WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     |
|

На правах рукописи

УДК 519.65 Стрелкова Елена Валерьевна Аппроксимация локальными L-сплайнами 01.01.01 – математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 2009

Работа выполнена в отделе аппроксимации и приложений Института математики и механики Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург

Научный консультант:

доктор физико-математических наук А. Г. Бабенко

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. М. Бадков доктор физико-математических наук Ю. С. Волков

Ведущая организация:

Уральский государственный университет им. А. М. Горького

Защита диссертации состоится 26 ноября 2009 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.02 при Институте математики и механики УрО РАН по адресу: г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН.

Автореферат разослан октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 004.006.02, кандидат физико-математических наук Н. Ю. Антонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию аппроксимативных свойств локальных полиномиальных и L-сплайнов, построенных по значениям аппроксимируемой функции в точках или ее значениям в среднем.

Актуальность темы. В настоящее время основным аппаратом автоматизированного геометрического проектирования при описании сложных кривых и поверхностей являются методы сплайн-функций.

Одномерные полиномиальные сплайны в их простейшей форме представляют собой кусочные многочлены, гладко состыкованные между собой в заданных точках. Наряду с полиномиальными сплайнами в вычислительной математике хорошо известны и активно применяются их обобщения, названные L-сплайнами (см., например, [1, 23]).

Дадим необходимые определения.

Пусть C и Lp, 1 p – пространства функций f, заданных на отрезке числовой прямой или на всей прямой R с обычным определением нормы.

Пусть Lr = Lr(D) (D – оператор дифференцирования, r N) – произвольный линейный дифференциальный оператор порядка r с постоянными действительными коэффициентами (старший коэфr r фициент полагаем равным 1). Символом SL или SL () обозначим множество всех L-сплайнов порядка r минимального дефекта (т.е.

дефекта 1) с узлами на сетке : a = x0 < x1 <... < xN = b, т.е.

r r SL = SL () = = {S Cr-2[a, b] : Lr(D)S(x) = 0, x (xj, xj+1), j = 0, N - 1}.

Ясно, что если оператор Lr(D) является оператором взятия r-ой r производной, т.е. Lr(D) = Dr, то множество SL совпадает с множеством Sr полиномиальных сплайнов порядка r (степени r - 1) с узлами на сетке. Аналогичным образом определяются L-сплайны и на всей числовой оси R.

Для функции f : R R обозначим через r r! s s r f(x) = (-1)r-sCr f(x + sh), Cr =, (1) h s!(r - s)! s=конечную разность r-го порядка с шагом h > 0. Полиномиальным B-сплайном (см., например [3]) порядка r (степени r - 1) называется функция r-rh Br(x) = Cr(h)r x -, (2) h + где t+ = max{0, t}. Нормирующий множитель Cr(h) > 0 выбирается так, чтобы имело место равенство Br(x - jh) = 1 (x R).

jZ В 1975 году Т.Лич и Л.Шумейкер [22] (см., также [3, 5]) построили локальные полиномиальные сплайны r-го порядка вида Sr(x) = k Sr(f, x) = sf((j + s)h)Br(x - jh) (x R) для любой функj s=-k r-ции f : R R, где k = и действительные коэффициенты s выбраны из условия точности формулы Sr(f, x) = f(x) для многочленов степени r - 1. В книге Ю.С. Завьялова, Б.И. Квасова, В.Л.

Мирошниченко [3] было показано, что в ряде случаев построенные локальные полиномиальные сплайны Sr обладают наилучшими аппроксимативными свойствами на классах функций r-1 r-Wp = Wp [a, b] = {f : f(r-2) AC, f(r-1) 1} (3) Lp[a,b] (1 p, r 2) на отрезке [a, b], обеспечивая по порядку h такую же точность, какую дает соответствующий колмогоровский поперечник указанного класса функций. Здесь AC – класс функций, абсолютно непрерывных на отрезке [a, b]. Аналогичные построения локальных полиномиальных сплайнов были выполнены в [3, 22] также для полиномиальных сплайнов с неравномерными узлами. Этот аппарат успешно применялся в вычислительной математике для решения прикладных задач, поскольку он имел очевидные преимущества перед интерполяционными сплайнами на оси R, значения которых зависели от значений аппроксимируемой функции f во всех точках равномерной сетки на оси R (см., например, [6, 10]).

С точки зрения создания простых вычислительных схем для аппроксимации быстро растущих и разрывных функций большой интерес представляет построение локальных L-сплайнов, аналогичных по своей конструкции выше описанным полиномиальным сплайнам.

Этим вопросам посвящена первая глава диссертации.

В настоящее время имеется значительное число работ (см., например, [2, 4, 8, 9, 13, 19]), посвященных численным аспектам аппроксимации полиномиальными сплайнами функций одного переменного, связанных с локальным наследованием сплайном свойств монотонности и выпуклости (обобщенной выпуклости, ковыпуклости, kмонотонности и т.д.) исходных данных. Однако, сохранения монотонности и выпуклости для интерполяционных сплайнов удается достичь только при дополнительных, довольно жестких ограничениях на исходные данные и сетки узлов (см., например, [2, 8, 9]).

