WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |

На правах рукописи

РОДИОНОВА Ирина Анатольевна

Краевая задача дифракции

для системы уравнений Максвелла

в экранированных слоях,

связанных через отверстие

01.01.02 – дифференциальные уравнения

А в т о р е ф е р а т

диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ 2009

Работа выполнена на кафедре
математики и суперкомпьютерного моделирования
Пензенского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Смирнов Юрий Геннадьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Самохин Александр Борисович;

доктор физико-математических наук, доцент

Карчевский Евгений Михайлович

Ведущая организация:

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, г. Москва

Защита диссертации состоится 17 сентября 2009 г., в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова–Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова–Ленина.

Автореферат разослан 16 августа 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук,

доцент Е. К. Липачёв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена аналитическому и численному исследованию векторной задачи дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие. Это - задача дифракции электромагнитного поля на ограниченном отверстии в идеально проводящей бесконечно тонкой плоскости, расположенной между двух идеально проводящих бесконечно тонких плоскостей, причем электродинамические параметры сред между плоскостями могут быть различны.

Актуальность темы

Изучение задачи дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие, является актуальным в связи с тем, что она находит широкое применение в электродинамике.

Кроме того, она представляет и самостоятельный математический интерес, поскольку общие методы исследования нелинейных задач на собственные значения в неограниченных областях недостаточно разработаны. Таким образом, прогресс в аналитическом исследовании подобных задач важен и с теоретической, и с практической точек зрения.

Разработка численных методов для решения задач этого класса также является актуальной. Результаты аналитического исследования могут существенно помочь при разработке численных методов.

Данное направление было и является предметом исследования многих авторов (P. Werner, Ю. Г. Смирнов, А. С. Ильинский, Ю. В. Шестопалов).

Цель работы:

– исследование векторной краевой задачи для системы уравнений Максвелла о дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие;

– исследование свойств оператор-функции задачи и доказательство теоремы единственности для случая, когда одна из сред имеет поглощение;

– исследование спектра задачи в случае сред без поглощения;

– сведение краевых задач дифракции для уравнений Гельмгольца к интегродифференциальным (псевдодифференциальным) уравнениям; доказательство теорем о разрешимости этих уравнений в пространствах Соболева; доказательство теоремы эквивалентности краевых задач интегральным уравнения;

– обоснование и реализация численного метода Галеркина для решения слабосингулярного интегрального уравнения в прямоугольнике.

Научная новизна:

– векторная краевая задача для системы уравнений Максвелла о дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие, сведена к двум скалярным задачам для уравнения Гельмгольца;

– доказана теорема единственности для случая, когда одна из сред имеет поглощение;

– устанавлена голоморфность и фредгольмовость оператор-функции задачи и доказана дискретность спектра задачи в случае сред без поглощения;

– краевые задачи дифракции для уравнений Гельмгольца сведены к интегродифференциальным (псевдодифференциальным) уравнениям. Доказаны теоремы о разрешимости этих уравнений в пространствах Соболева. Доказаны теоремы эквивалентности краевых задач интегральным уравнениям;

– применен, обоснован и реализован численный метод Галеркина для решения слабосингулярного интегрального уравнения в прямоугольнике. Представлены результаты численных расчетов.

Практическая значимость

Полученные в диссертации результаты о свойствах и распределении спектра представляют интерес при моделировании устройств в электронике и радиотехнике.

Большое практическое значение в представленной работе имеет сведение краевых задач к интегральному и интегродифференциальному уравнениям на отверстии, которые могут быть эффективно решены численными методами.

Реализация и внедрение полученных результатов

Результаты, полученные в диссертации, включены в отчеты НИР и грантов, выполненных на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования ПГУ: РФФИ 06-07-89063а.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на научных конференциях и семинарах:

  • XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2006);
  • X Международной научно-методической конференции «Университетское образование» (Пенза, 2006);
  • научном семинаре кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета (2009);
  • научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова–Ленина (2009).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата, одна работа – из списка журналов, рекомендованных ВАК РФ.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы, содержащего 91 наименование. Работа изложена на 100 страницах машинописного текста, содержит 7 графиков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней; обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, излагаются краткое содержание и основные результаты работы.

Первая глава посвящена постановке задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие и сведению векторной задачи для системы уравнений Максвелла к двум скалярным задачам для уравнения Гельмгольца.

Рассмотрим задачу дифракции стороннего монохроматического электромагнитного поля в экранированных слоях, связанных через отверстие.

Пусть и

 — слои, сформированные тремя идеально проводящими и бесконечно тонкими параллельными плоскостями, отверстие  — ограниченная область с кусочно-гладкой границей, состоящей из конечного числа простых дуг класса, сходящихся под углами отличными от нулевого (Рис. 1).

Будем решать задачу дифракции в области.

Рис. 1.

Предполагается, что падающее поле является решением системы уравнений Максвелла

,,

в слое без отверстия с краевым условием

и создается источниками, расположенными вне, поэтому

.

Поле в слое тождественно равно нулю.

Будем считать, что среды в и имеют постоянные электромагнитные параметры, и, соответственно, относительно которых предполагаем, что,,,,,,, где  — круговая частота.

