WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

j min lj = max min lj. (10) j j (c,l)D(A,If,I |) Если найдено ее решение Ij {c, lj }, j = 1,..., m, то вектор c оценит f с гарантироj ванной точностью, определенной неравенством min |fj - c()| min lj.

j j j В диссертации получен следующий результат, дающий метод аналитического решения задачи (10), (3):

Т е о р е м а 3. Пусть в модели [A, I] A– невырожденная m m-матрица. Тогда решение задачи (4) для q(l) = min lj есть j m c() = a-(i - (i + i)/2), k = 1,..., m, k ki i=1 i - i q = l1 =... = lm = min, m i=1,...,m |aik| k=где aik, a-, i, k = 1,..., m, – элементы матрицы A и A-1 соответственно.

ik На основе этих результатов в диссертации получены выражения для погрешностей интервальной редукции в случае ИВП на основе датчиков первого и второго порядков.

Например, для датчика первого порядка погрешность интервальной редукции (8) есть - 1/|ak-1 k| = 1 - e-, > - || lk = (11) - 2 2 (1-k) 1/|amk| = e e- + e - 2, < 0.

|| Здесь i =, i =, i = 1,..., m; – величина шага сетки, используемой при вычислении матрицы оператора A. Для задачи (10) при тех же предположениях получена следующая оценка:

- q (1 - e-/).

2 || Рис. 2.

Графики этих зависимостей приведены на рис. 2, а (для задачи (8)) и б (для задачи (10)). Зависимости погрешностей измерений для ИВП на основе датчика второго m порядка, а также для модели погрешности q(l) = li, представлены в диссертации.

i=Для каждой комбинации параметров эти зависимости показывают, какой точностью будет обладать ИВП на основе датчика с такими значениями параметров. Поэтому эти результаты могут быть использованы при проектировании датчиков, которые предполагается использовать в составе ИВП, для оптимизации точности измерений на соответствующем ИВП.

Результаты расчетов показали, что зависимости погрешностей измерений, выполненных на ИВП и на ИП как таковом, от параметров существенно отличаются. Значит, требования к параметрам ИП, обеспечивающие максимальную точность измерения на ИВП, отличны от тех, которые обеспечивают максимальную точность измерения на ИП как таковом, без использования ВП. Это утверждение совпадает с выводом, следующим из аналогичных расчетов для стохастической редукции.

В третьей главе рассмотрены задачи оптимального синтеза ИВП на основе датчика температуры с распределенными параметрами.

Пусть имеется бесконечно тонкий теплоизолированный теплопроводящий стержень длины l. Будем считать, что на каждом из его концов граничные условия одинаковы для всех точек, тогда в пределах любого поперечного сечения стержня температура одинакова и в каждый момент времени зависит лишь от координаты x. Пусть на стержне расположены источники тепла с плотностью f(x, t), 0 x l, 0 t T, и на его концах поддерживается заданный температурный режим, согласно которому температура u = u(x, t) как функция координаты x [0, L] и времени t [0, T ] удовлетворяет при x = 0 и x = l условиям:

a1u t(0, t) - b1u(0, t) = 0, |a1| + |b1| = 0; a2u t(l, t) + b2u(l, t) = 0, |a2| + |b2| = 0, где a1, a2, b1, b2 – некоторые коэффициенты.

Пусть в начальный момент времени t = 0 температура стержня равна нулю, тогда температура u = u(x, t) стержня может быть получена как решение следующей краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке 0 x l:

ut = a2uxx + f(x, t), 0 < x < l, 0 < t < T, a1u t(0, t) - b1u(0, t) = 0, |a1| + |b1| = 0, (12) a2u t(l, t) + b2u(l, t) = 0, |a2| + |b2| = 0, u(x, 0) = 0.

Здесь u температура в точке x в момент времени t, a коэффициент теплопроводности.

Пусть измеряется температура u стержня в точке x в момент времени t. Тогда u = Af +, где A – некоторый интегральный оператор, а – ошибка измерения.

Если справедливо представление f(x, t) = g(x)h(t), x [0, L], t [0, T ], то можно рассмотреть задачи восстановления пространственной части g(·) при известной функции h(·), либо временн части h(·) при известной g(·).

