WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Согласно итерационному методу Саусвелла выбирается элемент с максимальной энергией, который на данной итерации будет передавать ее другим элементам сцены через форм-фактор. Аналитического решения для форм-фактора в общем случае нет, поэтому применяются численные методы его вычисления. Среди них наибольшую распространенность получили два: метод полукуба и метод полусферы. Передав энергию всем элементам сцены, выбирается новый элемент с максимальной энергией, который будет источником на следующей итерации. Таким образом могут быть учтены многократные отражения в сцене.

Рассмотренный метод конечных элементов является на сегодняшний день общепринятым подходом к решению уравнения ГО. В данной работе предлагается принципиально иной подход к решению уравнения глобального освещения на основе локальных оценок метода Монте-Карло, получивших наибольшее развитие в атмосферной оптике и в частности в работах Марчука Г. И.

В уравнении (1) интегрирование производится по телесному углу, что не является удобным при моделировании. Тогда, перейдя к интегралу по пространству, а также с учетом того, что искомая функция под интегралом стоит в точке r, а определяется в точке r и при этом переменные r и не являются независимыми, уравнение примет вид

. 10 11

Уравнение (5) содержит в себе -функцию, затрудняющую моделирование методом Монте-Карло. Устранить ее можно, проинтегрировав по пространству, что физически будет эквивалентно переходу к освещенности. Отметим также, что уравнение излучательности (2) не содержит особенности. Соответственно локальная оценка будет иметь вид

, 12 13

где – ядро уравнения.

Выражение (6) получило название локальной оценки метода Монте-Карло. Таким образом, для вычисления освещенности в некоторой заданной точке r необходимо построить Марковскую цепь блужданий в пространстве и на каждом акте вычислять величину k(r,r) для исследуемых точек. Математическое ожидание этой величины будет равно освещенности.

В рамках данной работы локальная оценка была реализована в среде Matlab. Для расчета многократных отражений в сцене не формируется сетка конечных элементов, а фиксируется набор точек, в которых мы хотим вычислять значения освещенности.

Вычисления основаны на построении цепи Маркова, соответственно, мы должны определить начальную точку этой цепи и соответствующий начальный вес разыгранного луча Q0. В качестве начальной точки выбирается один из источников излучения. Направление вылета разыгрывается равновероятно, а реальное распределение силы света учитывается весовыми коэффициентами.

Определив луч вылета из источника, ищется точка пересечения этого луча с ближайшим элементом сцены, и вес луча уменьшается на коэффициент отражения Q1=Q0. После чего для каждого из приемников вычисляется ядро уравнения излучательности k(r,r), где r – точка пересечения луча с элементом сцены, а r – приемник. Полученные значения, умноженные на текущий вес луча, прибавляются к освещенности в приемнике. После этого разыгрывается новое направление луча, а плотность вероятности перехода выбирается

. 1415

Далее вновь ищется точка пересечения луча с элементом сцены. Луч отслеживается в сцене до тех пор, пока его вес не станет ниже порогового либо он не покинет пределы сцены. Далее разыгрывается новый луч вылета из источника. После накопления статистики полученные значения светимости усредняются и нормируются, тем самым получается непосредственно значение освещенности в приемнике.

Для локальной оценки было проведено сравнение не только с точным аналитическим решением Соболева, но и с общепринятыми на сегодняшний день программами LightScape и DIAlux. В результате была получена хорошая сходимость результатов. Сравнение с задачей Соболева представлено на рисунке 1.

Рис. 1. Сравнение локальной оценки с точным решением Соболева.

Решение уравнения глобального освещения представимо в виде ряда Неймана, что позволяет провести преобразования

. 1617

В обычной форме это примет вид

1819

Локальная оценка, соответствующая последнему выражению, может быть названа двойной локальной оценкой и примет вид

, 2021

где

. 22 23

В выражении (11) -функция исчезает вследствие интегрирования, и, при этом, независимые переменные соответствуют геометрии распространения луча.

Таким образом, двойная локальная оценка позволяет проводить моделирование уравнения глобального освещения и вычислять непосредственно яркость от кратностей отражения выше первой с учетом произвольного закона отражения, а первая кратность может быть вычислена непосредственно.

