WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |

На правах рукописи

Кузьмина Наталья Александровна

ДВОЙСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАРТАНА

01.01.04 – геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Казань – 2009

Работа выполнена на кафедре геометрии ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Столяров Алексей Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Аминова Ася Васильевна

доктор физико-математических наук,

профессор

Степанов Сергей Евгеньевич

Ведущая организация: Тверской государственный университет

Защита состоится 18 июня 2009 года в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д. 212. 081. 10 при Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан «__» апреля 2009 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета

канд. физ.-мат. наук, доцент Липачёв Е. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Постановка вопроса и актуальность темы. Связность является одним из основных понятий дифференциальной геометрии присоединённых расслоенных многообразий.

История теории связностей начинается с работы Т. Леви-Чивита [24] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея была обобщена в различных направлениях, например, в общей теории относительности. В 1950 году В. В. Вагнер [6] и Ш. Эресман [23] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Г. Ф. Лаптев [9], следуя идеям Э. Картана [8], линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия, удовлетворяющие определённым условиям.

А. П. Норденом [12] разработан метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения.

В 1926 г. Э. Картан [19] ввёл понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой ».

В работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану [10], [13], [14] получила широкое развитие теория распределений m-мерных линейных и гиперплоскостных элементов в проективном пространстве и пространстве проективной связности. В случае распределения гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория нашла своё отражение в работах В. И. Близникаса [4], [5]. Ю. Г. Лумисте [11] изучает распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа.

В работе А. В. Столярова [16], используя данное им определение двойственных пространств с линейной связностью с точки зрения инволютивных преобразований форм их связностей, значительно расширена теория двойственных линейных связностей (аффинных, проективных, нормальных), индуцируемых при различных оснащениях ряда многообразий пространства проективной связности.

В. Т. Базылевым [1], [2] получена обширная теория многомерных сетей, погружённых в n-мерное проективное пространство.

Э. Картан [20], [21] при изучении семейства асимптотических форм многомерных поверхностей проективного пространства выделил класс таких поверхностей, для которых число линейно независимых квадратичных асимптотических форм () на поверхности равно m и поверхность несёт сеть сопряжённых линий.

Чжень Шэн-шэнь [22] показал, что для поверхности Картана можно построить преобразования Лапласа. Этому результату дал значительное обобщение Р. В. Смирнов [15], построив преобразования Лапласа для произвольных p-сопряжённых систем. Поверхность Картана есть частный случай p-сопряжён­ной системы.

Изучением поверхности Картана также занимались В. Т. Базылев [3], А. В. Столяров [17] и др.

Обобщая понятие поверхности Картана, нами вводится понятие «распределения Картана».

В проективном пространстве рассмотрим распределение M касательных элементов. В репере нулевого порядка система дифференциальных уравнений распределения M имеет вид [10] ().

Допустим, что: 1) число линейно независимых квадратичных асимптотических форм, на распределении равно m; 2) распределение M несёт m-ткань сопряжённых линий, то есть направления касательных к линиям ткани попарно сопряжены относительно любого конуса направлений.

Такое распределение назовём распределением Картана M.

Объектом исследования настоящей работы являются распределение Картана M (главы I и II) и поверхность Картана (глава III) в 2m-мерном проективном пространстве.

Эти исследования являются актуальными и представляют большой научный интерес, ибо: 1) исследования по изучению двойственной геометрии поверхности Картана в проективном пространстве ранее геометрами не проводились; 2) геометрия распределения Картана M в проективном пространстве до настоящего времени в математической литературе вообще не изучалась.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является построение двойственной геометрии поверхности Картана и распределения Картана M в проективном пространстве на основе широкого привлечения их двойственных образов. Достижение поставленной цели включает в себя решение следующих основных задач:

1) построить основы двойственной геометрии распределения Картана M в проективном пространстве с существенным привлечением ассоциированного с M внутренним образом гиперполосного распределения H в ;

2) разработать основы теории двойственных линейных связностей (аффинных, проективных и нормальных), индуцируемых при различных классических оснащениях (в смысле А. П. Нордена, Э. Картана) распределения Картана M в проективном пространстве, а также найти пути приложения аффинных связностей к изучению сопряжённой ткани ;

3) проводить изучение двойственной геометрии поверхности Картана в проективном пространстве на основе привлечения её двойственного образа.

Методы исследования. В диссертации используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [9], метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [18] и метод нормализации А. П. Нордена [12]. Использование указанных методов позволило ввести в рассмотрение дифференциально-геометрические факты, связанные с дифференциальными окрестностями образующих элементов исследуемых подмногообразий до шестого порядка включительно.

Все исследования в работе проводятся в минимально специализированных системах отнесения, что позволило получить результаты в инвариантной форме. Все рассмотрения проводятся с локальной точки зрения. Встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми, то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие, а при доказательстве теорем существования – аналитическими. Следует заметить, что результаты по геометрии линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [7], [9].

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании, являются новыми. Научная новизна их обусловлена тем, что двойственная геометрия поверхности Картана и распределения Картана M в проективном пространстве до настоящего времени в математической литературе оставалась практически не изученной.

