WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Все результаты асимптотического анализа подтверждаются численными экспериментами. Обсуждаются причины отличия результатов данной работы от результатов работ [3, 7, 8].

В разделе 2.4 описывается численный метод для расчета течений в конусах, который во многом аналогичен методу для течений в секторах.

Отличие метода заключается в базисе и точках коллокации для спектральной дискретизации, которые адаптируются для краевых условий задачи о течениях в конусах из критерия оптимальности, предложенного в работе [13].

В разделе 2.5 расчитываются стационарные течения в конусах с источником или стоком в его вершине. Численные эксперименты указывают на то, что задача о течениях с источником плохо поставлена: в ней возникают неблагоприятные градиенты давления, которые дестабилизируют стационарное течение. Течения со стоком удается рассчитать для любых значений угла раствора (заметим, что число Рейнольдса для стационарных течений в конусе не определяется). Результаты расчетов полностью согласуются с результатами асимптотического анализа решений вдали от угла, проведенного в [10] и в данной работе, а также с результатами асимптотического анализа решений вблизи угла, полученными в [9].

Предложенный численный метод исследуется на основе задачи о стационарных течениях в конусе. В частности показывается, что погранслой, всегда возникающий вблизи вершины конуса, адекватно описывается спектральной дискретизацией и имеет место сходимость численного решения с первым порядком вблизи погранслоя. На умеренном расстоянии от вершины сходимость численного решения экспоненциальная по количеству базисных функций спектрального метода и квадратичная по шагу сетки конечно-разностного метода. Это подтверждает эффективность предложенного метода.

В разделе 2.6 рассчитываются автомодельные течения в конусах с ненулевым расходом жидкости Q. В случае источника (Q > 0) не удается рассчитать течение во всем конусе. Удается лишь рассчитать течения в конусах с отсеченной вершиной. На основе рассчитанных течений в кону(а) линии тока (б) линии тока Рис. 3: Автомодельное течение при Re = 0.1 и = сах с отсеченной вершиной делается предположение, что реальные течения с источником не автомодельны, возможно даже турбулентны вблизи вершины.

Автомодельные течения в конусах со стоком удается рассчитать при произвольных значениях Re и. В течениях четко видны начальный режим, квазистационарный режим с преобладающими нелинейными силами инерции и, в случае небольших Re, квазистационарный режим с преобладающими линейными силами вязкости. Это находится в полном соответствии с выводами, сделанными на основе анализа порядка членов уравнений. Особенно интересны течения с > /2 (то есть, в области шире полупространства). Там промежуточный квазистационарный режим с преобладающими силами вязкости имеет зоны противотока. По аналогии со случаем течений в секторе, в конусе возникают вихри в переходной зоне между начальным и конечным режимами течения (см. рис. 3).

В разделе 2.7 рассчитываются автомодельные течения с нулевым расходом жидкости. Результаты расчетов этих течений во многом аналогичны результатам расчетов соответствующих течений в секторах: вблизи вершины при малых и умеренных углах раствора возникают квазистационарные вихри типа вихрей Моффатта.

Сравнение параметров вихрей в последовательности вихрей Моффата, наблюдающихся в численных расчетах, с их теоретическими значениями приведено в таблице 1. Следует отметить, что вихри в расчетах квазистационарны: они развиваются во времени, но в каждый момент времени асимптотически (то есть при t ) удовлетворяют стационарным Таблица 1: Отношение размеров и интенсивностей последовательных вихрей теоретич. отношение вычисленное отношение размеров интенсивностей размеров интенсивностей 30 3.32632 53849.9 3.33015 54284.45 7.40679 266990 7.41364 60 26.3870 7.59639 · 106 26.416 7.63238 · 75 1327.87 3.51892 · 1012 1333.15 3.57354 · уравнениям движения. Расчеты проведены с шагом сетки по оси = ln r равным h = 0.01 и всего с N = 3 базисными полиномами в спектральной дискретизации. Хорошее совпадение рассчитанных параметров вихрей с их теоретическими значениями говорит о высокой точности метода. А тот факт, что для достижения такой точности расчета достаточно всего лишь трех базисных функций, говорит о высокой экономичности метода. Заметим также, что предложенный в работе метод достаточно точно передает характеристики вихрей, даже при = 75, когда отношение размеров последовательных вихрей порядка 1300, а отношение их интенсивностей порядка 3.5 · 1012.

В заключении работы сформулированы следующие основные результаты диссертации.

1. Предложен эффективный численный метод для расчета автомодельных и стационарных вязких несжимаемых течений в секторах и конусах.

2. Впервые проведен асимптотический анализ решений вдали от вершины конуса стационарных уравнений Навье-Стокса.

3. Проведены численные расчеты стационарных течений в конусах, полностью согласующиеся с результатами асимптотического анализа.

4. Рассчитаны автомодельные течения в секторах и конусах со стоком, источником и нулевым расходом жидкости.

5. В результате проведенных расчетов показано, каким образом устанавливаются соответствующие стационарные режимы течений в секторах и конусах.

6. Обнаружено, что автомодельные течения в секторах неустойчивы при тех же значениях параметров (, Re), при которых неустойчивы и стационарные течения Джеффри-Гамеля.