В 1993 году Ю.Н. Субботин [13] на классе функций W с ограниченной почти всюду второй производной и заданных на отрезке на равномерной сетке построил локальный неинтерполяционный метод аппроксимации, сохраняющий локально геометрические свойства (монотонность и выпуклость) исходных данных – значений приближаемой функции f в узлах равномерной сетки. В периодическом случае этот метод оказался оптимальным в смысле поперечников по А.Н.

Колмогорову и по В.Н. Коновалову. В.Т. Шевалдин и К.В. Костоусов [7,21] развили этот метод применительно к экспоненциальным и тригонометрических сплайнам с равномерными узлами, соответствующим линейным дифференциальным операторам третьего порядка вида D(D2 ± 2). Вторая глава диссертации посвящена развитию отмеченных результатов.

Если аппроксимируемая функция f не является непрерывной, а только интегрируемой, то неестественно рассматривать вопросы приближения такой функции, исходя из ее значений в узлах сетки, т.к.

значения в отдельных точках несущественны для таких функций.

Обычно в задачах теории приближения функций используют интерполяцию в среднем. Полиномиальный сплайн Sr с равномерными узлами xj = jh (j Z) называется интерполяционным в среднем для функции f, если он удовлетворяет следующим равенствам hf(jh + t)dt = Sr(jh) (j Z, h1 > 0).

hhВопросы существования, единственности, аппроксимативные и экстремальные свойства интерполяционных в среднем полиномиальных сплайнов изучались в работах Ю.Н.Субботина [12, 14, 15].

Для функций f, определенных и интегрируемых на всей числовой оси R, рассмотрим функционалы вида h f(jh + t)dt, h1 > 0, hbj(f) =. (4) h f(jh), h1 = 0, Представляет интерес изучение аппроксимативных и формосохраняющих свойств локальных полиномиальных сплайнов r-го порядка вида Sr(x) = Sr(f, x) = bj(f)Br(x - jh) (x R).

j Эти сплайны не являются интерполяционными в среднем (несмотря на то, что при h1 > 0 они построены по значениям функции f в среднем). Важной задачей является вычисление явной зависимости величины погрешности аппроксимации такими сплайнами на m соболевских классах W(R) (m r - 1) не только от величины шага сетки h, но и от величины шага усреднения h1. Решению этой задачи в случае r = 3 (т.е. в случае параболических сплайнов) посвящена третья глава диссертации.

Цель работы. Построение и изучение аппроксимативных свойств локальных L-сплайнов с равномерными узлами, сохраняющих базисные функции из ядра линейного дифференциального оператора Lr порядка r с постоянными действительными коэффициентами. Построение и изучение аппроксимативных свойств локальных L-сплайнов третьего порядка с произвольным расположением узлов, обладающих формосохраняющими и сглаживающими свойствами. Изучение аппроксимативных и формосохраняющих свойств параболических локальных сплайнов, построенных на основе интерполяции в среднем.

Методы исследования. В работе используются методы математического анализа и теории приближения функций, в частности, теории сплайнов.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

Основные из них заключаются в следующем.

1. Результаты диссертации, полученные в первой главе, развивают, но не обобщают отмеченные выше результаты Т. Лича, Л. Шумейкера [22], Ю.С. Завьялова, Б.И. Квасова, В.Л. Мирошниченко [3].

Построены локальные L-сплайны r-го порядка S(x) = S(f, x) с равномерными узлами, сохраняющие базисные функции из ядра линейного дифференциального оператора Lr = Lr(D) с постоянными действительными коэффициентами, корни характеристического многочлена которого попарно различны. Приведена оценка погрешности аппроксимации некоторых соболевских классов функций (зависящих от оператора Lr) построенными L-сплайнами в терминах ядра интегрального представления разности f(x) - S(x).

2. Построены локальные формосохраняющие экспоненциальные и тригонометрические сплайны на оси и на отрезке с произвольным расположением узлов, соответствующие линейным дифференциальным операторам третьего порядка вида L3(D) = D(D2 ± 2). Получена поточечная оценка погрешности приближения указанными Lсплайнами. Данные результаты являются продолжением аналогичных исследований Ю.Н. Субботина [13], К.В. Костоусова и В.Т. Шевалдина [7, 19, 21].

