WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Результаты исследования по теме диссертации изложены в опубликованных работах. Из них – 2 статьи в ведущих российских рецензируемых журналах по Перечню ВАК, 1 работа – в трудах российской конференции, 2 работы – в расширенных тезисах докладов международных конференций, 3 работы – в тезисах российских и международных конференций.

Благодарности.

Работа выполнена в Лаборатории вычислительных методов геофизики Института нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН.

Автор выражает благодарность всем сотрудникам Лаборатории за полезные научные дискуссии в ходе выполнения работы. Успешному выполнению работы во многом способствовали ценные и критические замечания В.И. Костина. Хочется поблагодарить С.Б. Горшкалева и Г.В. Решетову за то, что они взялись за труд ознакомиться с работой и высказать о ней своё мнение.

Необходимо отметить неоценимую помощь, оказанную В.И. Самойловой при работе над рукописью.

Автор выражает искреннюю и глубокую признательность научному руководителю, кандидату физико-математических наук, доценту В.А. Чеверде за всестороннюю поддержку и постоянное внимание в ходе выполнения работы.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 90 страниц, включая рисунков. Список используемой литературы содержит 60 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность работы, сформулирована ее цель и научная задача исследования, представлены результаты работы, выносимые на защиту, а также определена научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы.

В первой главе показана изученность решения обратных динамических задач сейсмики с использованием оптимизационного подхода.

Дается обзор работ, посвященных исследованию возможностей данного подхода, а так же его реализации для различных систем наблюдений. В конце главы указывается место исследования соискателя в многообразии других работ.

Во второй главе проводится исследование свойств производной, нелинейного оператора, возникающего в рассматриваемой задаче, с использованием анализа его сингулярного разложения.

В разделе 2.1 ставится решаемая задача. Предполагается, что процессы формирования и распространения волн в среде описываются начальной задачей для уравнений теории упругости в неоднородных изотропных двумерных средах с источником типа центра расширения:

2u1 r u1 u1 u2 r r - + 2µ - µ( + ) = F(t) (x - xs ), t2 x1 divu x1 x2 x2 x1 x 2u2 u1 u2 r u2 r r - µ( + ) - + 2µ = F(t) (x - xs ), t2 x1 x2 x1 x2 divu x2 x u1 t 0 = 0, u2 t 0 = 0;

Здесь предполагается, что ось лежит на поверхности Земли, а ось xxперпендикулярна к ней и направлена в глубину. По отношению к данной системе рассматривается следующая обратная задача. По информации:

r robs u = u (x2,t); 0 t T; x2 {x1s,..., xNs | x1s.. xNs}, x1=о режиме колебаний, записанной в приемниках, расположенных в вертикальной скважине, восстановить параметры среды ниже забоя, µ, скважины, то есть ниже линии, на которой располагается последний приемник. Эту задачу можно рассматривать как нелинейное операторное уравнение:

r robs, B < m >= u robs r где – параметры среды, – данные наблюдений u m = (, µ, )T (сейсмограммы), B – нелинейный оператор, неявно определяемый уравнениями теории упругости. Для его решения предлагается использовать итерационный метод Ньютона:

r r r robs r. (1) DB(mk ) < mk +1 - mk >= u - B(mk ) Наиболее важным аспектом, который необходимо учитывать при разработке численных методов решения данного линейного операторного уравнения, является компактность оператора и, следовательно, отсутствие у него ограниченного обратного. При выполнении конечномерной аппроксимации, которая заключается в приближении данного уравнения системой линейных алгебраических уравнений конечной размерности, возникает противоречивая ситуация. С одной стороны, чем больше размерность привлекаемых нами конечномерных пространств, тем точнее аппроксимация самого линейного оператора и правой части. С другой стороны, в силу компактности оператора такое повышение неизбежно приводит к увеличению числа обусловленности получающейся при этом матрицы и, следовательно, ко все более и более жестким требованиям на точность измерения сейсмических полей, то есть на уровень погрешности в правой части получающейся системы линейных алгебраических уравнений. Таким образом, прежде чем приступать к выбору численного метода решения линейного уравнения, необходимо детально исследовать основные свойства оператора с тем, чтобы отчетливо представлять, какая аппроксимация нужна при заданном уровне помех и какого качества решение при этом будет получено.

