WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

В п. 4 § 2 доказано, что полное оснащение распределения М в при отображении Дарбу в пространстве индуцирует n-мерное взаимным и двойственным образом нормализованное регулярное гиперполосное распределение Н (n-1)-мерных линейных элементов, для которого базисным распределением является образ подмногообразия М и полем характеристик семейства касательных к гиперквадрике Дарбу гиперплоскостей в точках служит поле прямых, сопряженных текущим элементам относительно (теорема I.5).

§ 3 главы I посвящен аффинным связностям, индуцируемым полным оснащением распределений М гиперплоскостных элементов и Н одномерных линейных элементов в. Доказано, что при полном оснащении одного (а следовательно, каждого) из распределений М и Н в на подмногообразиях М и Н индуцируются пространства аффинной связности и соответственно, которые являются вейлевыми (вообще говоря, с кручением) с полями метрических тензоров и соответственно и дополнительной формой (теоремы I.6, I.7). Для каждого пространства аффинной связности найдены строения тензоров кручения и тензоров кривизны. Доказаны также следующие предложения:

– при полном оснащении распределения M в пространство аффинной связности имеет нулевое кручение тогда и только тогда, когда исходное распределение M является сферическим (теорема I.9);

– если аффинная связность пространства, индуцируемого полным оснащением распределения М в, имеет нулевое кручение, то она является римановой с полем метрического тензора тогда и только тогда, когда пространство аффинной связности есть пространство с абсолютным параллелизмом (теорема I.10);

– если оба пространства аффинной связности и, индуцируемые полным оснащением распределений М и Н в, имеют нулевое кручение, то пространство является римановым с полем метрического тензора тогда и только тогда, когда пространство – плоское; в работе приведены инвариантные аналитические условия последнего (теорема I.11).

Найдены необходимое и достаточное условия, при которых пространство аффинной связности является обобщенно римановым (теорема I.12). Эти условия выполняются, например, при полном оснащении распределения М в полями квазитензоров, второго порядка.

§ 4 главы I посвящен приложению аффинной связности пространства к изучению внутренней геометрии тканей, заданных на распределении М в.

В п. 1 § 4 приведены дифференциальные уравнения ткани на подмногообразии М, рассмотрены некоторые порождаемые ею инвариантные геометрические образы (гармонические гиперсферы, псевдофокальные гиперсферы ортогональной ткани). Найден геометрический смысл гармонических гиперсфер ортогональной ткани.

В п. 2 § 4 рассмотрены голономная ткань и гиперсопряженная система в ; найдены необходимое и достаточное условия, при которых ткань на распределении М в является голономной (теорема I.15), а также необходимое и достаточное условия, при которых голономное распределение М в, несущее ортогональную сопряженную ткань, является гиперсопряженной системой (n>3) (теорема I.16). Доказано, что голономное распределение М в (n>3), несущее ортогональную сопряженную ткань, есть гиперсопряженная система тогда и только тогда, когда ткань является голономной (теорема I.18).

В п. 3 § 4 рассмотрена ткань линий кривизны на голономном распределении М в ; приведена геометрическая характеристика главных направлений и линий кривизны на голономном распределении М в.

В п. 4 § 4 рассмотрено параллельное перенесение направления касательной к i-й линии ортогональной ткани на распределении М в вдоль ее j-й линии в аффинной связности, индуцируемой полным оснащением распределения М в. Введены в рассмотрение геодезические и чебышевские ткани в аффинной связности, получены аналитические условия, характеризующие эти ткани. Доказано, что голономное распределение М в () является распределением, несущим чебышевскую ткань линий кривизны, тогда и только тогда, когда оно является гиперсопряженной системой, несущей геодезическую ткань (теорема I.22).

В п. 5 § 4 рассмотрены чебышевские ткани линий кривизны на голономном распределении М в (), а также на голономном распределении М 2-мерных линейных элементов в.

Доказаны теоремы существования рассмотренных классов тканей (теоремы I.13, I.17, I.23, I.24).

Глава II посвящена изучению нормальных и конформных связностей на распределении М гиперплоскостных элементов в конформном пространстве.

В начале § 1 главы II найдены слоевые формы нормальной связности, определяемой в расслоении нормальных окружностей при полном оснащении распределения М в полями квазитензоров,, причем эти формы зависят от двух полей тензоров {} и {, }. При ==0 связность обозначается через, при =0, – через, при, связность в зависимости от охватов тензора обозначается через,. В каждом из этих случаев найдены строения компонент тензоров кривизны – кручения соответствующих пространств нормальной связности.