В данной работе была реализована двойная локальная оценка в среде Matlab. При этом в качестве модели отражения была положена общепринятая модель Фонга

, 2425

где – угол между зеркальным отражением луча и направлением визирования.

Для проверки точности была также использована задача Соболева. В данном случае проводится сравнение освещенности, полученной от кратностей отражений выше первой. Результаты представлены на рисунке 2. Как видно, графики совпадают в рамках дисперсии.

Рис. 2. Сравнение двойной локальной оценки с точным решением Соболева.

Третий раздел работы посвящен решению практических задач с помощью предложенных методов локальных оценок. В начале производится сравнение метода конечных элементов и локальной оценки на примере расчетов задачи Соболева. Наглядно показывается, что локальная оценка обладает целым рядом преимуществ по сравнению с общепринятым методом конечных элементов. Среди них можно выделить наиболее существенные:

  1. Отпадает необходимость формирования сетки конечных элементов.
  2. Пропадает зависимость точности расчета в одной части сцены от точности в другой.
  3. Алгоритм локальной оценки позволяет использовать параллельные вычисления.
  4. Возможность уточнения результатов расчетов.
  5. Наличие явного показателя точности.
  6. Более быстрая сходимость.
  7. Возможность создания интерактивного интерфейса.

Все эти преимущества позволяют надеяться, что в будущем локальная оценка вытеснит метод излучательности и станет стандартом при моделировании осветительных установок с учетом многократных отражений. Ее применение должно существенно повысить как скорость вычислений, так и возможности, предоставляемые программами, в основу которых она будет положена.

На сегодняшний день при расчетах цвета используется модель цветовых расчетов по трем длинам волн. Однако, как показано в ряде работ и в частности в работе Проскурина О. А., этого не достаточно при многократных отражениях. По данным, полученным автором, необходим учет 10 – 20 длин волн для большинства практических задач.

Использование большего количества длин волн при расчетах методом конечных элементов затруднительно, так как в каждом узле сетки нужно хранить столько значений освещенности, сколько и длин волн. Предлагаемый алгоритм локальной оценки позволяет, не снижая эффективности расчетов, ввести учет 10 – 20 длин волн, при этом потеря производительности составляет не более 3%. Такой результат закономерен, ведь с ростом числа длин волн в алгоритме локальной оценки увеличивается размерность всего двух операций умножения.

В данной работе проводится простейший эксперимент на примере задачи Соболева, где одна из плоскостей имеет спектральную зависимость отражения, а другая нет. При этом производится расчет по 3, 6, 10 и 20 длинам волн. В результате расчетов получено, что цветовые компоненты, рассчитанные по 3 и 6 длинам волн, отличается на 6%, тогда как для 10 и 20 длин волн отличие составляет менее 1%. Аналогичные результаты получены и для других задач, что подтверждают выводы, сделанные в работе Проскурина О. А.

При проектировании осветительных установок одним из нормируемых параметров является равномерность освещенности. Как правило, на равномерность влияют два основных фактора: взаимное расположение осветительных приборов и затенения. На сегодняшний день проектировщик, получив результаты расчета, вынужден оптимизировать осветительную установку по равномерности, основываясь только на личном опыте. Связано это с тем, что сегодняшние средства анализа лишь констатируют наличие неравномерностей, не давая при этом никакой информации о причинах ее появления. Простейшим средством анализа причин неравномерности может являться возможность раздельно видеть результаты расчетов для каждого из светильников в отдельности. Тогда в некоторых задачах можно будет анализировать, какие из осветительных приборов вносят неравномерность в освещенность. Причем такой расчет должен выполняться не только для прямой составляющей освещенности, но и для многократных отражений.

В случае метода конечных элементов раздельный расчет освещенности от источников приводит к росту сетки, так же как и при спектральных расчетах. Методы локальных оценок позволяют, не теряя эффективности, рассчитывать раздельно освещенность от источников, ведь в локальных оценках хранятся значения освещенности только для рассчитываемых точек, а не для всей сетки, как в методе конечных элементов. В работе на примере простейшей сцене комнаты с одной тенеобразующей колонной и тремя источниками света наглядно демонстрируются возможности по анализу неравномерности освещения.

