WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Теорема 2.4. Каждому разбиению (10) функции и каждой паре функций, указанных выше, отвечает решение поставленной задачи управления, вычисляемое по формулам

где,– решения интегральных уравнений (11), (12),.

4. Процесс распространения тепла в пластинке моделируется краевой задачей в цилиндре :

(13)

Здесь – звездная относительно точки ограниченная область в с границей,

(14)

Предполагается, (символ обозначает множество бесконечно гладких функций с носителем, отделенным от границы области). В этой ситуации выполняются условия согласования всех порядков, и задача (13) однозначно разрешима в классе.

Задача управления состоит в отыскании функции, обеспечивающей при заданных выполнение равенства

(15)

Предполагается где – радиус минимального круга с центром в точке, содержащем область. За это время выходящий из каждой точки тепловой импульс успевает достигнуть любой точки пластинки. Ниже приводится результат для случая. В этой ситуации характеристический усечен-ный конус в полупространстве имеет своим верхним основанием круг в плоскости и ниж-ним основанием – круг в плоскости (рис. 4). Требование принято для простоты изложения; для того, чтобы выполняемые ниже построения были корректными, достаточно принять, при достаточно большом.

4.1. Рассмотрим семейство ортов

Поставим в соответствие двумерному гиперболическому оператору (13) семейство одномерных гиперболических операторов

, (16)

.

Матрицы Римана операторов будем называть матрицами Римана двумерной гиперболической системы (13).

Лемма 1.2. Матрицы Римана двумерной гиперболической системы уравнений теплопроводности (13) даются формулами

(17)

(18)

где,.

4.2. Рассмотрим в усеченном конусе задачу Коши

(19)

где – оператор (13). Задача (19) однозначно разрешима в классе.

Теорема 3.1. Пусть начальная функция представлена в виде суперпозиции плоских волн:

,, (20)

где. Тогда решение задачи Коши (19) дается формулой

где – решение задачи Коши

, – матрицы (17), (18).

4.3. Подход к решению задачи управления (15) состоит в построении функций таких, что решение задачи Коши (19) с начальной функцией (20) удовлетворяет требованию (15), и последующем применении формулы вида (4).

Представляя функцию, продолженную нулем из в, интегралом Фурье и переходя к полярным координатам, получим:

,

, (21)

где – преобразование Фурье функции. Представим функцию в виде

(22)

где и равны нулю на малых отрезках вблизи точек соответственно. Зададим в кольце вектор-функцию (23)

Зафиксируем. Обозначим – ограничения на интервалы соответственно

,. (24)

Поставим в соответствие парам, функции, как

решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода

(25)

где

– элементы матриц (17), (18). Обозначим

. (26)

Теорема 3.3. Каждому разбиению (22) функции и каждой вектор-функции (23) отвечает решение поставленной задачи управления, вычисляемое по формуле (4), где – первая компонента решения задачи Коши (19) с начальной функцией (20), (26).

Процедура вычисления описана в §3.2.

5. Процесс распространения тепла в пространственном теле описывается краевой задачей в цилиндре :

(27)

Здесь – звездная относительно точки ограниченная область в с границей, матрицы строятся по аналогично (14). Предполагается,.

Задача управления состоит в отыскании функции, обеспечивающей выполнение равенства (15) при заданных. Предполагается. Ниже приводится результат для случая.

5.1. Введем семейство ортов

Поставим в соответствие оператору (27) семейство операторов (16), где

Матрица вычисляется аналогично двумерному случаю.

Матрицы Римана операторов будем называть матрицами Римана трехмерной гиперболической системы (27).

Лемма 1.3. Матрицы Римана трехмерной гиперболической системы уравнений теплопроводности (27) даются формулами

(28)

(29)

где.

Рассмотрим в усеченном конусе задачу Коши (19), где – оператор (27).

Теорема 3.2. Пусть начальная функция представлена в виде суперпозиции плоских волн:

,. (30)

Тогда решение задачи Коши (19), (27) дается формулой

где – решение задачи Коши :

, – матрицы (28), (29).

5.2. Решение задачи управления проводится по такой же схеме, как в пункте 4.3. Разложение функции в суперпозицию плоских волн имеет вид

,

где дается формулой (21) с заменой на и множителя на. Представим функцию в виде суммы (22). Зададим в сферическом кольце вектор-функцию

(31)

и пусть – ограничения на интервалы (24) при фиксированном. Поставим в соответствие парам, функции, как решения интегральных уравнений (25), где

(32)

– элементы матриц (28), (29).

Теорема 3.5. Каждому разбиению (22) функции и каждой вектор-функции (31) отвечает решение поставленной задачи управления, вычисляемое по формуле (4), где – первая компонента решения задачи Коши (19), (27) с начальной функцией (30), (26), где – решения интегральных уравнений (25), (32).

В заключении автор выражает глубокую благодарность научному руководи-телю Р.К. Романовскому за постановку задач, внимание, советы и замечания на протяжении всей работы.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

  1. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в одномер-ном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Дифференц. уравнения. – 2007.– Т. 43, № 5.– С. 650-654.
  2. Жукова, О.Г. Двустороннее граничное управление процессом теплопере-носа в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Сиб. журн. индустр. математики – 2007.– Т 10, № 4(32).– С. 32-40.
  3. Жукова, О.Г. Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / О.Г. Жукова // Дифференц. уравнения.– 2008.– Т. 44, № 1.– С. 82-88.
  4. Романовский, Р.К. Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном материале. Гиперболическая модель / Р.К. Романовский, О.Г. Жукова // Сиб. журн. индустр. математики – 2008.– Т 11, № 3(35).– С. 119-125.
  5. Романовский, Р.К. Гиперболическая модель задачи граничного управления процессом теплопереноса в одномерном твердом материале / Р.К. Рома-новский, О.Г. Жукова // Доклады АН ВШ РФ.– 2006.– № 1(6). – С. 69-77.
  6. Жукова, О.Г. Граничное управление трехмерной гиперболической систе-мой уравнений теплопроводности / О.Г. Жукова // Омский гос. техн. ун-т.­– Омск, 2007.– 10с.: ил.–1.– Деп. в ВИНИТИ 04.12.2007, № 1126 – В 2007.
  7. Жукова, О.Г. Гиперболическая модель задачи граничного управления процессом теплопереноса в одномерном материале / О.Г. Жукова // Тез. докл. Междунар. конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 10–15 июля 2006).– Владимир, 2006.– С.102-103.
  8. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса / О.Г. Жукова // Аналитическая механика, устойчивость и управление движе-нием: труды  IX Междунар. Четаевской конференции (Иркутск, 12 – 16 июня 2007). – Иркутск, 2007. – Т. 3. – С. 86-91.
  9. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом распространения тепла в полубесконечном стержне. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова // Математика в современном мире: тез. докл. Российской конференции (Новосибирск, 17 – 23 сентября 2007). – Ин-т математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2007. – С. 162-163.
  10. Жукова, О.Г. Граничное управление трехмерной гиперболической систе-мой уравнений теплопроводности / О.Г. Жукова // Тез. докл. Междунар. конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 26 июня –2 июля 2008). – Владимир, 2008.– С. 106-108.
  11. Романовский, Р.К. Граничное управление двумерной гиперболической системой уравнений теплопроводности / Р.К. Романовский, О.Г. Жукова // Дифференциальные уравнения и топология.: тез. докл. Междунар. конференции (Москва, 17 – 22 июня 2008).– Москва, 2008. – С. 179-180.
Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»