WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Практическая ценность полученных в диссертации теоретических результатов заключается в том, что они предоставляют исследователю основу инструментария для оптимального синтеза ИВП на базе датчиков первого и второго порядков. Приведенные в диссертации результаты позволяют сформулировать единые для интервальной, стохастической и теоретико-возможностной моделей рекомендации по оптимальному синтезу ИВП на основе этих датчиков, под которым в данном случае понимается выбор таких значений параметров датчиков, которые обеспечивают наивысшую точность ИВП как средства измерений.

Датчики первого порядка с сосредоточенными параметрами широко используются для измерения угла поворота, влажности газов, скорости потока, температуры, давления, к ним относятся некоторые виды расходомеров.

Научная обоснованность и достоверность.

Достоверность полученных теоретических результатов обоснована корректным применением использованных математических методов.

Достоверность прикладных результатов обеспечивается возможностью проверки адекватности использованных математических моделей данным “измерений” (полученным посредством моделирования реального эксперимента) в том смысле, что эти данные не противоречат модели и допускают оценивание входного сигнала с ее помощью. Методы проверки адекватности моделей даны в теории ИВС [Пытьев, 2004].

Основные положения, выносимые на защиту.

1. методы численно-аналитического оценивания гарантированной точности измерений на ИВП для интервальной модели в случае обратимой матрицы оператора прибора;

2. прикладные методы оптимального синтеза ИВП на основе датчиков первого и второго порядков общего назначения, а также для оптимального синтеза ИВП на основе датчика температуры с распределенными параметрами для измерения временного и пространственного распределений плотности тепловых источников;

3. метод сравнительного анализа предельного качества ИВП на основе датчика первого порядка для интервальной, стохастической и теоретико-возможностной моделей;

4. комплекс алгоритмов и программ для решения задач оптимального синтеза ИВП на основе параметрических датчиков;

Апробация работы.

Отдельные законченные этапы работы докладывались на 8-й Всероссийской конференции “Состояние и проблемы измерений” (Москва, 26 – 28 ноября 2002 г.) и на 7-м Всероссийском Совещании-семинаре “Инженерно-физические проблемы новой техники” (Москва, 20 – 22 мая 2003 г.).

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Содержание работы Во введении сформулированы объект и предмет исследования, показана актуальность темы, определены цели и задачи диссертационной работы; приведена общая постановка задачи редукции измерений, сформулированы стохастическая, интервальная и теоретико-возможностная модели измерений; рассмотрены модели датчиков первого и второго порядков, приведены примеры их использования в практике измерений.

Общая постановка задачи редукции измерений. Рассмотрим следующую схему измерения:

= Af +, (1) где R – искаженный шумом R выходной сигнал ИП, рассматриваемый как отклик на входной сигнал f R, полученный в процессе взаимодействия ИП с изме ряемым объектом и средой, A : R R – линейный оператор, моделирующий ИП, R и R – евклидовы пространства. Задача интерпретации измерения (1) заключается в извлечении из результата измерения наиболее полной информации о параметрах исследуемого объекта, невозмущенного измерением. Эти параметры определяются как выходной сигнал Uf(·) прибора U, причем в данном случае U : R U – линейный ограниченный оператор, моделирующий “идеальный” измерительный прибор, который взаимодействует с измеряемым объектом и средой так же, как и A, но на выходе дает параметры исследуемого объекта, не возмущенного измерением. Речь идет о преобразовании (редукции) R результата измерения к виду, свойственному измерению на приборе U, т.е. к виду Uf.

Стохастическая модель в задаче редукции. Если в (1) заданы оператор A, определяющий математическую модель измерительного преобразователя, взаимодействующего с измеряемым объектом и средой, корреляционный оператор случайного вектора, моделирующего шум измерения, и оператор U, определяющий модель “идеального” измерительного прибора, то говорят, что заданы модель [A, ] схемы измерения (1) и модель [A,, U] интерпретации измерения (1).

Задача редукции для модели [A,, U] формулируется как задача на минимум максимальной среднеквадратичной (с.к.) ошибки интерпретации R как Uf:

h(R, U) = sup E R - Uf min. (2) U R fR Здесь min вычисляется на множестве всех линейных операторов R : R U; если R – решение задачи (2), то значение h(R, U) с.к. погрешности интерпретации R как Uf определит качество ИВП как “идеального” измерительного прибора U, его с.к.

погрешность. Если кроме операторов A, U, и условия E = 0 относительно схемы измерения (1) известно, что f – случайный вектор c заданным математическим ожиданием Ef = 0 и корреляционным оператором F, причем f и независимы, говорят, что задана модель [A, F, ] схемы измерения (1). Для этой модели в монографии [Пытьев, 2004] рассмотрена задача редукции схемы измерения (1) к виду = Uf + V, где V – заданный оператор, которая в этом случае ставится как следующая задача на минимум:

h(R, U, V ) = min E R -.