Рис. 1. Геометрия наблюдений, используемая для анализа сингулярного разложения Для выяснения ответов на эти вопросы в работе используется подход к анализу и построению численных методов решения линейных операторных уравнений с компактным оператором в гильбертовых пространствах, основанный на применении анализа его сингулярного разложения (в дальнейшем SVD-анализа). Следуя работам В.И. Костина, В.А. Чеверды и др. (2004, 2005 гг.) предлагается анализировать свойства решения с помощью усечения сингулярного разложения. Эта процедура заключается в том, что решение r r r системы линейных алгебраических уравнений, полученное x Ax = y r методом наименьших квадратов, приближается вектором x[r ] (r- решением), который является проекцией искомого решения на лиr нейную комбинацию r правых сингулярных векторов, соответстxi вующих бльшим по величине сингулярным числам (в дальнейшем такие векторы будем называть старшими сингулярными векторами). Число r привлекаемых сингулярных векторов контролирует обусловленность задачи и позволяет построить решение с приемлемой точностью, зная относительную ошибку во входных данных. Понятие r-решения обобщается на случай линейных уравнений с компактным оператором в гильбертовых пространствах. Можно показать, что такая компонента решения устойчива как относительно погрешности во входных данных, так и относительно погрешности, возникающей при дискретизации оператора. В данной работе для анализа сингулярного разложения было решено сосредоточиться на достаточно простой модели среды (см. Рис.

1), которая, однако, позволяет выявить основные свойства решения обратной задачи. А именно предполагается, что вмещающая среда однородна, и что в среде распространяется плоская продольная волна.

В разделе 2.2 с учетом этих предположений выводится явный вид оператора DB. С этой целью используется приближение однократного рассеяния и явный вид функции Грина рассматриваемой задачи в однородной среде. Оператор DB оказывается матричным интегральным оператором с непрерывным ядром. Построение в работе проРис. 2. Сингулярные числа опеводится формально и не касается ратора DB в логарифмической строгого обоснования того, что полученный оператор есть производная по Фреше исходного нелинейного оператора в гильбертовых пространствах. После ввода конечномерных базисов из элементарных ступенек в пространстве моделей и пространстве данных интегралы в операторе DB аппроксимируются конечными суммами, что и позволяет построить его матричную аппроксимацию.

В разделе 2.3 выполняется анализ сингулярного разложения построенной матрицы для геометрии наблюдений, изображенной на Рис.

1. Получающиеся в данном случае сингулярные числа представлены на Рис. 2. Видно, что они действительно быстро стремятся к нулю, что обуславливается компактностью исходного оператора. Считая допустимым число обусловленности равное видно, что только проекция на 1500 старших сингулярных векторов может быть восстановлена с заданной точностью.

Одним из наиболее принципиальных вопросов, возникающих при решении обратной динамической задачи сейсмики, является выбор оптимальной параметризации среды. Наиболее распространенными наборами параметров для описания упругих сред являются, в дополнение к плостности ( ), параметры Ламе ( ), скорости продольных и попе, µ речных волн ( ) и упругие импедансы ( ). ИзVP,VS IP = VP, IS = VS вестно, что эти параметры не эквивалентны при решении обратной задачи.

Для выбора наиболее подходящей параметризации для обращения прежде всего был исследован эффект связанности параметров. Два параметра являются связанными, если при возмущении одного из них решение обратной задачи покажет, что произошло возмущение не только этого, основного параметра, но и другого, формально от него независимого. Надо отметить, что при точном решении полной обратной задачи такой связанности параметров, как правило, не существует. Она возникает только при построении численного, приближенного решения.

При анализе поведения проекции неоднородности по каждому из параметров на старшие сингулярные векторы в работе показывается, что наименее связанными параметрами являются упругие импедансы.

Следующим этапом являлось изучение расположения устойчивых подпространств относительно какого-нибудь стандартного базиса в пространстве моделей, используемого для дискретизации оператора.

Под устойчивыми подразумеваются подпространства в пространстве моделей, являющиеся линейной оболочкой правых старших сингулярных векторов. Проекции именно на эти подпространства являются определяемыми с заданной точностью составляющими решения исходного линейного операторного уравнения. Ясно, что чем ближе стандартный базис к устойчивому подпространству, тем точнее будет восстанавливаться разложенное по нему решение. Для наглядности мы использовали тригонометрический базис и в качестве характеристики отклонения брали угол между линейной оболочкой различного числа старших сингулярных векторов и каждой из гармоник. На Рис. 3 показаны линии уровней этих углов в градусах для различных параметров среды. Видно, что углы, соответствующие P-импедансу для фиксированного числа сигулярных векторов, существенно меньше, чем для других параметров.

