WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     ||
|

Теорема 2. Пусть r = 2k + 1 и действительные числа j (j = 1, 2k + 1) попарно различны. Тогда система линейных алгебраических уравнений Ac = d относительно c = (c1, c2,..., c2k+1)T однозначно разрешима и ее решение обращает в тождества равенства (10).

Сформулированные устверждения имеют место и для случая, если оператор Lr имеет комплексные корни при выполнении неравенства h <. Здесь – максимум из модулей мнимых частей корней характеристического многочлена.

В § 3 - 4 главы 1 указаны оценки погрешности аппроксимации некоторых соболевских классов функций (зависящих от оператора Lr) построенными сплайнами в терминах ядра интегрального представления разности f(x) - S(x) и рассмотрены частные случаи полученных результатов.

Обзор результатов главы 2. В главе 2 на оси и на отрезке строятся локальные формосохраняющие L-сплайны третьего порядка с произвольным расположением узлов, соответствующие операторам вида L3(D) = D(D2±2) ( > 0). Для формулировки результатов ограничимся здесь только случаем L3(D) = D(D2 - 2), приводящим к экспоненциальным сплайнам. Пусть L2 = L2(D) = D2 - 2 ( > 0), I – отрезок числовой прямой R или вся ось R и LW (I) = {f : f AC, L2(D)f 1}.

L(I) Рассмотрим на оси R бесконечную в обе стороны сетку узлов: · · · < x-2 < x-1 < x0 < x1 < x2 < · · ·. Пусть hj = xj+1 - xj;

xj+xj+xj+1/2 = (j Z). Для функции f, определенной на оси R, положим yj = f(xj) и построим обобщенную разделенную разность sh hj+1 sh (hj + hj+1) L [yj, yj+1, yj+2] = yj - yj+1 + yj+2, sh hj sh hj соответствующую оператору L2(D) = D2-2, по значениям функции y = f(x) в точках xj, xj+1, xj+2. Разность L [yj, yj+1, yj+2] обращается в нуль на сеточных значениях yj = f(xj) любой функции f из ядра линейного дифференциального оператора L2(D). В случае = 0 эта разность с точностью до постоянного множителя совпадает с обычной разделенной разностью второго порядка. Отметим, что обобщенные разделенные разности, соответствующие произвольной, линейно независимой системе функций и произвольным узлам, были введены Т. Поповичу [25] в 1959 году в терминах определителей. Функции f, определенной на оси R, поставим в соответствие локальный экспоненциальный сплайн, соответствующий линейному дифференциальному оператору L3(D) = D(D2 - 2), вида S(x) = S(f, x) = a + b sh (x - xj) + c ch (x - xj)+ d + ch x - xj+1/2 + - 1, x [xj; xj+1] (j Z), (11) где t+ = max{0, t} и коэффициенты a, b, c, d определяются следующим образом:

hj-sh L [yj-1, yj, yj+1] a = -, hj 2 sh sh (hj + hj-1) sh hj 4 hj-hj sh ch L [yj-1, yj, yj+1] 4 b = yj+1 - yj ch hj -, sh hj sh (hj + hj-1) hj-hj sh ch L [yj-1, yj, yj+1] 4 c = yj +, hj 2 sh (hj + hj-1) sh sh hj 4 hj+1 sh L [yj, yj+1, yj+2] d = hj sh (hj + hj+1) sh hj+2 sh hj-sh L [yj-1, yj, yj+1] -. (12) sh (hj + hj-1) sh hj В главе 2 доказаны формосохраняющие и сглаживающие свойства функции S(f, x). В качестве иллюстрации приведем один из результатов.

Теорема 3. Локальный экспоненциальный сплайн S(x), определенный формулами (11)-(12), локально наследует свойство обобщенной монотонности исходных данных {yj} в том смысле, что:

a) если yj+1 - yj ch hj 0, yj ch hj-1 - yj-1 0, yj+2 yj+1 ch hj+1 0 и yj+1 ch hj - yj 0, то S(x) не убывает на промежутке (xj; xj+1);

b) если yj+1 - yj ch hj 0, yj ch hj-1 - yj-1 0, yj+2 yj+1 ch hj+1 0 и yj+1 ch hj - yj 0, то S(x) не возрастает на промежутке (xj; xj+1).

