WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |

На правах рукописи

Жукова Ольга Геннадьевна

ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

01.01.02 – дифференциальные уравнения

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Казань – 2009

Работа выполнена на кафедре основ теории механики и автоматического управления ГОУ ВПО «Омский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Романовский Рэм Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Блохин Александр Михайлович

доктор физико-математических наук,

профессор Чугунов Владимир Аркадьевич

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 26 марта 2009 года в 16 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете им. В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина.

Автореферат разослан «____» февраля 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук,

доцент Е.К. Липачёв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Одна из задач, возникающих в теории колебаний, теории автоматического управления, – разработка методов граничного управления процессами в сплошных средах, описываемыми краевыми задачами для уравнений с частными производными гиперболи-ческого типа. Первые результаты в этом круге проблем были получены в 60-е, 70-е годы минувшего столетия. Серьезное продвижение в связи с потребнос-тями практики произошло в 80-е и 90-е годы в работах А.Г. Бутковского, Ж.-Л. Лионса, О.Ю. Эмануилова, В. Коморника, Ф.П. Васильева, М.М. Потапова и других авторов. В последнее десятилетие вышел большой цикл работ В.А. Ильина и Е.И. Моисеева, посвященный проблеме граничного управления волновыми процессами.

Наряду с работами по этой проблематике большое число исследований посвящено проблеме управления процессами теплопереноса и диффузии, моделируемыми краевыми задачами для уравнений параболического типа: работы А.Г. Бутковского, Ж.-Л. Лионса, А.И. Егорова, Ф.П. Васильева и других авторов. В последние десятилетия интенсивно развивается гиперболическая теория теплопроводности, устраняющая имеющий место в параболической теории парадокс бесконечной скорости распространения тепла. Представляет теоретический и практический интерес разработка подходов к решению задач управления процессом теплопереноса в рамках гиперболической модели с использованием методов теории гиперболических уравнений.

В цикле работ Р.К. Романовского, Е.В. Воробьевой, Е.Н. Стратилатовой построен математический аппарат, позволяющий с единой точки зрения исследовать краевые задачи для некоторых классов гиперболических систем.

Цель работы – разработка на основе указанного математического аппарата подхода к решению задачи граничного управления процессом теплопереноса в однородном материале в рамках гиперболической модели теплопроводности и построение классов решений этой задачи в случаях одномерных, двумерных и трехмерных сред.

В работе используется аппарат функционального анализа, теории гиперболических уравнений, гиперболической теории теплопроводности.

Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие результаты.

1. Вычислены матрицы Римана первого и второго рода гиперболической

системы уравнений теплопроводности.

2. Построено явное представление решений задачи Коши для двумерной и трехмерной гиперболической системы уравнений теплопроводности в виде

суперпозиции плоских волн.

3. Разработан подход к решению задачи граничного управления процессом теплопереноса в однородном теле, состоящий в сведении к задаче начального управления процессом теплопереноса в фиктивном теле, содержащем данное, и последующем использовании развитого в пунктах 1, 2 аппарата.

4. Построены классы решений, зависящие от функциональных параметров, задачи граничного управления процессом теплопереноса:

– в полубесконечном стержне;

– в стержне конечной длины (одностороннее и двустороннее управление);

– в пластинке звездной формы;

– в пространственном теле звездной формы.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы вносят существенный вклад в теорию граничного управления процессами в сплошных средах. Они могут быть использованы специалистами по теплофизике и теплоэнергетике при решении конкретных задач управления процессом теплопереноса, а также при подготовке студентов вузов по указанным специальностям.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006, 2008), на IV Всероссийской научной конференции «Математи-ческие модели и краевые задачи» (Самара, 2007), на IX Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управле-ние движением» (Иркутск, 2007), на Международной конференции «Диффе-ренциальные уравнения, теория функций и приложения» (Новосибирск, 2007), на VI Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2007), на Российской конференции «Математика в современном мире» (Новосибирск, 2007), на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология» (Москва, 2008).

Публикации автора. Результаты диссертации опубликованы в 15 работах, список основных работ приведен в конце автореферата. Из совместных работ [1, 2, 4, 5, 11] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 80 наименований, включая работы автора. В каждой главе и во введении использована своя нумерация параграфов, лемм, теорем и формул. Общий объем диссертации составляет 100 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится обзор литературы и краткая аннотация результатов работы.

1. Глава 1 носит подготовительный характер. В §1.1 кратко излагаются используемые в работе сведения по теории гиперболических уравнений. В §1.2 сформулирована гиперболическая модель теплопроводности. В рамках этой модели процесс распространения тепла в однородном материале описывается системой уравнений

(1)

Здесь первое уравнение – закон сохранения энергии, второе – обобщенный закон Фурье, – температура и вектор теплового потока, постоянные – плотность, удельные теплоемкость и теплопроводность, – малый положи- тельный параметр, имеющий смысл периода релаксации.

В рамках модели тепловой импульс распространяется со скоростью В §1.3 вычислены матрицы Римана одномерной гиперболической системы уравнений теплопроводности и матрицы Римана вспомогательных одномерных гиперболических систем, возникающих при построении решений задачи Коши для двумерной и трехмерной гиперболической системы уравнений теплопроводности.