Поэтому можно прогнозировать высокое качество восстановления изменчивости упругих импедансов. Важной особенностью при этом является поведение плотности в этом базисе. Этот параметр оказывается "почти" ортогональным весьма большому числу старших сингулярных векторов и поэтому вряд ли может быть восстановлен при достигаемых на практике точностях. Примечательным является также то, что углы существенно увеличиваются при уменьшении частоты. Это проявление так называемой проблемы определения трендовой составляющей, согласно которой только высокочастотные компоненты решения могут быть восстановлены. Поэтому гладкая компонента, отвечающая за времена пробега волн, не может быть определена с использованием рассматриваемой системы наблюдений. Отсюда можно сделать вывод, что целесообразно выполнение только первого шага итерационного процесса Ньютона, то есть линейного обращения, в решаемой задаче. Последующие шаги не позволят улучшить результат в силу незнания геомет рического расхождения. Для его определения необходимо привлечение в итерационный алгоритм кинематических методов.

Рис. 3. Линии уровней углов (в градусах) между гармониками Фурье и линейной оболочкой старших сингулярных векторов для различных параметров В третьей главе разрабатывается, программно реализуется и тестируется алгоритм численного решения обратной задачи в произвольной неоднородной среде. При этом учитываются результаты, полученные во второй главе, согласно которым выполняется только первый шаг процесса Ньютона, то есть линеаризованное обращение. В качестве неизвестных параметров выступают только упругие импедансы.

Для решения линейного уравнения (1) применяется итерационный метод LSQR, предложенный в работе С.С. Paige (1982). Аналитически последовательность этого метода эквивалента последовательности сопряженных градиентов для уравнения, приведенного к нормальной форме. Как и для всех методов подобного типа, для реализации LSQR необходимо только знание действия операторов DB и на векторы DBT из соответствующих пространств. Следуя работам A. Tarantola, в разде ле 3.2 показывается, что эти действия вычисляются как решение задач прямого моделирования со специальными правыми частями. Оператор при этом задается сопряженной задачей, решаемой в обратном DBT времени. Необходимо отметить, что метод LSQR играет в данном случае роль регуляризирующего алгоритма с параметром регуляризации, равным числу итераций.

Рис. 4. Результат решения обратной задачи для горизонтально слоистой среды а) истинная среда; б,в) восстановленные границы разрывов P и S импедансов; г,д) амплитуды истинного (сплошная линия) и восстановленного разрыва P и S импедансов вдоль вертикальной линии, соответствующей 150м по горизонтали. Ошибка определения амплитуды на нижней границе связана со смещением области освещения.

Для моделирования волновых полей в работе используется модификация конечно-разностной схемы второго порядка на сдвинутых сетках, предложенной в работе J. Virieux (1986). В качестве неотражающих условий для ограничения расчетной области применяются идеально согласованные поглощающие слои (PML), предложенные в работе J.P. Berenger (1994). Программный код, реализующий данную схему, был разработан в Лаборатории вычислительных методов геофизики ИНГГ СО РАН и модифицирован соискателем для использования в решении обратной задачи. Все программное обеспечение, созданное в ходе выполнения, работы написано на языке программирования C++.

Раздел 3.3. посвящен тонкостям реализации алгоритма и разработанному программному обеспечению.

В разделе 3.4 приводятся результаты решения обратной задачи по синтетическим данным для сред различной степени сложности. В качестве первого теста использовалась среда с одним точечным рассеивателем. Было показано, что с числом итерации метода LSQR локализуется в пространстве, а так же подавляются ошибки в решении (известные в сейсморазведке как артефакты миграции), связанные с ограниченностью системы наблюдений и с наличием в данных обменных волн. В качестве следующего тестового примера была взята среда с двумя горизонтальными отражающими границами. Результат решения обратной задачи приведен на Рис. 4. Видно, что местоположение (по времени) и амплитуды разрывов упругих импедансов восстановлены достаточно точно. Однако форма полученного решения осложнена формой импульса зондирующего сигнала. Это было предварительно предсказано с использованием SVD-анализа.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»