LПусть f W [xj-1, xj+2] (j Z) и j,1(x), x xj, xj+1/2, j(x) = j,2(x), x xj+1/2, xj+1, где sh (x - xj) sh (xj+1 - x) 2 j,1(x) = + hj ch hj-sh2 (x - xj+1/2) sh ch (hj + hj-1) 2 4 + ·, hj hj hj-sh ch ch 4 2 sh (x - xj) sh (xj+1 - x) 2 j,2(x) = + hj ch hj+ sh2 (x - xj+1/2) sh ch (hj + hj+1) 2 4 + ·.

hj hj hj+sh ch ch 4 2 LТеорема 4. Для любой функции f W [xj-1, xj+2] (j Z) для сплайна S(x) = S(f, x), определенного формулами (11) - (12), имеет место точное неравенство |f(x) - S(x)| j(x), x [xj, xj+1] (j Z), причем знак равенства при x [xj, xj+ 1 ] достигается для любой функции f такой, что L2(D)f(t) = -1 для почти всех t [xj-1, xj+1], а при x [xj+ 1, xj+1] – для любой функции f такой, что L2(D)f(t) = -1 для почти всех t [xj, xj+2].

Аналогичные оценки погрешности аппроксимации получены для функций f, заданных на фиксировапнном отрезке (с выбором краевых условий типа второго рода) и в периодическом случае. Теоремы 3 и 4 в случае = 0 и hj = h доказаны Ю.Н. Субботиным [13], в случае hj = h и = 0 – К.В. Костоусовым и В.Т.

Шевалдиным [7, 21], а в случае = 0 и произвольных узлов – В.Т.

Шевалдиным [19]. Предложенная схема построения экспоненциальных сплайнов перенесена автором и на случай тригонометрических сплайнов, соответствующих линейному дифференциальному оператору вида L3(D) = D(D2 + 2) ( > 0) при выполнении условий 0 < hj < (j Z).

Сформулированные в главе 2 результаты были получены автором [31] в 2006 году. В 2007 году Ю.Н. Субботин [28] модифицировал описанные выше схемы построения локальных параболических и тригонометрических сплайнов с произвольным расположением узлов, соответствующих линейному дифференциальному оператору L3(D) = D(D2 + 2). Конструкции локальных L-сплайнов, построенные им, приводят к меньшим погрешностям при аппроксимации локальными сплайнами на соответствующих классах функций, чем в теореме 4, и обладают в определенном смысле лучшими сглаживающими свойствами.

Обзор результатов главы 3. В главе 3 для функций f, определенных и интегрируемых на всей числовой прямой R, рассматриваются функционалы вида h f(jh + t)dt, h1 > 0, hbj(f) =. (13) h f(jh), h1 = 0, 1 3h Пусть B3(x) = 3 x - - нормализованный параh 2h2 + h 3h болический B-сплайн c равномерными узлами -3h, -h,,. Ло2 2 2 кальный параболический сплайн определим в этом случае формулой S(x) = S(f, x) = bj(f)B3(x - jh) (x R).

j Этот сплайн не является интерполяционным в среднем. Он также обладает формосохраняющими и сглаживающими свойствами.

Основными результатами этой главы являются следующие утверждения.

Теорема 5. При 0 h1 2h имеет место равенство h2 hsup f - S = +.

2 8 fW(R) Теорема 6. При 0 h1 2h имеет место равенство h hsup f - S = +.

2 2 24h fW(R) При h1 = 0 оба утверждения были доказаны Ю.Н.Субботиным [13].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Александру Григорьевичу Бабенко за ценные замечания и внимание к работе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ [1] Алберг, Дж. Теория сплайнов и ее приложения / Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш – М.: Мир, 1972.