Доказаны следующие предложения:

– нормальная подсвязность связности, индуцируемой на вполне оснащенном распределении M в в расслоении окружностей, плоская (то есть связность – полуплоская) тогда и только тогда, когда вейлево пространство является обобщенно римановым (теорема II.2); условие теоремы II.2 выполняется, например, если распределение M в вполне оснащено полями квазитензоров, второго порядка;

– если вейлево пространство с полем метрического тензора, индуцируемое полным оснащением распределения M в полями квазитензоров, первого порядка, имеет нулевое кручение, то это пространство есть риманово тогда и только тогда, когда нормальная связность является полуплоской; последнее эквивалентно тому, что кососимметричный тензор обращается в нуль (теорема II.3);

– нормальная связность, индуцируемая полным оснащением распределения M в, допускающим обращение в нуль тензора, вдоль кривых, принадлежащих распределению M, является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская (теорема II.4); это предложение справедливо, например, для сферического распределения;

– нормальная подсвязность связности, индуцируемой на вполне оснащенном распределении M в в расслоении окружностей, плоская (то есть связность – полуплоская) тогда и только тогда, когда вейлево пространство является обобщенно римановым (теорема II.6); условие теоремы II.6 выполняется, например, если распределение M в вполне оснащено полями квазитензоров, второго порядка;

– нормальная связность, индуцируемая полным оснащением распределения M в с заданным на нем полем тензора, допускающим обращение в нуль тензора, вдоль кривых, принадлежащих распределению M, является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская (теорема II.7).

Построен охват тензора, при котором нормальная связность определяется внутренним образом. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых в случае построенного охвата нормальные связности и, индуцируемые при полном оснащении распределения M в полями квазитензоров,, имеют одинаковые тензоры кривизны – кручения (теорема II.8). Доказано, что при этом охвате нормальные связности и, индуцируемые при полном оснащении распределения M в полями квазитензоров,, имеют одинаковые тензоры кривизны – кручения тогда и только тогда, когда вейлево пространство является обобщенно римановым (теорем II.9).

В п. 3 § 1 доказано, что нормальная связность, индуцируемая полным оснащением распределения M в в расслоении окружностей с заданным на ней полем ненулевого тензора, допускающим обращение в нуль тензора, вдоль кривых, принадлежащих распределению M, является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская (теорема II.11). Построены охваты тензора, при которых нормальная связность определяется внутренним образом (соответственно, нормальные связности, ). Доказано, что нормальная связность, индуцируемая на вполне оснащенном полями квазитензоров, распределении М в в расслоении окружностей, является полуплоской (теорема II.12); в случае полного оснащения распределения М, допускающего обращения в нуль тензора, вдоль кривых, принадлежащих распределению M, нормальная связность является плоской.

В § 2 главы II нормальные связности,,, рассмотрены на регулярном гиперполосном распределении Н в проективном пространстве, ассоциированном с распределением М в.

В п. 1 § 2 найден геометрический смысл обращения в нуль тензора (теорема II.13). К этому классу распределений относится, например, сферическое распределение гиперплоскостных элементов. В нормали первого рода гиперполосного распределения Н в найдена инвариантная прямая, внутренним образом определяемая в первой дифференциальной окрестности.

В п.2 § 2 найдено условие параллельности гладкого поля одномерных направлений, принадлежащего полю нормалей первого рода гиперполосного распределения Н в, в нормальной связности при смещении вдоль любой кривой, принадлежащей распределению в. Доказаны следующие предложения:

– при полном оснащении распределения М в поле характеристик гиперполосного распределения Н в параллельно переносится в нормальной связности при смещении вдоль любой кривой, принадлежащей распределению (n-1)-мерных плоскостей в (теорема II.14);

– поле инвариантных прямых на гиперполосном распределении Н в является параллельным в нормальной связности при смещении вдоль любой кривой, принадлежащей распределению (n-1)-мерных плоскостей в, тогда и только тогда, когда тензор обращается в нуль (теорема II.15).

Теоремы II.14, II.15 сформулированы также на языке конформного пространства (теоремы II.14*, II.15*).

Условие параллельности гладкого поля одномерных направлений, принадлежащего полю нормалей первого рода гиперполосного распределения Н в, записано также относительно нормальных связностей,, ; для этих связностей справедливы аналоги теорем III.14, III.15.

