WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Во втором параграфе более подробно рассмотрена форма изображения кривой измерений фокуса. Математически формализовано понятие кривой измерений фокуса как вектора в n -мерном евклидовом пространстве Rn, называемого сигналом, координатами которого являются измерения в точках zi, i =1..n. Показано, что форма кривой измерений фокуса – это выпуклый замкнутый конус в Rn. В третьем параграфе рассматривается основная характеристика формы, использующаяся при решение задач морфологии – проектор на форму. Показано, что проектор PV на форму V нелинейный. Задача нахождения проекции на форму является задачей выпуклого математического программирования и для ее решения можно воспользоваться методом поиска седловой точки функции Лагранжа. Однако решение такой задачи осложняется тем, что количество измерений n может быть достаточно велико (102-103), что приводит к большому количеству проверяемых условий. В работе предлагается альтернативный метод построения проекции на конус, который существенно быстрей известных методов выпуклого математического программирования. На рисунке 2 показан пример проекции сигнала на множество унимодальных сигналов.

Рис. 2. Проекция сигнала (линия), обозначенного точками, на множество унимодальных сигналов с максимумом в = 2.

Четвертая глава посвящена вопросам погрешности оценки и адекватности модели измерению. В первом параграфе рассматривается модель регистрации сигнала, в которой зашумленный сигнал представлен в виде суммы «чистого сигнала» f и аддитивного шума v :

= f + v, f V, v Rn. (1.) В выбранной схеме измерений отличие от проекции на PV целиком определяется шумом v. На практике шум не может принимать совершенно произвольные значение: вероятность принять некоторые значения мала. Поэтому по величине разности - PV можно судить об адекватности модели измерению. Если отличие - PV не может быть объяснено шумом, то модель не адекватна. На практике это означает, что в окрестности точки (x0, y0 ) не выполняются условия, наложенные на область вычисления функции измерения фокуса: например, отсутствует текстура на изображении или точка находится на сильно наклонном участке рельефа. В этом случае точку следует исключить из рассмотрения.

Зная априорную информацию о шуме можно найти интервальную оценку положения максимума сигнала, т.е. определить погрешность оценки. Во втором и третьем параграфах рассматриваются методы определения интервальной оценки с оценкой адекватности модели при различной априорной информации о шуме: детерминированной и стохастической.

Во втором параграфе рассматривается решение задачи оценки параметра при условии v N Rn, где N - некое подмножество Rn. Такая модель ~ регистрации сигнала записывается как [V,, N]. В этом случае, оценка параметра может быть получена из условия минимума погрешности оценки как решение задачи на минимакс:

~ 0 - = inf sup -, (2.) где = { : = f + v, f V,v N} - множество значений параметра, при которых равенство (1.) выполнено при некоторых N и f V. Это множество содержит те и только те значения параметра, для которых отличие результата измерения от множества V может быть объяснено погрешностью N Оценка 0 минимизирует максимально возможную погрешность.

оценивания параметра. Решением задачи (2) является центр шара минимального радиуса, содержащий множество, радиус этого шара является 1, погрешностью оценки 0. Адекватность модели равна: ( ) = 0, =.

Функция (), следуя теории измерительно-вычислительных систем, названа надежностью модели.

В конце параграфа рассмотрен наиболее распространенный частный случай модели N ={x Rn : x }. Множество в этом случае содержит те и только те значения параметра n, для которых - PV. Модель же является адекватной, если inf - PV.

На рис. 3 приведены графики трех различных функций измерения фокуса и найденные множества (отмеченные вертикальными линиями) для 1-ой и 2-ой функции. Для 3-ей функции множество пусто, что свидетельствует о неадекватности модели. На рис. 4 представлены графики зависимости функционала невязки - PV от параметра n для этих сигналов.

Интервалы возможных значений параметра n получаются как интервалы наименьшей длины, включающие области изменения параметра, для которых график зависимости функционала невязки - PV от n лежит ниже прямой - PV = = 3.6, соответствующей максимальному значению шума.

Рис. 3. Зависимость дисперсии яркости в окрестности фиксированной точки поля зрения (вертикальная ось) от положения фокуса (горизонтальная ось), вертикальными линиями отмечены границы множеств на каждом сигнале.