7. Обнаружены новые эффекты, в частности, образование вихрей при установлении течений в секторах и конусах с зонами противотока.

8. Точность предложенного в работе численного метода тщательно изучена на основе численных экспериментов.

9. Установлено, что предложенный в работе метод позволяет адекватно расчитывать течения с погранслоем вблизи вершины конуса и имеет высокую точность при умеренных и больш расстояниях от их его вершины.

Список литературы [1] Jeffery G. B. The two-dimensional steady motion of a viscous fluid // Phil. Mag. 1915. Vol. 29. Pp. 455–465.

[2] Hamel G. Spiralformige bewegungen zaher flussigkeiten // Jahresbericht Deutch. Math. Verein. 1917. Vol. 25. Pp. 34–60.

[12] Akulenko L. D., Georgievskii D. V., Kumakshev S. A., Nesterov S. V.

New solutions and hydrodynamical effects in the Jeffery-Hamel problem // Russ. J. Math. Phys. 2005. Vol. 12, no. 3. Pp. 269–287.

[11] Rivkind L., Solonnikov V. Jeffery-Hamel asymptotics for steady state Navier-Stokes flow in domains with sector-like outlets to infinity // J.

Math. Fluid Mech. 2000. Vol. 2, no. 4. Pp. 324–352.

[10] Керчман В. И. Бифуркация многомодовых течений вязкой жидкости в плоском диффузоре // Изв. АН СССР МЖГ. 1972. № 2.

С. 41–47.

[3] Bond W. N. Viscous flow through wide angle cones // Phil. Mag.

1925. Vol. 50. Pp. 1058–1066.

[4] Rosenhead L. The steady two-dimensional radial flow of viscous fluid between two inclined plane walls // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1940. Vol.

175, no. 963. Pp. 436–467. http://www.jstor.org/stable/97501.

[5] Fraenkel L. E. Laminar flow in symmetrical channels with slightly curved walls. i. on the Jeffery-Hamel solutions for flow between plane walls // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1962. Vol. 267, no. 1328. Pp. 119–138.

[6] Moffatt H. K. Viscous and resistive eddies near a sharp corner // J. Fluid Mech. 1964. Vol. 18. Pp. 1–18.

[7] Ackerberg R. The viscous incompressible flow inside a cone // J. Fluid Mech. 1965. Vol. 21, no. 1. Pp. 47–81.

[8] Goldstein S. On backward boundary layers and flow in converging passages // J. Fluid Mech. 1965. Vol. 21, no. 1. Pp. 33–45.

[9] Brown S. N., Stewartson K. On similarity solutions of the boundarylayer equations with algebraic decay // J. Fluid Mech. 1965. Vol. 23, no. 4. Pp. 673–687.

[13] Malek A., Phillips T. N. Pseudospectral collocation methods for fourthorder differential equations // IMA J. Numer. Anal. 1995. Vol. 15, no. 4. Pp. 523–553.

Публикации автора по теме диссертации 1. Шапеев А. В. Нестационарное автомодельное течение вязкой несжимаемой жидкости в плоском диффузоре // Изв. РАН МЖГ. 2004.

№ 1. С. 41–46.

2. Шапеев А. В. Исследование смешанной спектрально-разностной аппроксимации на примере задачи о вязком течении в диффузоре // Сибирский журнал вычислительной математики. 2005. Т. 8, № 2. С. 149–162.

3. Shapeev A. V. Application of combined spectral and finite difference method to unsteady viscous fluid flow in conical domains // Abstracts of the 3rd East Asia SIAM Conference / Xiamen, China. 2007.

November.

4. Shapeev A. V. Application of combined spectral and finite difference method to unsteady viscous fluid flow in conical domains // The 3rd Mathematic and Physical Science Graduate Conference / Kuala Lumpur, Malaysia. 2007. December. Pp. P1MS–2.

5. Шапеев А. В. Стационарные осесимметричные течения вязкой жидкости в конусе // Тезисы докладов третей всероссийской конференции с участием зарубежных ученых “Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения”. г. Бийск: 2008. июньиюль.

6. Shapeev A. V., Lin P. An asymptotic fitting finite element method with exponential mesh refinement for accurate computation of corner eddies in viscous flows // SIAM J. Sci. Comput. 2009. Vol. 31, no. 3.

Pp. 1874–1900.

7. Шапеев А. В. Вязкие несжимаемые осесимметричные течения в конусах. Новосибирск, 2009. Препринт / Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН; №2-09.

Подписано в печать..2009 г.

Формат Уч.-изд. л. Заказ № Тираж 100 экз.

Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, Подписано в печать 15.04.2009 г.

Формат Уч.-изд. л. Заказ № Тираж 100 экз.

Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, Подписано в печать 16.04.2009 г.

Формат Уч.-изд. л. Заказ № Тираж 100 экз.

Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, Подписано в печать..2009. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная № 1.

Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,9. Тираж 100 экз. Бесплатно. Заказ №.

Лицензия ПЛД № 57-19 от 16 декабря 1996 г.

Отпечатано на полиграфическом участке Ин-та гидродинамики им. М. А. Лаврентьева.

630090 Новосибирск, просп. акад. Лаврентьева, 15.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»