Основой современных программ моделирования осветительных установок является уравнение излучательности, полученное из уравнения глобального освещения в диффузном приближении. Очевидно, что диффузная модель отражений не может описывать реальные материалы, однако до сих пор учет произвольного отражения был крайне затруднителен. Методы локальных оценок позволяют использовать произвольный закон отражения.

В качестве модели отражения в работе использовалась модель Фонга, зеркальная часть отражения в которой определяется степенью косинуса. Для оценки влияния зеркальной составляющей на распределение освещенности построим распределения освещенности при различных степенях косинуса. В качестве тестовых сцен возьмем задачу Соболева и симметричную комнату с одним источником света в центре. В задаче Соболева распределение освещенности практически не зависит от зеркальной части, тогда как в комнате зависимость проявилась, что представлено на рисунке 3.

Рис. 3. Распределение освещенности в комнате, при различных степенях косинуса.

Подобный результат, странный на первый взгляд, хорошо согласуется с теорией. Если умножить уравнение глобального освещения (5) на косинус и проинтегрировать по полусфере, то с учетом соотношений

2627

и

2829

можно получить выражение для освещенности в точке r

. 3031

Последнее выражение практически эквивалентно уравнению излучательности (2), за исключением того, что под интегралом стоит не светимость, а яркость. По теореме о среднем, тело яркости можно приблизительно заменить на освещенность, деленную на средний косинус тела яркости. Поэтому для диффузного тела яркости отличие невелико. Однако ошибка может стать существенной при сильной анизотропии тела яркости, например, при наличии затенений. Таким образом, для того, чтобы начало влиять распределение коэффициента отражения, необходимо наличие анизотропии, которая минимальна в случае задачи Соболева. Действительно, смещение источника в комнате к одному из углов приводит к увеличению зависимости результата от степени косинуса.

Проделанные простейшие эксперименты и теоретические обоснования позволяют утверждать, что зеркальные отражения в реальных осветительных установках могут оказывать существенное влияние на получаемый результат. На сегодняшний день программы позволяют проводить учет зеркальной компоненты только трассировкой лучей, но она позволяет лишь улучшить картинку на экране монитора. Локальная оценка, в свою очередь, позволяет учитывать зеркальные отражения непосредственно при расчетах освещенности.

Заключение

В настоящей диссертационной работе предложены новые подходы к решению уравнения глобального освещения на основе методов локальных оценок Монте-Карло.

Основные выводы из работы:

  1. Метод локальной оценки позволяет повысить скорость расчетов, по сравнению с методом излучательности, более чем в 20 раз. Локальная оценка не требует построения сетки конечных элементов, что позволяет убрать неоднозначность из процесса моделирования.
  2. Использование локальных оценок впервые позволяет ввести в моделирование осветительных установок физически адекватный учет зеркальной компоненты отражения, а двойная локальная оценка позволяет рассчитывать яркость.
  3. Методы локальных оценок сходятся к точному аналитическому решению и методу излучательности и являются несмещенными.
  4. Метод локальной оценки позволяет, не ухудшая эффективности расчета, ввести учет спектральной зависимости для 10 – 20 длин волн, что достаточно для большинства практических задач, при этом потеря производительности составляет не более 3%. Дальнейший анализ необходимого для корректного моделирования ОУ количества длин волн требует отдельных исследований с использованием равноконтрастной системы.
  5. Локальная оценка позволяет не только рассчитывать световое поле осветительной установки, но и указывать на тенденции по оптимизации. Программы, построенные на основе локальной оценки, смогут стать принципиально иным инструментом в руках проектировщика, позволяя в интерактивном режиме создавать осветительную установку, контролируя при этом все нормируемые параметры.
  6. Для физически адекватного моделирования осветительных установок необходимо перейти от диффузной модели отражения к модели, учитывающей зеркальную компоненту. Влияние зеркальной компоненты оказывается существенным в большинстве практических задач.

Список публикаций по теме диссертации

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»