WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Теорема 2.7. Пусть,,. Спектр оператор-функции при представляет собой дискретное множество изолированных характеристических чисел конечной алгебраической кратности.

В третьей главе рассматривается задача дифракции на отверстии. Осуществляется сведение краевых задач дифракции к интегральному или интегродифференциальному уравнению и исследуется вопрос разрешимости этих уравнений.

Рассмотрим скалярную задачу (1.13) — (1.17) для. Она может быть сведена к интегральному уравнению на

, (3.1)

где

,,, (3.2)

и,, (3.3)

Рассмотрим скалярную задачу (1.18) — (1.22) для. Получаем гиперсингулярное интегродифференциальное уравнение на отверстии :

(3.4)

,,. (3.5)

Пусть  — спектр оператор-функции и  — спектр оператор-функции.

Теорема 3.1. Пусть,,. Уравнение (3.1) однозначно разрешимо при любой правой части при.

Теорема 3.2. Пусть,,. Уравнение (3.4) однозначно разрешимо при любой правой части при.

В случае, когда одна из сред имеет поглощение можно усилить результат предыдущих теорем.

Теорема 3.3. Пусть,, и выполнено дополнительное условие. Тогда уравнение (3.1) однозначно разрешимо при любой правой части при.

Теорема 3.4. Пусть,, и выполнено дополнительное условие. Тогда. уравнение (3.4) однозначно разрешимо при любой правой части при.

Рассмотрим представление решения задачи (1.13) — (1.17) с помощью потенциала

, (3.6)

при, при, где  — решение уравнения (3.1).

,,

где запись означает разность предельных значений функции при и в точках.

Теорема 3.5. Если является решением уравнения (3.1) с правой частью (3.2) — (3.3), то формула (3.6) дает квазиклассическое решение задачи (1.13) — (1.17). Обратно, если  — квазиклассическое решение задачи (1.13) — (1.17), то уравнение (3.1) имеет решение.

Рассмотрим представление решения задачи (1.18) — (1.22) с помощью потенциала

(3.7)

при, при, где  — решение уравнения (3.4).

С учетом знака в формуле (3.7), находим

,,

где запись означает разность предельных значений функции при и в точках.

Теорема 3.6. Если является решением уравнения (3.4) с правой частью (3.5), то формула (3.7) дает квазиклассическое решение задачи (1.18) — (1.22). Обратно, если  — квазиклассическое решение задачи (1.18) — (1.22), то уравнение (3.4) имеет решение.

В четвертой главе описывается численный алгоритм решения интегрального уравнения со слабой особенностью (3.1).

Пусть, и уравнение (3.1) имеет единственное решение, где  — интегральный оператор.

Будем проводить аппроксимации элементами, где  — -мерное пространство. Методом Галеркина находим из системы уравнений

(4.1)

Каждый элемент матрицы получается путем вычисления четырехкратного интеграла:

.

Пусть прямоугольная область,. Построим в области равномерную прямоугольную сетку:

,

с шагом по оси и шагом по оси.

В качестве базисных функций выбираем функции вида:

(4.2)

Будем рассматривать семейство из функций,. Выбранные функции удовлетворяют условию аппроксимации в пространстве.

Теорема 4.1. Метод Галеркина (4.1) для уравнения (3.1) с выбором базисных функций (4.2) сходится.

Был произведен расчет решения интегрального уравнения (3.1) с правой частью и параметрами,,, на квадратном отверстии для сеток размера,,. Результаты представлены в графическом виде. Уменьшение шага сетки приводит к более точному решению. Имеет место внутренняя сходимость метода. Все это позволяет применять выбранный метод Галеркина для получения корректных численных результатов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

  1. Векторная краевая задача для системы уравнений Максвелла о дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие, сведена к двум скалярным задачам для уравнения Гельмгольца.
  2. Доказана теорема единственности для случая, когда одна из сред имеет поглощение.
  3. Устанавлена голоморфность и фредгольмовость оператор-функции задачи и доказана дискретность спектра задачи в случае сред без поглощения.
  4. Краевые задачи дифракции для уравнений Гельмгольца сведены к интегродифференциальным (псевдодифференциальным) уравнениям. Доказаны теоремы о разрешимости этих уравнений в пространствах Соболева. Доказаны теоремы эквивалентности краевых задач интегральным уравнениям.
  5. Применен, обоснован и реализован численный метод Галеркина для решения слабосингулярного интегрального уравнения в прямоугольнике. Представлены результаты численных расчетов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

  1. Родионова И. А. Разработка Web-ориентированного вычислительного комплекса для решения трехмерных векторных задач дифракции электромагнитных волн на основе субиерархических параллельных алгоритмов./ А.В. Антонов, М.Ю. Медведик, И.А. Родионова, Ю.Г. Смирнов // Материалы седьмой международной конференции-семинара «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах». Издательство Нижегородского университета, Нижний Новгород, 2007. - с. 25-31.
  2. Родионова И.А. Субиерархический параллельный вычислительный метод для электромагнитной задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие. / М.Ю. Медведик, И.А. Родионова // Труды международного симпозиума «Надежность и качество». Том 1 - 2006. - с. 272-274.
  3. Родионова И.А. Численный метод решения псевдодифференциального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие. / М.Ю. Медведик, И.А. Родионова, Ю.Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №1 - 2009. – с. 70-80.
  4. Родионова И.А. Метод Галеркина для электромагнитной задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие. // Труды международного симпозиума «Надежность и качество». Том 1 - 2006. - с. 279-280.
  5. Родионова И.А. О фредгольмовости электромагнитной задачи о собственных колебаниях в экранированных слоях, связанных через отверстие в экране. // Труды XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (9-21 апреля 2006 г.), Москва - 2006.
  6. Родионова И.А. Проблемы вычисления двумерных интегралов, содержащих слабую особенность. // Университетское образование: сборник статей X Международной научно-методической конференции, Пенза - 2006. - с. 418-420.
  7. Родионова И.А. Фредгольмовость электромагнитной задачи о собственных колебаниях в экранированных слоях, связанных через отверстие в экране. // Труды международного симпозиума «Надежность и качество», - 2005 - с. 150-152.
  8. Родионова И.А. О собственных волнах двухслойного волновода с отверстием. / И.А. Родионова, Ю.Г. Смирнов // Труды международного юбилейного симпозиума (АПНО 2003), Пенза, 19-22 ноября, Т.1- 2003.
  9. Родионова И.А. О фредгольмовости электромагнитной задачи о собственных колебаниях в слоях, связанных через отверстие. / И.А. Родионова, Ю.Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки №5 – 2004. - с. 39-48.
  10. Родионова И.А. Сведение векторной электромагнитной задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие, к двум скалярным задачам для уравнения Гельмгольца./ Ю.Г. Смирнов, И.А. Родионова// Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки №1 – 2007. - с. 40-46.

РОДИОНОВА Ирина Анатольевна

Краевая задача дифракции

для системы уравнений Максвелла

в экранированных слоях,

связанных через отверстие

01.01.02 – дифференциальные уравнения

Редактор Ю. В. Коломиец

Технический редактор А. Г. Темникова

Подписано в печать 21.10.08. Формат 60841/16.

Усл. печ. л. 1,16

Заказ № 008852. Тираж 100.

Отпечатано в Информационно-издательском центре ПГУ

Пенза, Красная, 40, т.: 56-47-33

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»