- PV n Рис. 4. Зависимость функционала невязки (вертикальная ось) от (горизонтальная ось) для сигналов 1,2 и 3, изображенных на Рис.1. Горизонтальной = 3.линией отмечен уровень шума.

В третьем параграфе рассматривается решение задачи оценки параметра при условии, что шум v является нормально распределенным случайным элементом евклидова пространства Rn с нулевым математическим ожиданием и 2 диагональной матрицей корреляции I : ~ N(0, I). Такая модель обозначена как [V,, N(0, I)].

Мерой согласия реализации с предположением ~ N( f, I), f V, является надежность ( ) этой гипотезы при альтернативе f V, которая определена как вероятность 2 ( ) = P - PV - PV, (3.) где ~ N(µ, I ), а µ = PV. Иными словами, надежностью рассматриваемой гипотезы f V при альтернативе f V является вероятность получить в эксперименте (1) результат, согласующийся с гипотезой так же, как или хуже3.

Для решения задачи оценки параметра в такой модели предлагается построить множество ( ), оценивающее параметр с гарантированной надежностью:

p ( ) = { : ( ) p}.

p Оценка параметра может быть получена с помощью решения задачи на минимакс, аналогичной (2):

~ 0 - = inf sup - ( ) p Мерой согласия используемой модели с результатом наблюдения служит величина ( ) = inf ( ). Для вычисления надежности (3) предлагается воспользоваться методом Монте-Карло или разработанным в диссертации приближенным методом, который обладает в 100-1000 раз большей скоростью вычислений. В приближенном методе надежность (3) вычисляется по формуле - PV - m, где и находятся экспериментально.

( ) =1 - m s s Показано, что m и s могут быть аппроксимированы функциями, зависящими лишь от так называемой устойчивости сигнала к шуму:

n 1 xi - xi- (x1,..., xn ) = -1.

n -i= Построены экспериментальные зависимости m ( ) и m ( ), и оценена погрешность вычислений надежности с помощью предложенного метода.

На рисунке 5 представлен график функции измерения фокуса, на котором вертикальными линиями отмечено найденное для него множество ( ) с p p = 0.85. На рисунке 6 показан график зависимости надежности ( ) от параметра. Интервал возможных значений параметра n получается Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем.

М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004.

как интервал наименьшей длины, включающий область изменения параметра, для которой график зависимости ( ) т n лежит выше прямой ( ) = 0.85, что соответствует минимальной надежности гипотезы. На рисунке отображаются графики двух различных оценок, полученных в 3 и 4 параграфах, для одного и того же смоделированного сигнала в зависимости от дисперсии шума (шум считается нормально распределенным). Видно, что стохастическая оценка является более точной, что достигается использованием информации о распределении шума.

В пятой главе рассмотрены вопросы, связанные с реализацией разработанных методов. Методы были реализованы на оптическом микроскопе Leica INM 300 с цветной камерой Leica DC300. Для управления микроскоп подключался к компьютеру через RS-232 порт. В первом параграфе приведена схема хода лучей и характеристики микроскопа. Рассмотрены вопросы оптимального разрешения изображения. Во втором параграфе более подробно рассматриваются алгоритмы вычисления проекции и сглаживания рельефа поверхности. Разработан быстрый приближенный алгоритм вычисления - PV для = 1..n, имеющий O(n2 ) количество вычислительных операций.

Оценена его погрешность, которая на практике пренебрежимо мала.

В третьем параграфе описана общая схема работы программноаппаратного комплекса. Последовательно захватываются 20-200 изображений (в зависимости от требуемой точности реконструкции) при двигающемся столике микроскопа. Для каждой точки изображения рассчитывается функция измерения фокуса как дисперсия яркости изображения в ее окрестности. С помощью анализа функции измерения фокуса одним из предложенным в работе методов определяется высота рельефа поверхности с погрешностью, а также рассчитывается адекватность модели. Из полученного рельефа убираются точки с низкой адекватностью, полученный рельеф сглаживается.

