WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Центральным результатом §3 является теорема II.4: при оснащении в смысле Э. Картана распределения Картана M в с полем симметричного тензора кроме первой проективной связности индуцируются ещё две линейные связности проективного типа, причём: 1) соответствующие пространства проективной связности и двойственны тогда и только тогда, когда тензор обращается в нуль; 2) пространства и являются двойственными.

Если пространства и являются двойственными, то все три пространства проективной связности,, попарно двойственны между собой.

Найдена геометрическая характеристика аналитического условия двойственности пространств и (теорема II.5): связности пространств и двойственны тогда и только тогда, когда при смещениях центра распределения Картана M в вдоль любой кривой l, принадлежащей распределению M, смещение оси оснащающей плоскости Картана принадлежит характеристике оснащающего распределения гиперплоскостных элементов; при этом ось совпадает с осью Кёнигса.

Найдены инвариантные аналитические условия совпадения связностей пространств и, и. Доказаны следующие предложения:

– связности пространств и, индуцируемых при оснащении распределения Картана M в с полем симметричного тензора, совпадают тогда и только тогда, когда эти пространства двойственны и тензор обращается в нуль (теорема II.6).

– условием совпадения связностей пространств и является одновременное обращение в нуль тензоров и (теорема II.7).

В §4 доказано (теорема II.8), что на распределении Картана M в, оснащённом в смысле Нордена-Картана, в расслоении нормалей первого рода индуцируются пять нормальных связностей (). В случае голономного или взаимного с полем симметричного тензора ассоциированного гиперполосного распределения H в связности и совпадают.

Справедливо предложение: если на оснащённом в смысле Нордена-Кар­тана распределении Картана M в оснащающая плоскость неподвижна, то нормальная связность является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская (теорема II.9).

Найдены условия совпадения нормальных связностей, индуцируемых на оснащённом в смысле Нордена-Картана распределении Картана M в (теоремы II.10, II.11):

– нормальные связности и совпадают тогда и только тогда, когда нормализация распределения M является взаимной относительно поля соприкасающихся гиперквадрик;

– нормальные связности,, вырождаются в одну тогда и только тогда, когда любые две из них совпадают.

В §5 рассмотрены поля плоскостей, являющиеся параллельными в нормальных связностях. Показано, что:

– на оснащённом в смысле Нордена-Картана распределении Картана M в поле характеристик ассоциированного гиперполосного распределения H в является параллельным в каждой нормальной связности ;

– поле инвариантных прямых является параллельным в нормальной связности тогда и только тогда, когда тензор обращается в нуль;

– для распределения Картана M в в третьей дифференциальной окрестности существует единственная инвариантная внутренним образом определяемая нормализация M, поле инвариантных прямых которой является параллельным в нормальной связности.

В §6 второй главы найдены приложения двойственных аффинных связностей и пространств и к изучению геометрии вполне сопряжённой ткани на распределении Картана M в. Заметим, что сопряжённая ткань на распределении M называется вполне сопряжённой, если на M фундаментальный тензор симметричен.

Доказаны следующие предложения:

– двойственные поля m-мерных и -мерных гармонических плоскостей на распределении Картана M в, несущем вполне сопряжённую m-ткань, во второй дифференциальной окрестности задают двойственную внутренним образом определённую нормализацию подмногообразия M (теорема II.15);

– поля гармонических плоскостей и вполне сопряжённой m-ткани нормализуют распределение Картана M взаимно относительно поля инвариантных соприкасающихся гиперквадрик тогда и только тогда, когда данная ткань есть ткань Дарбу (теорема II.16);

– вполне сопряжённая m-ткань на распределении Картана M в есть ткань с совпавшими псевдофокусами (с совпавшими псевдофокальными гиперплоскостями ) тогда и только тогда, когда относительно поля её гармонических плоскостей она является геодезической тканью второго (первого) рода (теорема II.17);

– если ассоциированное гиперполосное распределение H в является голономным или взаимным, то исходное распределение Картана M в, на котором вполне сопряжённая m-ткань является чебышевской первого и второго родов (одновременно), имеет соприкосновение третьего порядка с соприкасающимися гиперквадриками тогда и только тогда, когда поля гармонических плоскостей и m-ткани нормализуют подмногообразие M взаимно (теорема II.18).

Глава III диссертации посвящена изучению двойственной геометрии поверхности Картана в проективном пространстве.

