WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Поскольку число кривых ограниченной длины конечно, то за счет перебора всех таких кривых можно считать, что одну граничную кривую искомой поверхности (т. е. одну кривую искомого плоского наклона) мы уже знаем. Оказывается, что за счет использования специальных триангуляций этот процесс можно продолжать: найти вторую кривую наклона, третью, и т. д. Поскольку число кривых наклона ограничено константой, зависящей только от данного многообразия, то нужный наклон будет найден (если он существует).

Лемма 2.2. Пусть наклон на крае неприводимого гранично неприводимого компактного ориентируемого трехмерного многообразия (M, ) имеет тип III. Тогда существует и может быть алгоритмически построен такой конечный (возможно пустой) набор S() наклонов на крае (M, ), что выполнены следующие условия:

1. Любой наклон из S() состоит из всех кривых наклона и еще одной кривой на (M, ).

2. Если (M, ) содержит такую существенную плоскую поверхность F, что F не пересекает кривых наклона, то (M, ) содержит такую существенную плоскую поверхность F, что F не пересекает кривых хотя бы одного наклона из S().

Алгоритм нахождения существенной плоской поверхности приведен в следующей теореме параграфа 2.4, которая представляет собой первый основной результат диссертации.

Теорема 2.4. Существует алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное неприводимое трехмерное многообразие (M, ) существенную плоскую поверхность. В случае положительного ответа алгоритм строит плоскую существенную в (M, ) поверхность.

Глава 3 посвящена алгоритмическому нахождению граничных наклонов ограниченного рода в данных трехмерных многообразиях.

В параграфе 3.1 строится алгоритм выясняющий, содержит ли данное многообразие граничный наклон, ориентируемый род которого не превосходит данного числа N. Под ориентируемым родом наклона здесь понимается минимальный род ориентируемой поверхности, край которой имеет данный наклон, если такие поверхности есть, и, в противном случае.

Следующая теорема представляет собой второй основной результат диссертации.

Теорема 3.2. Существует алгоритм, который по данному компактному ориентируемому неприводимому гранично неприводимому трехмерному многообразию M и данному числу N выясняет, содержит ли M существенную ориентируемую поверхность, род которой не превосходит N. В случае положительного ответа алгоритм строит такую существенную ориентируемую поверхность F, что g(F ) N.

Задача алгоритмического нахождения граничных наклонов ограниченного рода (ориентируемость отвечающих им поверхностей не предполагается) рассмотрена в параграфе 3.2. Следует заметить, что все выше построенные алгоритмы опираются на известный факт: свойство ориентируемой поверхности быть существенной проверяется алгоритмически. Так как вопрос об алгоритмической проверяемости существенности (точнее, несжимаемости) неориентируемой поверхности остается открытым, то алгоритма нахождения существенных неориентируемых поверхностей пока не построено. Однако, несколько сузив класс искомых поверхностей, а именно, ограничившись рассмотрением только инъективных существенных поверхностей, удалось доказать следующую теорему (третий основной результат диссертации).

Теорема 3.6. Существует алгоритм, выясняющий для данного целого числа N, содержит ли данное ориентируемое компактное неприводимое гранично неприводимое трехмерное многообразие M такую связную инъективную существенную поверхность F, что g(F ) N. В случае положительного ответа алгоритм строит такую поверхность.

Список литературы [1] Матвеев, С. В. Алгоритмическая топология и классификация трехмерных многообразий. М.: МЦНМО. 2007.

[2] Матвеев, С. В., Фоменко, А. Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. М.: Наука.

1998.

[3] Шуберт, Х. Алгоритм для разложения зацеплений на простые слагаемые. Математика: сборник переводов. 1966.

Т. 10. № 4. С. 45–78.

[4] Agol, I. Bounds on exceptional Dehn filling. Geometry and Topology. 2000. V. 4. P. 431–449.

[5] Goda, H., Teragaito, M. On hyperbolic 3-manifolds realizing the maximal distance between toroidal Dehn fillings. Algebraic and Geometric Topology. 2005. V. 5. P. 463–507.

[6] Haken, W. Theorie der Normalflchen. Ein Isotopiekriterium fr der Kreisknoten. Acta. Math. 1961. V. 105. P. 245–375.

[7] Jaco, W., Letscher, D., Rubinstein, J. H. Algorithm for essential surfaces in 3-manifolds. Contemporary Mathematics.

2002. V. 314. P. 107–124.

[8] Jaco, W., Rubinstein, J. H., Sedgwick, E. Finding planar surfaces in knot- and link-manifolds. arXiv:math.GT/0608700.

[9] Jaco, W., Sedgwick, E. Decision problems in the space of Dehn fillings. Topology. 2003. V 42. P. 845–906.

[10] Mattman, T. Boundary slopes (nearly) bound cyclic slopes.

Algebraic & Geometric Topology. V. 5 (2005). P. 741–750.

[11] Motegi, K., Song, H. J. All integral slopes can be Seifert fibered slopes for hyperbolic knots. Algebraic and Geometric Topology. 2005. V. 5. P. 369–378.

[12] Thurston, W. P. Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry. Bull. Amer. Math. Soc. 1982.

V. 6. P. 357–381.

Работы автора по теме диссертации [13] Сбродова, Е. А. Алгоритм нахождения плоских поверхностей в трёхмерных многообразиях. Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. № 4. С. 197–202.

[14] Sbrodova, E. An algorithm of finding planar surfaces in threemanifolds. Siberian Electronic Mathematical Reports. 2005.

Т. 2. С. 192–193.

[15] Сбродова, Е. А. Плоские поверхности в трехмерных многообразиях. Сибирские электронные математические известия. 2006. Т. 3. С. 451–463.

[16] Сбродова, Е. А. Собственные существенные поверхности ограниченной характеристики в трехмерных многообразиях. Труды 38-й рег. молодежной школы-конф. Проблемы теоретической и прикладной математики. Екатеринбург:

ИММ УрО РАН. 2007. С. 94–95.

[17] Сбродова, Е. А. Граничные наклоны трехмерных многообразий. Тез. докл. конф. Математика в современном мире, посвященной 50-летию Ин-та математики им. С. Л. Соболева СО РАН. Новосибирск: Ин-т математики им. С. Л. Соболева СО РАН. 2007. С. 94–95.

[18] Сбродова, Е. А. Алгоритмическое нахождение собственных существенных поверхностей в трехмерных многообразиях. Математические заметки. 2007. Т. 82. № 4. С. 593–597.

Подписано в печать 10.04.Формат 60841/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,9. Уч.-изд. л. 1,2.

Тираж 100 экз. Заказ. Бесплатно.

ГОУ ВПО Челябинский государственный университет.

454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129.

Издательско-полиграфический центр ЧелГУ.

454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57б

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»