WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Некоторые результаты вычислений представлены на рис. 11 и 12. На рис. 11 изображены границы параметрических резонансов при действии только периодической силы при. Как и следовало ожидать, существенными здесь являются главные параметрические резонансы на частотах и комбинационные резонансы суммарного типа на частотах. Причем области неустойчивости различного типа могут накладываться друг на друга. При синфазном изменении параметров нагрузки и области неустойчивости показаны на рис. 12. Здесь присутствуют различные параметрические резонансы: главные, комбинационные суммарного и разностного типа. Обнаружен также кратный параметрический резонанс суммарного типа.

Изучались возможности параметрической стабилизации динамически неустойчивой системы, т.е. для случая, когда один из параметров нагрузки постоянен и равен или превышает критическое значение. На рис. 13 построены границы области параметрической стабилизации для случая и. При превышении следящей силой своего критиче-

Рис. 11. Области параметричес- Рис. 12. Области параметричес-

ких резонансов при действии ких резонансов при синфазном измене-

только периодической мёртвой силы нии параметров нагрузки

Рис. 13. Области параметрической стабилизации

ского значения приложение периодической силы стабилизирует систему в окрестности частот и. Наиболее близка к оси ординат, т.е. реализующаяся при малых значениях амплитуды параметрического воздействия, область в окрестности

Четвертая глава посвящена исследованию влияния внутреннего трения на параметрические колебания вращающегося вала. Обозначим через вектор поперечных перемещений сечений вала относительно оси вращения в неподвижной системе координат и применим метод главных координат, где вектор состоит из форм собственных изгибных колебаний вала, обобщенные координаты включены в матрицу

.

Для неизотропного вала изгибные колебания будут описываться уравнением с периодическими коэффициентами. При отсутствии присоединенных масс и с учетом нелинейности за счет продольной силы, возникающей в вале при поперечных смещениях и неподвижных опорах, это уравнение будет иметь вид

,

где

,

,,

.

В этих формулах элементы матриц и вычисляются как интегралы от собственных форм и их производных, а также обозначено

Для случая на рис. 14 построены зависимости критической частоты вращения от коэффициента внутреннего трения при различных значениях коэффициента внешнего трения. Вид кривых подтверждает формулу для, полученную В.В. Болотиным для безинерционного вала с диском, где собственная частота изгибных колебаний. Аналогично этой формуле из рис. 14 следует, что при неограниченном росте критическая частота приближается к первой собственной частоте изгибных колебаний вала, составляющая для рассматриваемой системы.

Для исследования параметрических резонансов линеаризованное уравнение движения интегрировалось раз на одном периоде при начальных условиях, соответствующих столбцам единичной матрицы размерностью. Из значений решений в конце периода составлялась матрица монодромии и вычислялись ее собственные числа мультипликаторы. По теории ФлокеЛяпуноваЧетаева тривиальное решение уравнения будет устойчивым, если все мультипликаторы по модулю меньше единицы, и неустойчивым, если модуль хотя бы одного мультипликатора превысит единицу. На основе этого метода строились границы области неустойчивости на плоскости параметров: амплитуда параметрического воздействия и частота вращения вала. Параметр характеризует степень неизотропности жесткостных свойств вала. Указанные на рис. 15 границы построены для случая коэффициента внешнего трения, равного, при различных значениях коэффициента внутреннего трения. Области неустойчивости, расположенные справа от границ, состоят из двух частей: область параметрического резонанса, отмеченная на рис. 15 горизонтальной штриховкой, и область автоколебаний, возникающих за счет действия неконсервативных сил внутреннего трения. Для случая эта область отмечена вертикальной штриховкой.

Рис. 14. Зависимость критической Рис. 15. Области неустойчивости

скорости вращения вала от и параметрического резонанса при

коэффициента внутреннего трения и различных значениях

коэффициента внутреннего трения

Из рисунка следует, что величина внутреннего трения, существенно снижая верхнюю границу критических частот вращения, практически не влияет на положение границы параметрического резонанса.