ой Рассмотрим первую из них. Пусть известна функция h(·) : [0, T ] R1. Тогда, t обозначив Ii(t) = exp(-a2i(t - ))h()d, t [0, T ], получим, что в фиксированный момент времени t пространственное распределение температуры есть l u(x, t) = Ii(t)(2/l) sin( ix) sin( iy)g(y)dy, x [0, L], t [0, T ].

i=Рассмотрим ситуацию, когда в момент времени 0 происходит мгновенный нагрев стержня, т.е. пусть l u(x, t) = (2/l) sin( ix) sin( iy) exp(-a2i(t - 0))g(y)dy sg(·), i=0 x L, 0 t T, (13) и требуется определить средние значения gi, i = 1,..., n, функции g(x) на n отрезках [0; l/n], [l/n; 2l/n],..., [(n - 1)l/n; l] стержня.

Пусть измерения температуры проводятся в нескольких местах стержня одновременно в момент времени t = t0 > 0. В момент времени t0 снимаются показания расположенных на стержне измерительных элементов – средние значения 1, 2,..., n температуры на отрезках стержня [0; l/n], [l/n; 2l/n],..., [(n-1)l/n; l], соответственно.

Модель формирования измерений запишем как i = ui(t0) + i, i = 1,..., n, где ui(t0) истинные средние значения температуры, {1,..., n} шум измерения.

В свою очередь, u(t0) = Asg; здесь u(t0) {u1(t0),..., un(t0)}, g {g1,..., gn}, As матрица интегрального оператора s (13) в ортонормированной системе функций из L2[0, l]:

1, x [(i - 1)x, ix] ei =, i = 0,..., n, x = l/n.

/ x 0, x [(i - 1)x, ix] Пусть теперь наоборот g(·) известна, а h(·) – нет. Обозначим l Ii(x) = sin( ix) sin( iy)g(y)dy, x [0, L], тогда зависимость температуры стержня в точке x0 от времени T u(x, t) = Ii(x)(2/l) exp(-a2i(t - ))h()d, x [0, L], t [0, T ].

i=Если в системе присутствует единственный источник тепла, расположенный в точке y0, то Ii(x) = sin( ix) sin( iy0) и T u(x, t) = (2/l) sin( ix) sin( iy0) exp(-a2i(t - ))h()d th(·), i=0 x L, 0 t T. (14) Пусть требуется определить средние значения hj, j = 1,..., m, функции h(t) за промежутки времени [0; T/m], [T/m; 2T/m],..., [(m-1)T/m; T ]. Для получения такой оценки будем измерять в точке x0 среднюю температуру стержня на этих временных интервалах. В данном случае в системе присутствует единственный измерительный элемент, показания которого – средние значения 1, 2,..., m температуры стержня на интервалах времени [0; T/m], [T/m; 2T/m],..., [(m - 1)T/m; T ], соответственно.

Модель измерений есть j = uj(x0)+j, j = 1,..., m, где uj(x0) – истинные средние значения температуры стержня в точке x0, {1,..., m} шум измерения. В свою очередь, u(x0) = Ath; здесь u(x0) {u1(x0),..., um(x0)}, h {h1,..., hm}, At матрица интегрального оператора t (14) в ортонормированной системе функций из L2[0, l]:

1, t [(j - 1)t, jt] cj(t) =, j = 0,..., m, t = T/n.

/ t 0, t [(j - 1)t, jt] В рамках интервальной модели в этой главе диссертации получены зависимости погрешностей измерений на ИВП от параметров датчика – места измерения (в случае оценивания временн распределения) и от времени измерения (в случае оценивания ого пространственного распределения). Эти зависимости для случая краевой задачи первого рода и интервальной модели (10) приведены на рис. 3, а и б, соответственно. На рисунках x0 – координата положения датчика, t0 – время измерения.

Характер этих зависимостей совпадает с таковым для стохастической редукции:

погрешность тем меньше, чем больше величина сигнала.

Рис. 3.

В этой главе показано, что методы классической теории решения некорректных задач, разработанной А.Н.Тихоновым [Тихонов, 1974]13, [Dorofeev, 2002]14 не могут быть использованы для решения задач оптимального синтеза ИВП по той причине, что не обеспечивают при прочих равных условиях максимальной гарантированной точности измерений на ИВП. Этот факт иллюстрируется на примере задачи покомпонентного оценивания сигнала в рамках интервальной модели редукции. Априорные погрешности, полученные классическими методами и методами интервальной редукции, приведены на рис. 4 в виде соответствующих коридоров. Штриховыми линиями на этом рисунке показаны верхняя и нижняя границы априорного коридора для z.

Пунктирной линией показано точное решение; знаками “о” отмечены границы коридора, найденного методами классической теории некорректных задач; знаки “*” указыА.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1974. – 224 с.

K.Y. Dorofeev, N.N. Nikolaeva, V.N. Titarenko, A.G. Yagola. New approaches to error estimation to ill-posed problems with applications to inverse problems of heat conductivity. // Inverse and Ill-posed Problems. – 2002. – Volume 10, No. 2. – pp. 107–212.