Материал п. 1 §1 носит реферативный характер; здесь даётся определение поверхности Картана в, приводятся дифференциальные уравнения поверхности и сопряжённой сети в ; при поверхность Картана в является m-сопряжённой системой [15] и существует с произволом в функций двух аргументов.

Показано, что с поверхностью Картана в в третьей дифференциальной окрестности внутренним образом ассоциируется гиперполоса, для которой данная поверхность Картана является базисной (п. 2 §1). Такая гиперполоса названа гиперполосой Картана, ассоциированной с поверхностью в. Найдены дифференциальные уравнение гиперполосы Картана в и условие её регулярности (теорема III.2).

В п. 3 §1 получен один из центральных результатов третьей главы (теорема III.3): ассоциированная регулярная гиперполоса Картана в в шестой дифференциальной окрестности индуцирует: 1) проективное пространство, двойственное исходному пространству относительно инволютивного преобразования структурных форм Пфаффа; 2) многообразие в, двойственное исходному.

Следовательно, двойственность ассоциированной гиперполосы в влечёт за собой двойственность геометрии исходной поверхности Картана в, являющейся базисной для.

В §2 рассматривается нормализация Нордена-Чакмазяна поверхности Картана в. Доказано (теорема III.4), что нормализация одной из регулярных гиперполос Картана в и в равносильна нормализации другой.

Показано (теорема III.5), что поверхность Картана в в пятой дифференциальной окрестности внутренним образом порождает поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик, причём в каждой точке касательная плоскость и характеристика полярно сопряжены относительно соответствующей локальной гиперквадрики. Условием соприкосновения третьего порядка гиперквадрик с поверхностью является обращение в нуль тензора Дарбу.

С помощью двойственного образа регулярной гиперполосы в в пятой дифференциальной окрестности построены взаимные внутренние нормализации Фубини и Вильчинского поверхности Картана в (теоремы III.6, III.7).

В §3 третьей главы рассматриваются двойственные аффинные связности и на нормализованной поверхности Картана в и их приложения.

В п. 1 §3 доказано (теорема III.8), что на поверхности Картана в, нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна, индуцируются две аффинные связности и без кручения, двойственные относительно инволютивного преобразования форм связности. Эти связности сопряжены [12] относительно поля симметричного тензора. Связность, средняя по отношению к и, является вейлевой с полем невырожденного тензора.

Получен (§ 3, п. 2) ряд результатов по изучению внутренней геометрии взаимной нормализации поверхности Картана в :

1) показано (теорема III.9), что альтернированные тензоры Риччи и двойственных аффинных связностей и, индуцируемых взаимной нормализацией поверхности Картана в, совпадают; следовательно, геометрии этих связностей могут быть эквиаффинными лишь одновременно; условием их эквиаффинности является римановость средней связности ;

2) доказано (теорема III.10), что геометрии двойственных аффинных связностей и, индуцируемых нормализацией Фубини поверхности Картана в, являются эквиаффинными, а их средняя геометрия – риманова;

3) доказано (теорема III.11), что если для взаимной нормализации в смысле Нордена-Чакмазяна поверхности Картана в тензоры Риччи двойственных аффинных связностей и совпадают, то данная нормализация является нормализацией Вильчинского.

Показано (теорема III.12), что двойственные аффинные связности и, индуцируемые на нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна поверхности Картана в, совпадают тогда и только тогда, когда данная нормализация является взаимной относительно поля соприкасающихся гиперквадрик и гиперквадрики этого поля с поверхностью имеют соприкосновение третьего порядка; при этом связность является римановой с полем метрического тензора.

В п. 3 §3 найдены приложения двойственных аффинных связностей к изучению геометрии сопряжённой сети на поверхности Картана в проективном пространстве. Имеют место следующие утверждения:

а) поля гармонических плоскостей и сопряжённой сети на поверхности Картана в нормализуют поверхность взаимно относительно поля инвариантных соприкасающихся гиперквадрик тогда и только тогда, когда данная сеть есть сеть Дарбу (теорема III.14);

б) сопряжённая сеть на поверхности Картана в есть сеть с совпавшими фокусами (с совпавшими фокальными гиперплоскостями ) тогда и только тогда, когда относительно поля её гармонических плоскостей она является геодезической сетью второго (первого) рода (теорема III.15);