Для исследования характера движения системы в области неустойчивости проводилось интегрирование нелинейного уравнения. На рис. 16 построена амплитудночастотная характеристика при,, и. По оси ординат здесь отложена амплитуда изгибных колебаний вала в установившемся режиме. Амплитуда отлична от нуля в области параметрического резонанса в диапазоне частот и при в

Рис. 16. АЧХ для среднего сечения вала при,,,.

области динамической неустойчивости из-за наличия внутреннего трения. Для области параметрического резонанса имеет место явление затягивания, что проявляется в зависимости решений для амплитуды колебаний в окрестности правой граничной точки вышеуказанного частотного диапазона от начальных условий (эффект забрасывания). Кривая 1 на рис. 16 построена для начальных отклонений среднего сечения вала, равных 0,0005 при нулевой начальной скорости, кривая 2 для начальных отклонений 0,005. На рис. 17 представлены траектории движения среднего сечения вала в областях неустойчивости прямолинейной формы при частоте вращения (рис. 17,а) и при (рис. 17,б) и указанных выше значениях остальных параметров. Тонкими линиями показаны начальные этапы движения, которые при стремятся к установившимся движениям круговой формы (жирные замкнутые линии). Более подробный анализ с помощью сечений Пуанкаре показал, что в области параметрического резонанса устанавливается периодическое движение с частотой, т.е. имеет место прямая синхронная прецессия. В этом случае сечение Пуанкаре представляет собой единственную изолированную точку. При частотах вращения, больших критических, движение является квазипериодическим, состоящим из гармоник с несоизмеримыми периодами. Соответствующее сечение Пуанкаре замкнутая кривая.

Рис. 17. Траектории движения среднего сечения вала в областях неустойчивости прямолинейной формы при (а), (б)

В пятой главе проводится исследование параметрических колебаний трубопровода с протекающей жидкостью. Рассматривается прямолинейный участок трубопровода, защемлённый на одном конце, наполненный невязкой жидкостью, которая движется с невозмущённой скоростью (рис. 18).

Рис. 18. Участок трубопровода с протекающей жидкостью

Уравнения движения системы принимается в виде

,

где прогиб трубопровода, масса жидкости, приходящаяся на единицу длины, и введены следующие параметры

Решение уравнения движения представлялось в виде разложения по формам собственных колебаний консольного стержня, в результате приходим к уравнению относительно вектора обобщенных координат

где элементы матриц и вычисляются как интегралы от собственных форм и их производных.

Для случая постоянной скорости протекания жидкости на рис. 19 для представлена зависимость критических значений параметра скорости, соответствующая границе, пересечение которой приводит к колебательной неустойчивости трубопровода (флаттеру). Область под кривой можно трактовать как область устойчивости на плоскости. На этом же рисунке приведена зависимость частоты флаттера, соответствующая значениям мнимой части характеристических показателей, переходящих в правую полуплоскость при критических значениях параметров.

Рис. 19. Граница области устойчивости и частота флаттера при потере устойчивости

Рассмотрен случай периодического изменения скорости протекания жидкости, т.е.

.

Здесь круговая частота изменения периодической составляющей скорости, связанная с периодом известным соотношением, амплитуда флуктуаций скорости в долях от среднего значения.

Методом матриц монодромии исследовалось влияние параметра модуляции и частоты параметрического воздействия на положение границ области устойчивости на плоскости. На рис. 20 представлены границы области устойчивости трубопровода на плоскости при частоте параметрического воздействия (пульсаций скорости протекания жидкости) равной и различных значениях параметра модуляции параметрического воздействия. Эти значения указаны на рис. 20 у соответствующих кривых. Штриховая линия – граница области устойчивости при постоянной скорости протекания жидкости. Кроме несущественных участков стабилизации системы при малых значениях параметра в окрестности, непостоянство скорости жидкости сужает область устойчивости и тем больше, чем больше параметр модуляции. Следует также отметить весьма сложный вид границ устойчивости, характерный для случая, когда неконсервативная система подвергается параметрическому воздействию. На рис. 21 границы области устойчивости построены при постоянной степени модуляции для различных частот параметрического воздействия. Здесь существенное влияние на положение границы наблюдается для малых значений () относительной массы жидкости. Причем проявляется как стабилизирующее влияние параметрического воздействия (, ), так и дестабилизирующее немонотонное влияние параметрического воздействия.