R Ее решение R будет наиболее точной в среднем квадратичном версией в классе всех линейных функций.

Интервальная модель в задаче редукции. Задача интервальной редукции ставится как задача интервального оценивания вектора Uf в соответствии с моделью [A, If, I, U] схемы измерений (1). Эта модель подразумевает наличие априорной информации вида f If Rm, I Rn, где If = {f Rm, fj fj fj, j = 1,..., m}, I = { Rn, i i i, i = 1,..., n}, которая накладывает ограничения на возможные положения интервалов Ij, содержащих fj, и их размеры. Пусть c = (c1,..., cm)T – центры, а l = (l1,..., lm)T – полудлины этих интервалов (т.е.

Ij {cj, lj}, j = 1,..., m), тогда эти ограничения запишутся как (c, l) D(A, If, I|), где D(A, If, I|) – подмножество R2m, зависящее от A, If, I и :

D(A, If, I|) = m m m m {c, l : i - i aijcj - |aij|lj aijcj + |aij|lj i - i;

j=1 j=1 j=1 j=fj cj - lj cj + lj fj, 0 lj <, i = 1,..., n, j = 1,..., m}. (3) Здесь aij – элементы матрицы A. Если в задаче интервального оценивания вектора f Rm требуется определить интервалы I1,..., Im, удовлетворяющие условиям (3) и имеющие максимальные длины, то такие интервалы определят неизбежную погрешность [Пытьев, 2006]10 оценивания, основанного на данных измерений 1,..., n. В этом случае задача интервальной редукции сводится к следующей:

q(l) = max q(l), j = 1,..., m, (4) (c,l)D(A,If,I|) Мера погрешности q(l) выбирается исследователем исходя из нужд конкретной задачи. Например, для оценивания k-й координаты вектора f q(l) = lk, а для оцениm вания f “в целом” можно взять q(l) = lj. Для линейных функций q(·) (4) сводится j=к задаче линейного программирования.

Обозначим M(A, If, I|) = {f Rm, fj fj fj, j = 1,..., m, i - i m aijfj i - i, i = 1,..., n}.

j=Задача оптимального выбора f как задача интервального оценивания каждой его компоненты с гарантированной точностью и определения возможной погрешности Пытьев Ю.П. Возможность как альтернатива вероятности. Математические и эмпирические основы, применения. – М.: Физматлит, 2006.

[Пытьев, 2006] ставится как m задач на минимум lj min, j = 1,..., m, при условии M(A, If, I|) [c1 - l1, c1 + l1]... [cm - lm, cm + lm], определяющем минимальный по включению прямоугольный параллелепипед, содержащий M(A, If, I|). Каждое решение cj(x), lj(x) определит интервальную оценку Ij(x) {cj(x), lj(x)} координаты fj, отвечающую результату измерения, центр cj(x) интервала Ij(x) оценит fj c возможной погрешностью lj(x), |fj - cj(x)| lj(x), j = 1,..., m.

Если не оговорено специально, далее везде под погрешностью для интервальной модели подразумевается неизбежная погрешность.

Теоретико-возможностная модель в задаче редукции. [Пытьев, 2000]11 Пусть модель эксперимента задана совместным распределением возможностей значений следующих нечетких элементов: выходного сигнала измерительной компоненты ИВС, ее входного сигнала, сформированного в системе в процессе измерения в результате взаимодействия измеряемого объекта, среды и измерительной компоненты, и параметра исследуемого объекта µ,,(x, f, y), (x, f, y) R F U.

Значение µ,,(x, f, y) равно возможности равенств = x, = f, = y. Маргинальное распределение µ,(x, u) = sup µ,,(x, f, u), (x, u) R U, fF определяет модель интерпретации измерения, позволяющую, в частности, получить оценку значения параметра = u, основанную на результате измерения = x.

Задачу интерпретации измерения можно понимать как задачу оптимального оценивания значения параметра исследуемого объекта, минимизирующего, например, возможность ошибки оценивания P (d(·)) = sup min(µ,(x, u), l(u, d(x))) min.

d(·): RU uU Здесь функция d(·): R U определяет правило оценивания, согласно которому результату измерения = x ставится в соответствие значение = u = d(x) параметра исследуемого объекта; l(x, y) – возможность потерь, сопутствующих решению y Y в ситуации, определенной значением x X.

В первой главе для стохастической модели измерений проводится сравнение качества ИВС на основе контактного измерителя температуры для различных приближенных моделей контактного измерителя. Критерием качества является апостериорная погрешность измерений на ИВС.

Контактный измеритель температуры представляет собой следующее устройство [Азизов, 1967]12. Пусть к однородному полупространству x > l, температуру поверхности которого требуется измерить, присоединен слой 0 < x < l теплопроводящего материала с коэффициентом температуропроводности a2, причем при x = 0 поддерживается нулевая температура. Контактный обмен тепла (нагрев) в точке происходит Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применения. – М.: УРСС, 2000. – 190 с.