[2] Волков, Ю. С. Хорошо обусловленные методы построения сплайнов высоких степеней и сходимость процессов интерполяции: дис.... доктора физ.-мат. наук : 01.01.01 / Волков Юрий Степанович. – Новосибирск, 2006.

[3] Завьялов, Ю. С. Методы сплайн-функций / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко – М.: Наука, 1980.

[4] Квасов, Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами / Б. И. Квасов – М.: Физматлит, 2006.

[5] Корнейчук, Н. П. О приближении локальными сплайнами минимального дефекта / Н. П. Корнейчук // Укр. матем. журнал.

– 1982. – Т. 34, № 5. – С. 617–621.

[6] Корнейчук, Н. П. Сплайны в теории приближения / Н. П. Корнейчук – М.: Наука, 1984.

[7] Костоусов, К. В. Аппроксимация локальными тригонометрическими сплайнами / К. В. Костоусов, В. Т. Шевалдин // Матем.

заметки. –2005.– Т. 77, № 3. – С. 354–363.

[8] Мирошниченко, В. Л. Достаточные условия монотонности и выпуклости для интерполяционных кубических сплайнов класса C2 / В. Л. Мирошниченко // Вычислительные системы. – 1990.

–Вып. 137. Приближение сплайнами. –С. 31–57.

[9] Мирошниченко, В. Л. Достаточные условия монотонности и выпуклости для интерполяционных параболических сплайнов / В. Л. Мирошниченко // Вычислительные системы. – 1991. –Вып.

142. Сплайны и их приложения. –С. 3–14.

[10] Стечкин, С. Б. Сплайны в вычислительной математике / С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин – М.: Наука, 1976.

[11] Субботин, Ю. Н. Порядок наилучшей сплайн-аппроксимации некоторых классов функций / Ю. Н. Субботин, Н. И. Черных // Матем. заметки. –1970.– Т. 7, № 1. – С. 31–42.

[12] Субботин, Ю. Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны / Ю. Н. Субботин // Тр. МИАН СССР. –1975.– Т. 109. – С. 35–60.

[13] Субботин, Ю. Н. Наследование свойств монотонности и выпуклости при локальной аппроксимации / Ю. Н. Субботин // ЖВМ и МФ. –1993.– Т. 33, № 7. – С. 996–1003.

[14] Субботин, Ю. Н. Экстремальная функциональная интерполяция в среднем с наименьшим значением n-ой производной при больших интервалах усреднения / Ю. Н. Субботин // Матем. заметки. –1996.– Т. 59, № 1. – С. 114–132.

[15] Субботин, Ю. Н. Экстремальная в Lp интерполяция в среднем при пересекающихся интервалах усреднения / Ю. Н. Субботин // Изв. РАН. Сер. матем. –1997.– Т. 61, № 1. – С. 177–198.

[16] Шарма, И. Некоторые линейные дифференциальные операторы и обобщенные разности / А. Шарма, И. Цимбаларио // Матем. заметки. –1977.– Т. 21, № 2. – С. 161–173.

[17] Шевалдин, В. Т. Некоторые задачи экстремальной интерполяции в среднем для линейных дифференциальных операторов / В. Т. Шевалдин // Тр. МИАН СССР. –1983.– Т. 164. – С. 203–240.

[18] Шевалдин, В. Т. Экстремальная интерполяция в среднем при перекрывающихся интервалах усреднения и L-сплайны / В. Т. Шевалдин // Изв. РАН. Сер. матем. –1998.– Т. 62, № 4. – С. 201–224.

[19] Шевалдин, В. Т. Аппроксимация локальными параболическими сплайнами с произвольным расположением узлов / В. Т. Шевалдин // Сиб. журн. вычисл. математики – 2005. – Т. 8, № 1. – С. 77–88.

[20] Kolmogoroff, A. N. Uber die besste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen / A. N. Kolmogoroff // Ann. of Math. – 1936. – V. 37. – P. 107–110.