Рис. 20. Границы области устой- Рис. 21. Границы области устой-

чивости при и различных чивости при и для различных

значениях частот параметрического воздействия

Рис. 22 иллюстрирует динамическое поведение системы на границе области устойчивости. Для относительной массы жидкости, пульсаций скорости с частотой и различных коэффициентов модуляции (рис. 22,а), (рисунок 22,б), (рис. 22,в) и (рис. 22,г) построены фазовые портреты движения конца участка трубопровода () для установившегося участка движения. При критические значения параметров системы приводят к образованию устойчивого предельного цикла с частотой. На фазовой плоскости такому предельному циклу соответствует эллипс (рис. 22,а). Введение в систему параметрического воздействия с малой амплитудой приводит к бифуркации типа удвоения периода, движение существенно усложняется, оставаясь периодическим (рис. 22,б). Частота движения становится равной 10. При и периодические движения на границе области устойчивости происходят с частотой.

Рис. 22. Фазовые портреты движения конца трубопровода при, для различных значений коэффициента модуляции

Сводка результатов и выводы

1. Проведен пересчет и дополнительные численные исследования областей параметрического резонанса для систем с одной и двумя степенями свободы. В последнем случае, как и в справочнике (см. ссылку на стр. 5 автореферата), проведен анализ структуры коэффициентов возбуждения. Рассмотрены параметрические резонансы в некосервативной системе с двумя степенями свободы. Вычисления проводились с использованием метода матриц монодромии с проверкой точности положения границы параметрического резонанса непосредственным интегрированием уравнений движения. Интегрирование уравнений параметрических колебаний проводилось с использованием соответствующих схем имитационного моделирования. Получены уточнения некоторых графиков, приведенных в упомянутом выше справочнике.

2. Построены границы области устойчивости и определена частота флаттера при постоянных по величине действующих силах для нелинейного уравнения движения двухзвенного маятника, находящегося под действием потенциальной и следящей сил. Проведено исследование положения границ параметрического резонанса для двухзвенного маятника при различных вариантах периодического изменения величины потенциальной и следящей силы. Кроме главных параметрических резонансов получены комбинационные резонанс суммарного типа при действии периодической мертвой силы и комбинационный резонанс разностного типа при действии периодической следящей силы. Изучены траектории мультипликаторов на комплексной плоскости. Численно проанализирована возможность параметрической стабилизации статически и динамически неустойчивой системы. Проведено исследование динамического поведения нелинейной системы в области параметрического резонанса. Показано, что в области неустойчивости в зависимости от близости к границе существуют периодические, квазипериодические и хаотические движения.

3. Проведено исследование параметрических колебаний консольного стержня при одновременном нагружении мертвой и следящей силами. Применением метода разложения по формам собственных колебаний уравнение движения стержня сведено к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для случая постоянных по величине нагрузок построена граница устойчивости на плоскости параметров и определена частота флаттера при динамической потери устойчивости. Для построения границ неустойчивости при периодическом изменении нагрузок была разработана схема имитационного моделирования в системе Simulink. Рассмотрены различные варианты параметрического нагружения стержня с построением границ областей неустойчивости и изучением поведения мультипликаторов. Здесь для системы, находящейся под действием только периодической следящей силы, получен суммарный резонанс. А для случая синфазного изменения следящей и мёртвой сил обнаружен кратный параметрический резонанс суммарного типа. Проанализирована возможность параметрической стабилизации статически и динамически неустойчивой системы.

4. Рассмотрены нелинейные уравнения движения вращающегося вала с распределенной массой и имеющего различные главные моменты инерции с учетом неконсервативных сил внутреннего трения. Методом главных координат проведена редукция системы к системе с конечным числом степеней свободы. Исследована устойчивость вращающегося вала, определены критические скорости. Показано, что область неустойчивости является совокупностью области параметрического резонанса и области автоколебаний, возникающих за счет действия неконсервативных сил внутреннего трения. Для нелинейной системы проведено построение амплитудночастотной характеристики и исследован характер движения вала в области неустойчивости при вращении с закритической частотой.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»