2. В главах 2, 3 – основных – рассматривается задача граничного управления процессом распространения тепла в однородном материале в рамках модели (1). При произвольно фиксированных начальных значениях температуры и потока из некоторого класса ищется температурный режим на границе тела, обеспечивающий в заданный момент времени заданную температуру тела. К выбору момента предъявляется требование: за это время выходящий из каждой точки тепловой импульс должен успеть достигнуть любой точки тела. В каждом рассматриваемом случае (стержень, пластинка звездной формы, пространственное тело звездной формы) строится класс решений задачи управления, зависящий от функционального параметра.

Подход к решению этой задачи во всех случаях состоит в приведении задачи граничного управления к вспомогательной задаче начального управления с использованием результатов главы 1.

2.1. Поясним подход к решению задачи граничного управления

(2)

для модельного случая, когда тело – круглая пластинка.

Начальная вектор-функция продолжается с большой степенью произвола из круга, занимаемого пластинкой, в круг, выбранный так, что боковая поверхность усеченного конуса в -пространстве с ниж- ним основанием в плоскости и верхним основанием в плоскости является характеристической поверхностью для системы (1) при (рис.1).

В усеченном конусе рассматри- вается задача Коши для системы (1) с продолженной начальной вектор-функцией на нижнем основании. Развитые в главе 1 приемы позволяют вычислить решение этой задачи.

Пусть – ограничение на кольцо продолженной вектор-функции, – компонента решения задачи Коши, указанной в пункте. Ставится задача начального управления: подбора так, чтобы выполнялось равенство

(3)

На практике вычисление приводится в ряде случаев к решению уравнения Вольтерра второго рода с хорошим ядром.

Решению задачи начального управления (3) отвечает решение задачи граничного управления (2), вычисляемое по формуле

. (4)

Аналогичная схема (в усложненном варианте) применяется в случае пластинки звездной формы, а также в одномерном и трехмерном случаях.

2.2. Изложенная в пункте 2.1 процедура решения задачи граничного управления (2) дает подход к описанию класса «допустимых» пар, при которых разрешима задача управления с полным фазовым вектором на выходе: при заданной соответствующий вектор вычисляется по формуле

В диссертации рассматривается задача управления (2). В пунктах 3-5 приводится краткая аннотация результатов глав 2, 3; для упрощения записей начальные данные приняты нулевыми.

3. В случае одномерного материала система (1) принимает вид

(5)

Нетрудно получить

.

Лемма 1.1. Матрицы Римана первого и второго рода гиперболического оператора (5) даются формулами

(6)

где, – функции Бесселя мнимого аргумента,, – символ Кронекера.

3.1. Представим оператор в виде

()

где – оператор дифференцирования по вдоль характеристики с номером Будем говорить, что функция со значениями в принадлежит классу, если: 1) (); 2) для каждой компоненты вектора существует производная ().

Далее в пунктах 3.2, 3.3 под решением (обобщенным) системы (5) понимается функция класса, удовлетворяющая равенству, где оператор понимается в смысле ().

3.2. Полубесконечный стержень. Процесс распространения тепла модели-руется краевой задачей в четвертьплоскости :

(7)

Здесь, выполняется условие согласования нулевого порядка. Задача (7) однозначно разрешима в классе.

Тепловая волна распространяется со скоростью, поэтому влияние управ-ления за время сказывается на участке стержня. Зафиксируем функцию. Поставим задачу отыскания управления, обеспечивающего выполнение равенства

(8)

Рис. 2

Построим на отрезке непрерывную вектор-функцию

Рассмотрим в «усеченном конусе» (рис. 2) задачу Коши для оператора (5)

Решение этой задачи вычисляется по формуле из §1.1 с учетом формул (6) для матриц Римана оператора (5). Последующее применение процедуры, указанной в пункте 2.1, дает следующий результат.

Теорема 2.1. Каждой функции отвечает решение задачи управления (7), (8), вычисляемое по формуле

где – решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода

,

– элементы матрицы (6).

3.3. Стержень конечной длины. В этом случае процесс теплопереноса описывается краевой задачей в полуполосе :

(9)

Здесь, выполняются условия согласования нулевого порядка Задача (9) однозначно разрешима в классе.

Задача управления состоит в вычислении пары (двустороннее управление) либо одной из функций при фиксированной второй (одностороннее управление), обеспечивающих во всех точках стержня выпол-нение равенства (8) при заданных,. Предполагается в этом случае идущие от концов стержня управляющие тепловые импульсы успевают пройти стержень хотя бы один раз. Ниже приводится результат для случая когда управ-ление двустороннее и. В этой ситуации усеченный конус имеет вид, указанный на рис. 3.

Представим функцию в виде

(10)

Зададимся функциями.

Поставим в соответствие паре функцию на отрезке как решение интегрального уравнения Вольтерра

(11)

паре функцию на отрезке как решение уравнения

(12)

где

– элементы матрицы (6).

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»