В § 3 главы II рассматриваются конформные связности, индуцируемые касательным и полным оснащениями распределения М в.

В п. 1 § 3 доказано, что инвариантное касательное оснащение распределения М в полем гиперсфер индуцирует пространство конформной связности с полем метрического тензора, определяемое системой форм Пфаффа, причем если пространство имеет нулевое кручение, то оно является эквиконформным, выполняются аналоги тождеств Риччи, распределение М голономно и поле касательных гиперсфер определяется внутренним образом в первой дифференциальной окрестности полем квазитензора (теорема II.16). Найдено строение тензора кривизны – кручения пространства конформной связности. При перенесении Дарбу пространства на проективное пространство все точки каждого слоя пространства конформной связности отображаются в точки квадрики Дарбу, получающейся при пересечении гиперквадрики Дарбу с полярой точки относительно этой гиперквадрики (теорема II.17).

В п.п. 2, 3 § 3 доказано, что инвариантное полное оснащение распределения М в полями квазитензоров, задает нормализацию пространства конформной связности, определяемую полем окружностей (теорема II.18). Если полное оснащение распределения М в является невырожденным (то есть основной тензор невырожден), то индуцируется второе пространство конформной связности, метрический тензор которого совпадает с метрическим тензором пространства (теорема II.19); приведены строения компонент тензора кривизны – кручения пространства.

В главе III разработаны основы теории гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов в конформном пространстве и указаны пути ее приложения.

В § 1 записываются дифференциальные уравнения гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов в, для которого базисным распределением является распределение К m-мерных линейных элементов, а оснащающим – распределение М гиперплоскостных элементов.

В § 2 в первой дифференциальной окрестности построено 8 полных оснащений гиперполосного распределения, определенных внутренним образом. Найден геометрический смысл обращения в нуль тензоров первого порядка,,,,,.

§ 3 посвящен изучению аффинных связностей на вполне оснащенном гиперполосном распределении m-мерных линейных элементов в. Доказано, что при полном оснащении гиперполосного распределения в полями нормальных (n-m)-сфер и касательных m-сфер индуцируется аффинная связность (теорема III.4); приведены компоненты тензора кручения и тензора кривизны связности. В различных расслоениях вполне оснащенного гиперполосного распределения исследуются три пары аффинных связностей (теоремы III.5 – III.8).

В § 4 доказано, что инвариантное полное оснащение гиперполосного распределения в полями квазитензоров, в расслоении (n-m)-сфер индуцирует нормальную связность ; приведены строения компонент тензора кривизны – кручения связности.

В § 5 показано, что распределение К m-мерных линейных элементов во второй дифференциальной окрестности инвариантным внутренним образом порождает гиперполосное распределение в, для которого распределение К является базисным. Следовательно, теорию гиперполосного распределения, рассмотренную в главе III, можно приложить к изучению геометрии распределения m-мерных линейных элементов в пространстве, что значительно облегчит разработку теории распределений m-мерных линейных элементов в и обогатит ее новыми геометрическими фактами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ,

ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. В разных дифференциальных окрестностях построены инвариантные внутренним образом определяемые оснащения распределения М гиперплоскостных элементов и гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов в конформном пространстве.

2. Найдены необходимое и достаточное условия, при выполнении которых распределение М гиперплоскостных элементов является сферическим.

3. Построены основы теории линейных связностей (аффинных, нормальных и конформных), индуцируемых различными оснащениями распределения М в ; в частности:

– аффинная связность, индуцируемая полным оснащением распределения М в, является вейлевой, найдены условия, при которых она является римановой и обобщенно римановой;

– найдены условия, при которых нормальные связности,, на вполне оснащенном распределении М в являются полуплоскими, а также условия, при которых связности, имеют одинаковые тензоры кривизны–кручения;

– получены условия параллельности гладкого поля одномерных направлений в нормальных связностях,,, ;

– касательное оснащение распределения М в индуцирует пространство конформной связности с полем метрического тензора ; в случае нулевого кручения оно является эквиконформным и выполняются аналоги тождеств Риччи;

– невырожденное полное оснащение распределения М в индуцирует второе пространство конформной связности, метрический тензор которого совпадает с метрическим тензором пространства.

4. Найдено приложение аффинной связности к изучению внутренней геометрии тканей на подмногообразии М.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»