2 4 2 2 4 ai (, r) rexp i1 / 2 i1 / 4 i2 exp i1 / 2 i1 / 4 i2, 2 ai0(, r) r2 exp i1, i 1, d, ad 1, r r exp d 0, {11, 12, 21, 22,..., d1, d 2, d 0}.

d Теорема 2.2. Для любого вектора En корни полинома *(z, ) (13),(14) принадлежат области C2 и обратно, если корни некоторого полинома (z) принадлежат области C2 и при этом вещественные корd ни положительны, то можно указать такой вектор En, что справедливо тождество (z) *(z, ), где 1 2 ai (, r) rexp i1 vi exp i1 vi, ai0(, r) r2 exp 2i1, i 1, d, ad 1, r r exp 2, d 4 2 vi i1 f i2 2r exp i1 i1, {11, 12, 21, 22,..., d1, d 2, d 0}.

При этом функция f :, 0,1 должна удовлетворять условию существования обратной функции во всей области задания, а – вещественная функция переменной 0, r, принимающая значения из отрезка 0,, причем r 0.

Теорема 2.2 используется для построения вычислительного метода решения задачи параметрического синтеза (12). При этом считается, что структура регулятора (11) является полной. Тогда для любого вектора d En может быть составлена система нелинейных уравнений L(h) (),относительно неизвестных компонент вектора h. Обозначим общее решение данной системы как h h*(),где E – произвольный вектор независимых параметров. При этом функционал Jk становится * функцией вектора : Jk Jk ().

Теорема 2.3. Если в задаче параметрического синтеза (12) при условии C C2, экстремум достигается в некоторой точке hk 0 H, то в пространстве E найдется такая точка k 0, что * hk 0 h*(k 0), причем k 0 arg min Jk (). (15) E И обратно: если в пространстве E существует точка k 0, удовлетворяющая (15), то точка hk 0 h*(k 0) является решением задачи (12). Или, иными словами, в указанном смысле задача (12) эквивалентна задаче на безусловный экстремум * * Jk Jk () inf. (16) E Из теоремы 2.3 следует, что на каждом такте формирования управления должна быть решена задача безусловной оптимизации (16).

Реализация подхода продемонстрирована на примере управления движением судна в режиме маневрирования по курсу. В качестве итогового примера рассматривается задача управления скоростными судами, оборудованными интерцепторами.

Третья глава посвящена решению задач оптимизации, связанных с выбором маршрутов движения судов на трансокеанских переходах. При этом качество маршрута оценивается временем перехода или расходом топлива с учетом прогноза погодных условий в районе плавания.

Пусть траектория движения судна задается вектором r E2 p, а скоp рость движения по ней – вектором v E, где p – количество участков траектории. Введем функции JT r, v и JF r, v, определяющие длительность перехода и расход топлива соответственно для маршрута r, v.

Показано, что задачу формирования маршрута можно представить как JT r, v min min JT r, v rR vVr S (17) при минимизации времени перехода, или JFr**, v** min min JF r, v, (18) rRS vVr при оптимизации расхода топлива. Здесь Vr – множество векторов допустимых заданных скоростей, зависящее от вектора r, а множество RS состоит из векторов r определяющих траектории, по которым возможно движение без нарушения ограничений, формирующих множество Vr.

Вычислительные затраты, необходимые для решения задач (17), (18), очень велики. С целью сокращения времени вычислений разработаны алгоритмы, основанные на представлении допустимых множеств в задачах (17), (18) конечными совокупностями допустимых траекторий.

Для реализации предлагаемых алгоритмов вначале необходимо выполнить предварительный этап, состоящий в построении набора траекторий, покрывающих область плавания и допустимых по отношению к статическим ограничениям.

Задание набора траекторий состоит из следующих этапов:

1. Формируется траектория, соединяющая начальную и конечную точки по линии прямого курса.

2. Строится набор траекторий, расположенных выше и ниже траектории прямого курса. Построение осуществляется так, чтобы равномерно заполнить всю область между крайними траекториями.

