WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |

На правах рукописи

Васина Валентина Николаевна

АНАЛИЗ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ МАШИН И КОНСТРУКЦИЙ ПРИ НЕКОНСЕРВАТИВНОМ НАГРУЖЕНИИ

01.02.06 – Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Москва – 2008

Работа выполнена в Московском энергетическом институте (техническом университете) на кафедре динамики и прочности машин

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент

Радин Владимир Павлович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Потапов Вадим Дмитриевич

доктор физико-математич. наук, профессор

Кирсанов Михаил Николаевич

Ведущая организация Институт Проблем Механики РАН

Защита состоится «28» мая 2008 г. в 1400 в аудитории Б-112 на заседании диссертационного совета Д 212.157.11 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: 111250 Москва, Красноказарменная ул., д. 17.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета)

Автореферат разослан «__» _________ 2008 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета

доктор технических наук, профессор О.В. Трифонов

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Динамические расчеты машин и конструкций при параметрических воздействиях имеют ряд особенностей, главная из которых состоит в необходимости исследования устойчивости положений равновесия, а для нелинейных систем – в анализе закритического поведения. В настоящее время можно считать, что динамическое поведение канонических систем при параметрических воздействиях исследовано достаточно подробно. Менее изученными остаются вопросы параметрических колебаний линейных и нелинейных систем при наличии неконсервативных нагрузок. Подобного рода задачи возникают при действии на механические системы переменных во времени следящих сил, учете сил внутреннего трения (параметрические колебания вращающихся валов), учете непостоянства скорости протекания жидкости (расчеты трубопроводов) и т.д.

Цель работы. Целью диссертационной работы является систематический анализ параметрических колебаний различных механических систем при действии неконсервативных нагрузок. На основе разработанного программного продукта провести анализ параметрических колебаний таких систем, как двухзвенный маятник и консольный стержень при действии переменных по величине потенциальных и следящих сил, исследовать влияние сил внутреннего трения на параметрические колебания вращающегося вала, а также проанализировать динамическое поведение участка гибкого трубопровода при протекании по нему жидкости с переменной скоростью.

Методы исследования. Для построения областей параметрического резонанса используется метод матриц монодромии с применением численного интегрирования уравнений движения. Характер движения нелинейных систем в закритической области исследуется путем построения сечений Пуанкаре. В некоторых случаях динамические системы анализируются методами имитационного моделирования. Параметрические колебания систем с распределенными параметрами исследуются с использованием метода главных координат.

Научная новизна. В работе впервые проведен систематический анализ параметрических колебаний ряда неконсервативных систем с использованием современных средств вычислительной математики и техники. Обнаружены новые эффекты, присущие неконсервативным системам при параметрических воздействиях. В части исследования колебаний консольного стержня при одновременном действии мёртвой и следящей сил обнаружены новые комбинационные резонансы. А в задаче колебаний трубопровода с протекающей жидкостью проиллюстрировано сложное взаимодействие различных форм колебаний системы при её приближении к критическому состоянию.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, сопоставлением результатов, полученных различными методами, решением большого числа тестовых задач и сравнением ряда результатов с результатами, приведенными в известных справочниках.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют теоретическое и практическое значение. Они позволяют уточнить существующее представление о характере поведения параметрических систем при одновременном действии потенциальных и неконсервативных нагрузок. Могут быть использованы при проектировании и динамическом расчёте элементов конструкции, находящихся при сложном нагружении.

Апробация работы и публикации. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались:

на Одиннадцатой Международной научно – технической конференции студентов и аспирантов «Радиотехника, электротехника и энергетика». 1 – 2 марта, 2005 г., Москва.

на Двенадцатой Международной научно – технической конференции студентов и аспирантов «Радиотехника, электротехника и энергетика». 2 – 3 марта, 2006 г., Москва.

По теме диссертации опубликованы 3 статьи.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, сводки результатов и выводов, списка литературы из 75 наименований. Объем работы – 128 страниц основного текста, включая 55 рисунков.

Краткое содержание работы

Во введении приводятся определение понятия параметрические колебания и примеры механических систем, математические модели, движения которых описываются дифференциальными уравнениями с переменными (периодическими) коэффициентами. Проводится обзор основных литературных данных и формулируется постановка задачи об исследовании параметрических систем. Дается краткое содержание диссертации, обоснование важности и актуальности темы исследования параметрических колебаний в неконсервативных системах.

В первой главе в матричной форме излагается теория ФлокеЛяпунова и метод матриц монодромии для построения границ областей параметрического резонанса. С целью верификации алгоритмов и программ, применяемых в дальнейших вычислениях, в данном разделе проводятся вычисления областей параметрического резонанса для классических систем с одной и двумя степенями свободы, уравнения движения которых имеют вид

,

где вектор обобщённых координат, и симметричные, положительно определенные постоянные матрицы;единичная матрица; постоянная матрица произвольной структуры, характеризующая структуру параметрического возбуждения. Интегрирование уравнений движения с целью построения матриц монодромии проводилось с использованием системы имитационного моделирования Simulink. Блоксхема для уравнения движения представлена на рис. 1.

Рис. 1. Блок – схема имитационного моделирования для исследования параметрических колебаний системы с двумя степенями свободы

Результаты определения границ параметрического резонанса сравнивались с данными справочника1 (глава VII). В некоторых случаях имеются несоответствия графиков, полученных в диссертационной работе, с графиками, представленными в справочнике. Это касается, например, областей неустойчивости для системы с одной степенью свободы, приведенных на рис. 2, для системы с двумя степенями свободы при, изображенных на рис. 3.