3. На классе функций W(R) с ограниченной почти всюду второй производной точно вычислена величина погрешности аппроксимации функций f и их производных локальными параболическими сплайнами, построенными на основе интерполяции в среднем.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Построенные в диссертации локальные Lсплайны могут быть использованы в вычислительной математике для создания пакетов программ формосохраняющей аппроксимации.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих математических конференциях и научных семинарах: совместный семинар отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН под руководством члена-корреспондента РАН Ю. Н. Субботина и профессора Н. И. Черныха; научный семинар под руководством члена-корреспондента РАН В. И. Бердышева в Институте математики и механики УрО РАН; научный семинар под руководством профессора В. В. Арестова в Уральском госуниверситете им. А. М. Горького; научный семинар под руководством В. Л. Мирошниченко и Ю. С. Волкова в Институте математики СО РАН (г. Новосибирск); научный семинар под руководством профессора К. Еттера в г. Штутгарте (Германия); Международная конференция "Прикладной анализ, теория аппроксимации и вычисоительная математика"(17. Rhein-Ruhr-Workshop) (г.Боркен, Германия, 2007 г.);

Международная летняя научная Школа С.Б. Стечкина по теории функций ( г. Миасс, 2007 г.); 37-я, 38-я и 40-я Региональные молодежные конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(г. Екатеринбург, 2006г., 2007г., 2008г.) Публикации. Результаты диссертации опубликованы автором в работах [30]– [36].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы.

Объем диссертации – 88 страниц. Список литературы содержит наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Обзор результатов главы 1. В главе 1 построены локальные L-сплайны r-го порядка с равномерными узлами, сохраняющие базисные функции из ядра линейного дифференциального оператора Lr = Lr(D) с постоянными действительными коэффициентами, корни характеристического многочлена которого попарно различны. Построение этих сплайнов, в отличие от [3,22], проводится без использования тождеств Марсдена (т.е. представлений базисных функций ядра оператора через базисные B - L-сплайны, см. определение ниже) и без применения реккурентных соотношений для B - L-сплайнов, хотя известно, что эти свойства имеют место даже для более общих чебышевских сплайнов (см. [29]).

Пусть r N, D – оператор дифференцирования и r Lr = Lr(D) = (D - j) (5) j=– линейный дифференциальный оператор порядка r с постоянными действительными коэффициентами, все корни j характеристического многочлена которого попарно различны. Пусть (x) = r(x) – решение линейного однородного уравнения Lr(D)f = 0, удовлетворяющее условиям: (j)(0) = j,r-1 (j = 0, r - 1), где j,r-1 – символ Кронекера. Заметим, что этими условиями однозначно определяются r j числа Aj в представлении (x) = Aje x. Для функции f : R R, j=следуя А.Шарме и И.Цимбаларио [16], определим r r r j L f(x) = (T - e hE)f(x) = (-1)r-sµsf(x + sh) (6) h j=1 s=– конечную разность с шагом h > 0, соответствующую оператору Lr.

Здесь T f(x) = f(x + h), Ef(x) = f(x), µs = µs(Lr) > 0 (s = 0, r).

rh rh B - L-сплайн BL (x) (см., например, [23]) с носителем -, r 2 k h и узлами в точках jh + при r = 2k +1 и с узлами в точках j=-k-{jh}k=-k при r = 2k определяется формулой j rh r B(x) = BL (x) = CL (h)L x -. (7) r r h + Нормирующий множитель CL (h) > 0 для дальнейшего изложеr ния удобно взять равным 1.

Для любой функции f : R R полагаем yj = f(jh) и yj+ 1 = f j + h (j Z). При r = 2k + 1 рассмотрим последовательность функционалов Ij = Ij,2k+1 = c1yj-k + c2yj-k+1 +... + c2k+1yj+k, (8) а при r = 2k Ij = Ij,2k = b1yj-k+ 1 + b2yj-k+ 3 +... + b2kyj+k- 1. (9) 2 2 Локальный L-сплайн r-го порядка, соответствующий функции f, определим формулой S(x) = S(f, x) = IjB(x - jh)(x R), где j B(x) = BL (x), а неизвестные числа cs (s = 1, 2k + 1) и bs (s = 1, 2k) r выбираются таким образом, чтобы имели место равенства j j S(e x, x) = e x, j = 1, r (x R). (10) Для того, чтобы сформулировать основные результаты первой главы, введем еще некоторые обозначения. Пусть A – матрица вида 1 1 1 e h e2 h... e (r-1)h 2 2 1 e h e2 h... e (r-1)h A =...............

r r r 1 e h e2 h... e (r-1)h r j и p(x) = pr(x) = (x - e h) - характеристический многочлен разj=r ностного оператора L, c = (c1, c2,..., c2k+1)T, b = (b1, b2,..., b2k)T.

h В случае нечетного r = 2k + 1 положим dj = dj,2k+1 = h ) ej (2kh- = (j = 1, 2k + 1), а в случае четного r = 2k определим dj = p (ej h)Aj 3h ) ej (2kh- = dj,2k = (j = 1, 2k), и пусть d = (d1, d2,..., dr)T – соответp (ej h)Aj ствующий вектор-столбец.

Теорема 1. Пусть r = 2k и действительные числа j (j = 1, 2k) попарно различны. Тогда система линейных алгебраических уравнений Ab = d относительно b = (b1, b2,..., b2k)T однозначно разрешима и ее решение обращает в тождества равенства (10).

Pages:     |
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.