В диссертации приведены доказательства всех основных предложений, которые сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении различных многообразий, погружённых в пространства более общей структуры, а также многообразий, несущих сеть (ткань) того или иного класса (типа).

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве материала специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов по геометрии оснащённых подмногообразий в обобщённых пространствах, а также при написании ими курсовых, дипломных и научных работ.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (Чебоксары, 2006–2008 гг.); на научных конференциях аспирантов, докторантов и научных сотрудников Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (Чебоксары, 2006–2008 гг.); на региональной научной конференции «Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твёрдого тела» (Чебоксары, 2006 г.); на XV международной конференции «Математика. Образование» (Чебоксары, 2007 г.); на 5-й и 6-й молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские чтения», (Казань, 2006–2007 гг.); на заседаниях Казанского городского научно-исследовательского геометрического семинара (Казань, КГУ, 2008–2009 гг.).

Публикации. Основные научные результаты, включённые в диссертационную работу, опубликованы в 14 печатных работах автора.

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика и содержание диссертации), трёх глав и списка литературы, включающего 99 наименований. Полный объём диссертации составляет 129 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе вводится понятие распределения Картана M в. В разных дифференциальных окрестностях строятся различные поля геометрических объектов на распределении M, найдены их геометрические характеристики (гиперполосное распределение Картана, его двойственный образ, оснащения, поле соприкасающихся гиперквадрик).

В п. 1 §1 по аналогии с поверхностью Картана в вводится понятие распределения Картана M в проективном пространстве, приводятся дифференциальные уравнения распределения M, сопряжённой m-ткани в. Доказано, что: 1) сопряжённая ткань на распределении Картана во второй дифференциальной окрестности внутренним образом определена самим распределением Картана M в (теорема I.1); 2) если распределение Картана M в проективном пространстве голономно, то ткань голономна (теорема I.2); голономное распределение Картана M в () является m-сопряжённой системой в смысле Р. В. Смирнова [15].

В п. 2 §1 построены внутренние инвариантные оснащения в смысле А. П. Нордена и Э. Картана голономного и необязательно голономного распределения Картана M в.

В п. 1 §2 показано (теорема I.8), что с распределением Картана M в во второй дифференциальной окрестности инвариантным внутренним образом ассоциируется гиперполосное распределение H в, для которого исходное распределение M является базисным.

Найдены дифференциальные уравнения ассоциированного распределения H и условие его регулярности. Методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [9] построены различные поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на распределении H в.

Центральным результатом п. 2 §2 является теорема I.10: ассоциированное регулярное гиперполосное распределение Картана H в проективном пространстве в четвёртой дифференциальной окрестности индуцирует: 1) проективное пространство, двойственное исходному пространству относительно инволютивного преобразования структурных форм Пфаффа; 2) многообразие в, двойственное исходному распределению H.

Таким образом, двойственность ассоциированного гиперполосного распределения H в влечёт за собой двойственность геометрии исходного распределения Картана M в, являющегося базисным для H.

В пп. 1, 2 §3 строятся различные инвариантные оснащения (в смысле А. П. Нордена, Э. Картана) распределения Картана M в с использованием ассоциированного гиперполосного распределения H. Доказано (теорема I.11), что нормализация одного из регулярных гиперполосных распределений Картана H в и в равносильна нормализации другого, найдена связь между компонентами полей оснащающих объектов и подмногообразий H и.

С использованием двойственного образа регулярного гиперполосного распределения H в в четвёртой дифференциальной окрестности построены двойственные инвариантные нормализации [12] распределения Картана M в : нормализации Михэйлеску, Фубини и Вильчинского (теоремы I.12, I.12*, I.13, I.14).

В п. 3 §3 доказано (теорема I.15), что распределение Картана M в в четвёртой дифференциальной окрестности внутренним образом порождает поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик. Найдено условие соприкосновения третьего порядка гиперквадрик этого поля с распределением Картана M; этим условием является обращение в нуль тензора Дарбу.

Глава II посвящена построению основ теории двойственных линейных связностей (аффинных, проективных, нормальных) на оснащённом распределении Картана M в проективном пространстве.

В §1 второй главы доказано (теорема II.1), что на нормализованном распределении Картана M в проективном пространстве индуцируются две двойственные аффинные связности и, причём эти связности обобщённо сопряжены относительно поля тензора вдоль любой кривой l, принадлежащей распределению Картана. Пространство аффинной связности имеет нулевое кручение тогда и только тогда, когда распределение нормалей первого рода (второго рода ) является голономным.

Найдены геометрические характеристики параллельного перенесения допустимого направления в аффинных связностях и вдоль любой кривой l, принадлежащей распределению Картана M.

Найдены условия совпадения связностей и пространств и (теорема II.2): на распределении Картана M в с полем симметричного тензора аффинные связности и совпадают тогда и только тогда, когда ассоциированное распределение H является взаимным, нормализация M есть нормализация Михэйлеску и соприкасающиеся гиперквадрики имеют касание третьего порядка с распределением M.

Доказано (§2), что на оснащённом в смысле Э. Картана распределении Картана M в индуцируется первая проективная связность; найден тензор кривизны-кручения соответствующего пространства проективной связности.

Pages:     || 2 | 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»