Азизов А.М., Гордов А.Н. Точность измерительных преобразователей. – Л.: Энергия, 1967. – с.

по закону Ньютона -q(t) = [f(t) - u(l, t)], где q(t) поток тепла через поверхность x = l, коэффициент теплообмена, f(t) температура поверхности, которую требуется измерить, u(l, t) граничная температура слоя. Предполагается, что мы можем измерить (зафиксировать с ошибкой) либо температуру в некоторой точке слоя, либо среднюю температуру в слое.

В диссертации сравниваются между собой две приближенные модели контактного измерителя температуры, основанные на модели датчика первого порядка с сосредоточенными параметрами. Использование этих приближенных моделей позволяет уменьшить вычислительную сложность задачи редукции. Обозначим оператор модели датчика первого порядка, зависящий от параметров и, как A(, ), а модели контактного измерителя температуры – как Ac. Как известно, температура в точке x слоя в момент времени t определяется следующим выражением:

t -u(x, t) = + sin nx 2 2(n + 2) n=a2n e-a n(t-)f()d Acf, (5) n n + где n n-ый корень уравнения tg = -.

Вместо оператора Ac при решении задач редукции для ИВС на основе контактного измерителя предлагается использовать оператор A(, ), параметры которого выбираются двумя способами.

Параметры для первой приближенной модели определяются соотношением, min Ac - A(, ), (6), а второй – из выражения для первого члена ряда (5):

= 1, = a21. (7) Для этих моделей проведено сравнение (“фактических”) погрешностей измерений на соответствующих ИВС. На рис. 1 приведены зависимости “фактической” погрешности редукции для ИВС на основе контактного измерителя в случае приближенной модели (7) (рисунок а) и (6) (рисунок б) от положения датчика. На рисунках цифрой 1 обозначены кривые для случая протяженного датчика, цифрой 2 – для случая датчика пренебрежимо малых размеров. Как видно из графиков, “фактическая” (апостериорная) погрешность в случае модели (7) больше, чем в случае модели (6).

Таким образом, распространенный прием, состоящий в отбрасывании всех членов ряда, кроме первого, в данном случае не приводит к лучшей с точки зрения точности измерений на ИВС модели. Вместе с тем, учитывая вычислительную простоту модели (7), в работе для нее указан способ нахождения оптимальных параметров датчика, минимизирующих погрешность измерений на ИВС в рамках данной модели.

Кроме того, вычисления показали (см. рис. 1), что в случае модели (6) погрешности измерений для протяженного и точечного датчиков практически одинаковы.

Поэтому в данном случае, если известна модель усреднения, нет смысла стремиться he he x x Рис. 1.

к максимальному уменьшению размеров датчика.

Во второй главе рассматриваются задачи оптимального синтеза ИВП на основе датчиков первого и второго порядка для интервальных моделей [Пытьев, 2004]. Для стохастической модели измерений такие задачи решены в [Волков, 2000], [Пытьев, 2004].

Рассмотрим задачи “покоординатного” оценивания входного сигнала f и оценивания его “в целом” для интервальной модели.

Задаче “покоординатного” оценивания соответствует мера погрешности q(l) = lj, поэтому (4) запишется как lj = max lj, j = 1,..., m, (8) (c,l)D(A,If,I|) где множество D(A, If, I|) определено неравенствами (3). Решения c(), lj () этой j задачи определят интервалы Ij () {c(), lj ()}, j = 1,..., m, являющиеся интерj вальными оценками координат fj Ij (), j = 1,..., m, вектора f. При этом оптималь ной оценкой координаты fj является центр c() интервала Ij (), а его полудлина lj () j оценивает максимальную погрешность, |fj - c()| lj (), и тем самым определяет j гарантированную точность интерпретации c() как значения fj, j = 1,..., m.

j Задача “покоординатного” оценивания (8), (3) является, как уже отмечалось, задачей линейного программирования. Существует ряд численных методов для решения таких задач. В рассмотренных публикациях не удалось обнаружить каких-либо методов аналитического решения задач вида (4), (3) в частном случае обратимой матрицы оператора прибора A и отсутствия ограничений на f (модель [A, I]).

В диссертации для этого случая получен следующий результат, позволяющий решать задачи “покоординатного” оценивания аналитически:

Т е о р е м а 2. Пусть в модели [A, I] A– невырожденная m m-матрица. Тогда m ck() = a-(i - (i + i)/2), k = 1,..., m, ki i= и погрешность q(l) = lk редукции для модели [A, I] есть 1 i - i lk = min, (9) i=1,...,m 2 |aik| где aik, a-, i, k = 1,..., m, – элементы матрицы A и A-1 соответственно.

ik Задача оценивания f “в целом” для случая, когда в качестве меры погрешности выбирается величина q(l) = min lj, имеет следующий вид:

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»