Рис. 2. Области параметрического Рис. 3. Области параметрического

резонанса для системы с одной резонанса для системы с двумя

степенью свободы степенями свободы

Как и в вышеупомянутом справочнике, исследованы параметрические резонансы в системах, находящихся под действием позиционных неконсервативных сил. Построены области параметрической стабилизации динамически и статически неустойчивых систем.

В конце первой главы сформулирована цель диссертации.

Вторая глава посвящена исследованию плоских колебаний двухзвенного маятника (рис. 4), находящегося под действием силы, не изме-

1 Вибрации в технике: Справочник. Т.1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина.- М.: Машиностроение. – 1999. – 504 с.

няющей своего направления, и следящей силы, направленной вдоль оси второго звена при любых отклонениях маятника.

Рис. 4. Двухзвенный маятник под действием

потенциальной и следящей сил

Матричная форма уравнений движения относительно вектора угловых перемещений имеет вид:

,

где введены обозначения

,,

,,,

Для линеаризованного уравнения движения построены области неустойчивости при постоянных параметрах нагружения, и области параметрического резонанса при, на плоскости. Изучались траектории движения мультипликаторов при изменении параметров. Рассматривались различные случаи нагружения: воздействие только периодической мёртвой силы, воздействие только периодической следящей силы и одновременное синфазное изменение сил и с одинаковой частотой. В первом случае главные параметрические резонансы наблюдаются на частотах и ( и первая и вторая собственные частоты маятника), а комбинационный резонанс суммарного типа имеет место в окрестности частоты (рис. 5). Изучение траекторий мультипликаторов для и показало, что на границе областей неустойчивости имеются периодические решения, так как мультипликаторы выходят за единичную окружность через значения, и почти периодические решения для комбинационного резонанса суммарного типа. Во втором случае нагружения (рис. 6) кроме главных параметрических резонансов и наблюдается параметрический резонанс разностного типа. Здесь также выхода мультипликатора из единичной окружности через значение не происходит, так как кроме почти периодических решений в окрестности частоты возможны только периодические решения. Аналогично система себя ведёт и в третьем случае нагружения.

Рис. 5. Области неустойчивости Рис. 6. Области неустойчивости

при периодическом изменении при периодическом изменении

мёртвой силы и постоянной по следящей силы и постоянной по

величине следящей силе величине мёртвой силе

Рассматривалась возможность параметрической стабилизации неустойчивости. Исследование проводилось для величин параметров задачи, близких или равных их критическим значениям. Показано, что при постоянной по величине следящей силе,, и изменяющейся по гармоническому закону мёртвой силе стабилизировать систему возможно даже при невысоких значениях амплитуды параметрического воздействия (рис. 7). Изучалась эволюция границы области устойчивости, построенная при постоянных по величине значениях мёртвой и следящей сил на плоскости (рис. 8), при переходе к периодической мертвой силе для некоторых значений частоты (кривая ), и. Очевидно, что при соответствующем выборе частоты параметрического воздействия область устойчивости может быть существенно расширена.

Исследовалось динамическое поведение нелинейной системы в области параметрического резонанса. Строились амплитудно-частотные характеристики при для различных вариантов параметрического нагружения двухзвенного маятника, фазовые портреты и сечения Пуанкаре, по которым можно судить о характере динамического поведения. Задавалось значение и брался ряд значений с продвижением вглубь параметрического резонанса. Для построения фазовых портретов и сечений Пуанкаре уравнения движения интегрировались на протяжении (безразмерное время). После исключения переходного участка дискретная выборка для фазовых переменных формировалась как их значения в моменты времени. При малых значениях параметра, т.е. в окрестности границы неустойчивости, фазовый портрет замкнутая кривая, а сечение

Рис. 7. Области неустойчивости Рис. 8. Границы области устойчи-

при периодическом изменении вости на плоскости параметров

мёртвой силы и величине следящей нагружения при различных значениях

силы, превышающей своё частоты мёртвой силы

критическое значение

Пуанкаре представляет собой конечный набор точек. Движение является периодическим. При возрастании фазовый портрет также замкнутая кривая, а сечение Пуанкаре – отрезки линий. Движение в этом случае квазипериодическое и представляет собой сумму гармоник с несоизмеримыми периодами.

На рис. 9 приведены фазовые портреты и сечения Пуанкаре для далеких закритических областей (а, б) и (в, г). Здесь в первом случае фазовый портрет аналогичен неустойчивому предельному циклу, стремящемуся к некоторому замкнутому аттрактору. Это подтверждает и сечение Пуанкаре, представляющее собой компактный случайный набор точек. При в области параметрического резонанса реализуются хаотические движения. Это наблюдается на фазовом портрете и на сечении Пуанкаре, образующем фрактальный набор точек. Таким образом, по мере удаления от границы параметрического резонанса происходит переход характера движения системы от периодического к хаосу.

В третьей главе проводится анализ устойчивости стержня с изгибной жесткостью, погонной массой и длиной, жестко защемленного на одном конце и нагруженного на другом переменными во времени нагрузками, направление которой неизменно, и, направление которой при любых перемещениях совпадает с направлением касательной к изогнутой оси стержня в точке приложения этой силы. Силы изменяются во времени по

Рис. 9. Фазовые портреты и сечения (а, в) Пуанкаре (б, г) далеких

закритических областей (а, б) и (в, г)

гармоническому закону. Представим прогиб в виде ряда по формам собственных колебаний консольного стержня, и для удобства вычислений с помощью дельтафункции перенесем проекцию силы в уравнение

.

Приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

,

где обозначено

.

Матрицы, входящие в уравнение, вычисляются по формулам

На рис. 10 представлена блок-схема имитационного моделирования для исследования параметрических колебаний консольного стержня, с помощью которого интегрировались уравнения движения, и строилась матрица монодромии.

Рис. 10. Блок – схема имитационного моделирования для исследования параметрических колебаний консольного стержня

Pages:     || 2 | 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»