в) поверхность Картана в, на которой сопряжённая сеть является чебышевской первого и второго родов (одновременно), имеет соприкосновение третьего порядка с соприкасающимися гиперквадриками поля тогда и только тогда, когда поля гармонических плоскостей и сети нормализуют поверхность взаимно (теорема III.16);

г) если поверхность Картана в нормализована полями гармонических плоскостей сопряжённой сети, то обе внутренние геометрии могут быть квазиевклидовыми лишь одновременно (теорема III.18);

д) если поверхность Картана в, несущая сильно сопряжённую чебышевскую сеть первого и второго родов, нормализована полями гармонических плоскостей сети, то обе внутренние геометрии являются аффинными (локально) (теорема III.19).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ,

ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Доказано, что с распределением Картана M в во второй дифференциальной окрестности инвариантным внутренним образом ассоциируется гиперполосное распределение H в, для которого исходное распределение M является базисным. Показано, что ассоциированное регулярное гиперполосное распределение Картана H в проективном пространстве индуцирует проективное пространство, двойственное пространству и многообразие в, двойственное исходному распределению H.

2. Доказано, что нормализация одного из регулярных гиперполосных распределений Картана H в и в равносильна нормализации другого. С использованием двойственного образа регулярного гиперполосного распределения H в в четвёртой дифференциальной окрестности внутренним инвариантным образом получен ряд двойственных [16] нормализаций [12] распределения Картана M в (нормализации Михэйлеску, Фубини, Вильчинского).

3. Показано, что на нормализованном распределении Картана M в проективном пространстве индуцируются две двойственные аффинные связности и, найдены их приложения к изучению геометрии вполне сопряжённой ткани на распределении Картана M. Доказано, что на оснащённом в смысле Э. Картана распределении Картана M в индуцируются три линейные связности проективного типа, причём соответствующие пространства проективной связности и являются двойственными, найдено условие двойственности пространств и. Получены инвариантные аналитические условия совпадения связностей пространств и, и. Показано, что на распределении Картана M в, оснащённом в смысле Нордена-Картана, в расслоении нормалей первого рода индуцируются пять нормальных связностей ; исследованы поля плоскостей на распределении Картана M, параллельные в этих нормальных связностях.

4. Доказано, что с поверхностью Картана в проективном пространстве внутренним образом ассоциируется гиперполоса, для которой данная поверхность Картана является базисной. Показано, что ассоциированная регулярная гиперполоса Картана в индуцирует проективное пространство, двойственное пространству, и многообразие в, двойственное исходному. Доказано, что нормализация одной из регулярных гиперполос Картана в и в равносильна нормализации другой. С помощью двойственного образа регулярной гиперполосы в построены взаимные внутренние нормализации Фубини и Вильчинского поверхности Картана в. Найдены двойственные аффинные связности и, индуцируемые на нормализованной поверхности Картана в. Найдены пути приложения полученных аффинных связностей к изучению двойственной геометрии сопряжённой сети в.

Список литературы

[1] Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей / В. Т. Базылев // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. – 1965. – № 243. – С. 29-37.

[2] Базылев В. Т. О многомерных сетях и их преобразованиях / В. Т. Базылев // Итоги науки и техники. Геометрия (1963) / ВИНИТИ АН СССР. – М., 1965. – С. 138-164.

[3] Базылев В. Т. О плоских сетях, присоединённых к поверхности Картана / В. Т. Базылев // Сибирский матем. журнал. – 1964. – Т. 5. – № 4. – С. 729-738.

[4] Близникас В. И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства / В. И. Близникас // Liet. mat. rinkinys: Лит. мат. сб. – Вильнюс, 1971. – Т. 11. – № 1. – С. 63-74.

[5] Близникас В. И. О неголономной поверхности трёхмерного пространства проективной связности / В. И. Близникас // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. – 1971. – Т. 3. – С. 115-124.

[6] Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. – Москва, 1950. – Вып. 8. – С. 11-72.

[7] Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик [и др.] // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. – М., 1979. – Т. 9. – 246 с.

[8] Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. – Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1962. – 210 с.

[9] Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погружённых многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Тр. Моск. матем. об-ва. – М., 1953. – Т. 2. – С. 275-382.

[10] Лаптев Г. Ф. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. – 1971. – Т. 3. – С. 49-94.

[11] Лумисте Ю. Г. Распределения на однородных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. – М., 1977. – Т. 8. – С. 5-24.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»