Задача дифракции на отверстии, соединяющем два параллельных слоя и, состоит в определении рассеянного электромагнитного поля

, (1.1)

где,, удовлетворяющего однородным уравнениям Максвелла

,, (1.2)

где, в и, в,

краевым условиям

(1.3)

для касательных к поверхности идеального проводника составляющих электрического поля, где

,,

условиям сопряжения на границе раздела сред

, (1.4)

, (1.5)

где, условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме

(1.6)

и условиям на бесконечности: при (при аналогично) — 

если или, то для компонент или и или

, (1.7)

равномерно по всем направлениям и по ;

если и то требуем, чтобы коэффициенты Фурье

,, (1.8)

для компонент или и или, удовлетворяли условиям

, (1.9)

при (, если и, если ),

, (1.10)

при, и

, (1.11)

при, равномерно по всем направлениям и по. Здесь и.

Определение 1.1. Решение задачи (1.1) — (1.11) будем называть квазиклассическим решением задачи дифракции в экранированных слоях, связанных через отверстие.

Для полного поля имеем, в.

Компоненты полей удовлетворяют однородному уравнению Гельмгольца с параметром :

, (1.12)

где при, при.

При для всех и, где векторная задача может быть сведена к двум скалярным. Компоненты выражаются через коэффициенты Фурье компонент.

Из уравнений Максвелла (1.2) получаем, что для :

, (1.13)

, (1.14)

,, (1.15)

, (1.16)

(1.17)

со сформулированными выше условиями на бесконечности (1.7) — (1.11). Здесь  — пространство Соболева.

Определение 1.2. Решение задачи (1.13) — (1.17) будем называть квазиклассическим решением задачи дифракции для компоненты в экранированных слоях, связанных через отверстие.

Аналогично, для имеем краевую задачу:

, (1.18)

, (1.19)

, (1.20)

, (1.21)

(1.22)

со сформулированными выше условиями на бесконечности (1.7) — (1.11).

Определение 1.3. Решение задачи (1.18) — (1.22) будем называть квазиклассическим решением задачи дифракции для компоненты в экранированных слоях, связанных через отверстие.

Теорема 1.1. Пусть, где. Если и являются квазиклассическими решениями краевых задач (1.13) — (1.17) и (1.18) — (1.22), то и является квазиклассическим решением задачи (1.1) — (1.11), компоненты полей выражаются через коэффициенты Фурье функций и. Обратно, если и является квазиклассическим решением задачи (1.1) — (1.11), то и являются квазиклассическими решениями краевых задач (1.13) — (1.17) и (1.18) — (1.22).

Вторая глава посвящена изучению соответствующей однородной задачи, поскольку она может иметь нетривиальные решения при некоторых, что приведет к неоднозначной разрешимости исходной задачи дифракции.

Теорема 2.1. Однородная краевая задача при,,,, и дополнительном условии имеет только тривиальное решение.

Теорема 2.2. Однородная краевая скалярная задача для при,,,, и дополнительном условии имеет только тривиальное решение.

Теорема 2.3. Однородная краевая скалярная задача для при,,,, и дополнительном условии имеет только тривиальное решение.

Функция Грина 1-го рода для уравнения Гельмгольца (1.12), где и, может быть представлена в одной из следующих форм:

, (2.1)

для, где и или

(2.2)

где,,  — функция Ханкеля нулевого порядка первого рода. Формулы (2.1) и (2.2) имеют смысл при и. Отметим, что функция Грина определена при.

Выделим особенность функции при и, пользуясь представлением (2.2). Имеем

где и производные по и зависят непрерывно от и в области,.

Лемма 2.1. Пусть,, и. Тогда функция Грина при допускает аналитическое продолжение в область, где, для некоторого.

Лемма 2.2. Функция Грина аналитична по на множестве.

Лемма 2.3. Функция Грина 1-го рода допускает представление:

где и.

Для функции Грина 2-го рода для уравнения Гельмгольца (1.12), где и, верны следующие представления:

, (2.3)

для, где и или

(2.4)

где. Здесь  — функция Ханкеля нулевого порядка первого рода и  — символ Кронекера. Отметим, что функция Грина не определена при. Формулы (2.3) и (2.4) имеют смысл при и.

Лемма 2.4. Пусть,, и. Тогда функция Грина при допускает аналитическое продолжение в область, где, для некоторого.

Лемма 2.5. Функция Грина аналитична по на множестве.

Лемма 2.6. Функция Грина 2-го рода допускает представление:

где и.

Введем пространство распределений Соболева. Положим для любого,

и.

Обозначим через, множество значений, при которых функции Грина не определены,.Будем рассматривать краевые задачи на собственные значения относительно спектрального параметра в области в,.

Рассмотрим первую скалярную задачу. Представим решение в виде

,

при, при.

Обозначим при, при. Задача сводится к интегральному уравнению:

,

.

Представим в следующем виде:

,

где,,  — интегральные операторы:

,

,

.

Примем обозначения,,.

Теорема 2.4. является фредгольмовым оператором.  — компактный оператор для всех. Оператор  — фредгольмов для всех таких, что.

Теорема 2.5. Пусть,,. Спектр оператор-функции при представляет собой дискретное множество изолированных характеристических чисел конечной алгебраической кратности.

Рассмотрим вторую скалярную задачу. Представим решение в виде

при, при.

Обозначим при, при. Задача сводится к интегродифференциальному уравнению:

.

Представим в следующем виде:

,

где,,  — интегральные операторы:

,

,

.

Примем обозначения,,.

Теорема 2.6. является фредгольмовым оператором.  — компактный оператор для всех. Оператор  — фредгольмов для всех таких, что.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»