Рис. 5. Кривая измерений фокуса Рис. 6. Надежность ( ), равная (дисперсия). Вертикальными линиями вероятности (3.), вычисленная методом отмечена найденная оценка положения Монте-Карло. Вертикальными линиями максимума с надежность 0.отмечен интервал ( ) > 0.Рис. 7. Сравнение нелинейной и стохастической оценок для различных шумов. По вертикальной оси отложена точность оценки в количестве координат. Число координат может быть дробным, т.к. для нахождения границ ( ) используется p интерполяция.

В четвертом параграфе созданные методы используются при активном освещении, наносящем текстуру на объект. Показано, что применение активного освещения позволяет реконструировать поверхности практически любых объектов и заметно уменьшать погрешность измерений.

В пятом параграфе приведены результаты работы метода. Метод применялся для реконструкции объектов микроэлектроники: дефектов, структур на кремнии, поверхности металлов и т.д. Применение метода вместе с активным освещением позволило достигнуть такой точности измерений высоты рельефа поверхности, как 0.1 мкм и ниже. В отдельных случая точность измерений достигает 50 нм. Горизонтальное разрешение при этом составляет около 0.4 мкм.

На рисунке 8 показаны результаты сравнения разработанного метода с высокоточным контактным профилометром Dektak V200SL фирмы Veeco Instruments. Точность профилометра в данном случае составляет 0.01 мкм.

Точность разработанного метода – 0.1 мкм. Видно, что результаты измерения высоты рельефа поверхности совпадают в пределах указанной точности.

Рис. 8. Сравнение разработанного метода с профилометром Dektak V200SL фирмы Veeco Instruments. а) – профиль высоты части метки в кремнии, полученный с помощью профилометра; б) – профиль части метки в кремнии, полученный с помощью разработанного метода (4 объектив, 50х, NA=0.8) ; в) – результаты реконструкции части метки с помощью разработанного метода; г) – общий вид метки в кремнии На рисунках 9, 10 показаны результаты реконструкции для некоторых объектов микроэлектроники.

Рис. 9. Реконструированный рельеф поверхности металлического корпуса микросхемы с выжженной лазером цифрой. Глубина канавок – 3 мкм.

Погрешность измерения высоты рельефа – 0.5 мкм.

Рис. 10. Реконструированный рельеф поверхности царапины в металле на контактной площадке, оставленной зондом.

Размер поля зрения 24х30 мкм.

Погрешность измерения высоты рельефа поверхности 0.1 мкм. Высота рельефа - 3 мкм.

Результаты диссертации • Разработаны морфологические методы реконструкции трехмерного рельефа поверхности с помощью оптического микроскопа.

• Построена строгая математическая модель формирования изображения. На ее основании сделано заключение о классе функций измерения фокуса.

Построена форма кривой измерений фокуса как множество унимодальных сигналов.

• Построен проектор на форму кривой измерений фокуса как нелинейный проектор на конус в евклидовом пространстве. Разработаны методы приближенного расчета проекции сигнала на форму.

• Разработаны методы оптимального оценивания высоты рельефа поверхности. Получены оценки точности и адекватности модели.

• Описана реализация разработанного метода. Рассмотрены вопросы оптимального разрешения изображения, гладкости сигнала и применения активного освещения.

• Показана эффективность разработанных методов для ряда практических задач в микроэлектронике.

Список публикаций по теме диссертации 1. Захарченко А.А. Морфологические методы анализа многофокусных изображений. // Труды 12-й Международной конференции «Математические методы распознавания образов» ММРО-12, Москва 2005, ВЦ РАН, с. 335.

2. Захарченко А. Построение рельефа поверхности с помощью оптического микроскопа // Электроника: Наука, Технология, Бизнес. 8/2005, с. 14.

3. Введенский C. Захарченко А. Троицкий В. Измерения субмикронных размеров. Оптический микроскоп с некогерентным освещением. // Электроника: Наука, Технология, Бизнес. 1/2005 с. 59.

4. Захарченко А.А., Чуличков А.И. "О морфологических методах анализа многофокусных изображений" // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2006 №5 c. 5. Захарченко А.А., Чуличков А.И. "Точность оценки и адекватность модели при минимаксном оценивании параметров формы сигнала" // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2006 №6 c. 6. Захарченко А.А., Чуличков А.И. Морфологические методы анализа многофокусных изображений - 13-я Междунар. конф. «Математика.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»