[21] Kostousov, K. V. Approximation by local exponential splines / K. V. Kostousov, V. T. Shevaldin // Proc. of the Steklov Institute of Mathematics. Supple 10. – 2004. – P. 147–157.

[22] Lyche, T. Local spline approximation methods / T. Lyche, L. L. Schumaker // J. Approxim. Theory. – 1975. – V. 15, № 4. – P. 294–325.

[23] ter Morsche, H. G. Interpolation and extremal properties of Lspline functions: Dissertation / H. G. ter Morsche. – Eindhoven.:

Technische Hogeschool Eindhoven, 1982.

[24] Piegl, L. The NURBS Book / T. Piegl, W. Tiller. – Berlin etc.:

Springer; 1997.

[25] Popoviciu, T. Sur le reste dans certains formules lineares d’approximation de l’analyse / T. Popoviciu. // Mathematica (Cluj).

– 1959. – V. 1. – P. 95–142.

[26] Schoenberg, I. J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions, Part A: On the problem of smoothing of graduation, a first class of analytic approximation formula / I. J. Schoenberg // Quart. Appl. Math. – 1946. – V. 4. – P. 49–99.

[27] Shevaldin, V. T. Approximation by Local L-splines Corresponding to a Linear Differential Operator of the Second Order / V. T. Shevaldin // Proc. of the Steklov Institute of Mathematics.

Supple 2. – 2006. – P. 189–208.

[28] Subbotin, Yu. N. Approximationes by Polynomial and Trigonometric Splines of Third Order Preserving Some Properties of Approximated Functions / Yu. N. Subbotin // Proc. of the Institute of Mathematics and Mechanics of Russian Academy of Sciences. – 2007. – V. 13, № 2. – P. 231–242.

[29] Wronicz, Z. Chebyshevian splines: Dissertationes Mathematical / Z. Wronicz. – Warszawa.: Polska Academia Nauk, Institute Mathematyczny, 1990.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ [30] Шевалдина, Е. В. Аппроксимация локальными тригонометрическими сплайнами с произвольными узлами / Е. В. Шевалдина // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й региональной молодежной конференции. 30 января – 3 февраля 2006 г. – Екатеринбург: УрО РАН, 2006. – С. 151–155.

[31] Шевалдина, Е. В. Аппроксимация локальными экспоненциальными сплайнами с произвольными узлами / Е. В. Шевалдина // Сиб. журн. вычисл. математики. – 2006. – Т. 9,№ 4. – С. 391– 402.

[32] Шевалдина, Е. В. Аппроксимация локальными параболическими сплайнами функций на основе их интерполяции в среднем / Е. В. Шевалдина // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й региональной молодежной конференции.

29 января – 2 февраля 2007 г. – Екатеринбург: УрО РАН, 2007.

– С. 100–104.

[33] Shevaldina, E. V. Approximation in the mean by local parabolic splines / E. V. Shevaldina // Angewandte Analysis, Approximationstheorie CAGD and Numerische Mathematik: 17.

Rhein-Ruhr-Workshop. Burg Gemen. 09.–10.02.2007. –Gerlind Plonka-Hoch: Universitat Duisburg-Essen, 2007. – P. 1.

[34] Шевалдина, Е. В. Аппроксимация локальными параболическими сплайнами функций по их значениям в среднем / Е. В. Шевалдина // Труды Института математики и механики. – 2007. – Т. 13,№ 4. – С. 169–189.

[35] Шевалдина, Е. В. Наследование свойств k-монотонности при аппроксимации лоокальными кубическими сплайнами / Е. В. Шевалдина // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 40-й региональной молодежной конференции.

25 – 30 января 2009 г. – Екатеринбург: УрО РАН, 2009. – С. 106– 110.

[36] Шевалдина, Е. В. Аппроксимация локальными L-сплайнами четного порядка, сохраняющими ядро дифференциального оператора / Е. В. Шевалдина // Известия ТулГУ. Естественные науки. – 2009. – Вып. 2. – С. 62–73.

Pages:     ||
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.