3. Проверяется допустимость каждой траектории из полученного в пункте 2 набора. Если траектория lri допустима, то вектор ri оставляется без изменений. В противном случае, строится ближайшая допустимая тра ектория, и вектор ri заменяется соответствующим вектором ri, опреде ляющим новую траекторию lri.

Результатом работы алгоритма является совокупность допустимых по отношению к статическим ограничениям траекторий lri iN и соответствующих векторов ri,i 1, N.

Для формирования маршрута, оптимального по времени перехода, на каждой траектории lri решается задача о минимизации времени перехода на допустимом множестве Vri :

Tri JT ri, v* min JT ri, v. (19) i vVri Если множество Vri не пустое, то в результате получаем оптималь ный вектор v Vr, и в качестве приближенного решения r, v задачи i i (17) выбирается допустимый маршрут с наименьшим временем перехода:

JTr, v min JTri, v.

i iI 1,...,N Для формирования маршрута, оптимального по расходу топлива, вводится новое допустимое множество заданных скоростей, учитывающие дополнительное ограничение на величину расхода топлива:

max Vr v : v Vr, JF r, v JF.

Для каждой траектории lri решается задача о минимизации времени движения, аналогичная задаче (19), но на множестве V r. Если V r не i i пустое, то в результате решения задачи минимизации находится опти мальный вектор v. В качестве оптимального маршрута r, v выбираi ется допустимый маршрут с наименьшим временем перехода:

JTr, v min JTri, v.

i iI 1,...,N Практическая работоспособность и эффективность полученных алгоритмов при реализации в режиме реального времени продемонстрированы на конкретных примерах формирования маршрутов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие:

1. Формализован вопрос о желаемом качестве фильтрации высокочастотных возмущений в контуре управления с учетом динамических ограничений и предложен новый метод синтеза цифрового фильтра на базе интерполяции Неванлинны-Пика.

2. Разработан алгоритм управления подвижными объектами с нелинейной прогнозирующей моделью, включенной в замкнутый контур, с практической реализацией в режиме реального времени.

3. Предложен метод синтеза цифровых законов управления с прогнозирующей моделью, обеспечивающий желаемые модальные свойства линейного приближения замкнутой системы.

4. Разработаны алгоритмы оптимизации маршрутов движения морских судов, обеспечивающих снижение затрат топлива и времени перехода с учетом прогноза погодных условий.

Список публикаций по теме диссертации Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК:

1. Sotnikova M. Plasma stabilization based on model predictive control // International journal of modern physics A.– Vol. 24, No. 5.– 2009. – p. 999-1008.

2. Сотникова М.В. Алгоритмы формирования маршрутов движения судов с учетом прогноза погодных условий // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10.

2009. – Вып. 2. – С. 181-196.

3. Веремей Е.И., Сотникова М.В. Применение спектрального метода Hоптимизации для синтеза фильтров морского волнения // Гироскопия и навигация. – 2009. – № 2. – С. 24-36.

Публикации в других изданиях:

1. Веремей Е.И., Сотникова М.В., Хуан Годун, Ван Хунбо, Чень Сюньцюань. Бортовой алгоритм прогнозирования динамики судов в условиях морского волнения // Тр. Международной конференции «Устойчивость и процессы управления». – СПб.: СПбГУ, 2005. – С. 1339-1346.

2. Сотникова М.В. Компьютерное моделирование алгоритмов управления с прогнозом // Тр. XXXVII конф. «Процессы управления и устойчивость». – СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. – С. 433-439.

3. Сотникова М.В. Компьютерная реализация управления с прогнозом в режиме реального времени // Межвузовский сборник научных трудов «Программное и информационное обеспечение систем различного назначения на базе персональных ЭВМ». – М.: МГУПИ, 2006. – Вып. 9. – С. 214-222.

4. Веремей Е. И., Сотникова М. В. Управление с предсказанием на базе нелинейной прогнозирующей модели // Тр. III конф. «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB». – 2007. – C. 9741000.

5. Сотникова М. В. Идентификация линейной модели магнитной левитации в среде MATLAB // Тр. IV конф. «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB». – 2009. – C. 507-522.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»