вают границы коридора, полученного методами интервальной редукции для случая возможной погрешности. Как видно из рисунка, его ширина оказываются меньше, чем ширина коридора, найденного методами классической теории некорректных задач.

Рис. 4.

Четвертая глава посвящена сравнительному анализу результатов вычислительного эксперимента по оптимальному синтезу ИВП на основе датчика первого порядка при одном фиксированном параметре для интервальной, стохастической и теоретиковозможностной моделей.

Здесь приведены (см. рис. 5) зависимости минимальных при фиксированном параметре значений погрешности от и множества оптимальных значений параметра для каждой модели. На рис. 5 пары зависимостей (а) и (б) соответствуют интервальной модели (а – погрешность вычисляется как lj, б – как min lj), (в) стохаj j стической, а (г) – теоретико-возможностной моделям (в последнем случае в качестве меры качества оценивания выступала необходимость ошибки); вертикальными линиями отмечена окрестность нуля (на оси ), исключенная из рассмотрения. В левом столбце сплошными линиями показаны зависимости погрешности минимальных по значений погрешности от, а в правом – зависимости соответствующих значений, на которых эти минимумы достигаются, от.

Как показали расчеты, можно подобрать такое множество D значений и, что в случае каждой модели соответствующие им значения погрешности будут либо совпадать с теми, которые получаются при оптимальных значениях параметров и, либо будут близки к ним.

В качестве D было выбрано множество оптимальных значений параметров и для одной из интервальных моделей (рис. 5 б); как показали вычисления, оно меньше всех остальных зависит от реализации шума. Множество D изображено на всех расположенных справа графиках штриховой линией. Соответствующие значениям, D величины погрешностей приведены на левых рисунках штриховыми линиями.

Заметим, что даже противоположные оптимальным значения из D в случае (г) соответствуют практически тем же величинам погрешности. Как видно из графиков (а) и (в), для остальных моделей отличия еще меньше. Таким образом, множество D может быть использовано для оптимального синтеза ИВП на основе датчика первого порядка при фиксированном значении параметра в рамках каждой из рассмотренных моделей.

В Заключении приводятся основные результаты, полученные в диссертации:

1. разработаны численно-аналитические методы оценивания гарантированной точности измерений на ИВП для интервальной модели;

2. с помощью этих методов решены задачи редукции измерений и оптимального синтеза ИВП на основе датчиков первого и второго порядков общего назначения, а также датчика с распределенными параметрами для измерения временн ого и пространственного распределений плотности тепловых источников, в рамках интервальной модели;

3. проведено сравнение предельного качества ИВП на основе датчика первого порядка при одном фиксированном параметре для интервальной, стохастической и теоретико-возможностной моделей;

4. разработан комплекс алгоритмов и программ для решения задач оптимального синтеза ИВП на основе параметрических датчиков;

5. на примере одной задачи для уравнения теплопроводности проведено сравнение интервальной редукции с методами классической теории некорректных задач;

показано, что методы классической теории не оптимальны в задачах синтеза ИВС.

Список работ автора по теме диссертации 1. Волков Б.И., Новицкий Д.М. Анализ погрешностей измерений температуры, обусловленных неточностью модели измерительно-вычислительного преобразователя. // Измерительная техника. – 2004. – № 3. – с. 24–27.

2. Новицкий Д.М., Пытьев Ю.П., Волков Б.И. Об измерительно-вычислительных системах на основе датчиков первого и второго порядков. // Математическое моделирование. – 2006. – т.18, №6. – с. 15-28.

3. Волков Б.И., Новицкий Д.М. Измерительно-вычислительные преобразователи в задачах тепловых измерений. // 8-ая Всероссийская научно-техническая конференция "Состояние и проблемы измерений". Тез. докл. – М.: 2002. – с. 113-114.

4. Волков Б.И., Новицкий Д.М. Математические модели измерительновычислительных преобразователей для измерения температуры. // 7-е Всероссийское Совещание-семинар "Инженерно-физические проблемы новой техники". Тез. докл. – М.: 2003. – с. 106-107.

2 1.5 0.1 0 а 0.5 -0 --20 0 20 -20 0 0.04 0.0.03 0.02 0 б 0.01 -0 --20 0 20 -20 0 0.95 0.9 0.85 0 в 0.8 -0.75 --20 0 20 -20 0 0.09 PSfrag replacements 0.0.08 0.07 0 г 0.06 -0.05 --20 0 20 -20 0 Рис. 5.

Pages:     | 1 | 2 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»