WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |

На правах рукописи

Цепаев Алексей Викторович

МЕТОДЫ ДЕКОМПОЗИЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ

ЗАДАЧ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Казань – 2008

Работа выполнена в Институте механики и машиностроения КазНЦ РАН

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник,

Мазуров Петр Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бадриев Ильдар Бурханович

доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник,

Копысов Сергей Петрович

Ведущая организация: Институт прикладной математики

им. М.В. Келдыша РАН (г.Москва)

Защита состоится «04» декабря 2008 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.081.21 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлёвская, 18, корп. 2, ауд. 218.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан «03» ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д 212.081.21

д.ф.-м.н. Задворнов О.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. С развитием компьютерной техники появилась возможность использования многопроцессорных вычислительных систем для решения сложных математических задач. К таким задачам относятся трехмерные задачи математической физики в областях сложной геометрии. При их численном решении сеточными методами возникают системы уравнений большой размерности. Одним из эффективных подходов к численному решению таких задач является подход, основанный на разделении решаемой задачи на подзадачи на основе методов декомпозиции области. Эти методы являются основой для построения параллельных алгоритмов. Разработка новых параллельных алгоритмов и создание комплексов программ для их реализации на многопроцессорных вычислительных системах является актуальной задачей.

Диссертация посвящена численному решению трехмерных задач фильтрации жидкости в нефтяных и водоносных пластах, вскрытых системой скважин. Применение методов декомпозиции области к таким задачам является мотивированным подходом.

Цели диссертационной работы:

- разработка методов декомпозиции области для численного решения трехмерных задач фильтрации жидкости в областях сложной геометрии;

- построение алгоритмов, основанных на методах декомпозиции области, и их реализация на многопроцессорных вычислительных системах;

- численное тестирование алгоритмов с использованием различного числа процессоров при решении прикладных задач.

Научная новизна результатов.

Разработаны два новых метода декомпозиции области для решения трехмерных задач фильтрации жидкости. Первый – для определения поля давления, второй – для определения поля насыщенности. Предложенные методы протестированы на многопроцессорных вычислительных системах при численном решении задач:

- напорной однофазной фильтрации, подчиняющейся линейному закону Дарси и нелинейному закону Форхгеймера;

- напорно-безнапорной фильтрации;

- двухфазной и трехфазной фильтрации.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением моделей механики сплошной среды и методов вычислительной математики, а также их сравнением с решениями поставленных задач классическими методами.

Практическая ценность. Предложенные методы применимы для решения важных практических задач фильтрации жидкости, в том числе задач нефтедобычи, экологии и т.д. Они имеют общий характер и могут быть использованы при численном решении краевых задач с большим числом особенностей, требующих сгущения сетки.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XI международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС’2001, Москва-Истра, 2001), IV научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Республики Татарстан (Казань, 2001), VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 2002), конференции «Современные проблемы гидрогеологии и гидромеханики» (Санкт-Петербург, 2002), Всероссийской конференции «Высокопроизводительные вычисления и технологии (ВВТ-2003)» (Ижевск, 2003), XVII сессии международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004), международном семинаре «Супервычисления и математическое моделирование» (Саров, 2006), итоговых научных конференциях КазНЦ РАН, на семинарах Института механики и машиностроения КазНЦ РАН.

Работа выполнена в рамках программы фундаментальных исследований Президиума РАН "Параллельные вычисления на многопроцессорных вычислительных системах".

Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, выводов и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 97 страниц, включая 18 таблиц и 23 рисунков.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, список которых приведен в конце автореферата.

СТРУКТУРА И КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается обзор литературы, формулируются цели исследования и положения, выносимые на защиту.

В первом разделе рассматривается трехмерная задача напорной фильтрации жидкости, подчиняющейся линейному закону Дарси. Строится алгоритм решения уравнения для напора на сетках со сгущающимися участками, основанный на методе декомпозиции области.

В п. 1.1 даётся постановка задачи. Необходимо определить поле напора в ограниченной области D из решения уравнения

(1.1)

при граничных условиях

на, (1.2)

на, (1.3)

при или,, ( 1.4)

где - внешняя граница области D,, K - коэффициент фильтрации, Sk - суммарная поверхность интервалов вскрытия k-ой скважины, H0 и Hk - заданные напоры, - заданное значение нормальной составляющей скорости фильтрации, Qk - расход k-ой скважины, N –число скважин. Уравнения (1.1)-(1.4) описывают напорную однофазную стационарную фильтрацию, подчиняющуюся закону Дарси.

В п. 1.2 строится разбиение области решения задачи на подобласти. Для области D имеем следующие соотношения:,,,, где Dk - прискважинные подобласти. Определим области Vk как области интервалов вскрытия скважин. Объединение является дополнением многосвязной области D до односвязной. Поверхности интервалов вскрытия являются внутренними границами области D. Весь пласт, как односвязная область, покрывается грубой сеткой. От узлов грубой сетки, расположенных на граничной поверхности прискважинных подобластей, строятся сетки, сгущающиеся к интервалам вскрытия скважин. Грубая сетка вне сгущающихся участков является основной грубой сеткой, а грубые сетки на сгущающихся участках считаются дополнительными грубыми сетками. Грубая сетка вне сгущающихся участков и сетки, сгущающиеся к интервалам вскрытия скважин, образуют сетку, в узлах которой требуется определить сеточную функцию из решения системы (1.1)-(1.4). Без декомпозиции области решение определяется на сетке. В предлагаемом методе с декомпозицией области решение в области представляется как, а в областях представляется в виде суммы двух решений: одно определено в узлах сгущающегося участка сетки, другое - в узлах дополнительной грубой сетки в области.

В п. 1.3 описывается схема метода решения задачи, основанного на декомпозиции области. Для описания схемы используются сеточные шаблоны и балансовые уравнения для узлов граничных поверхностей.

В п. 1.4 строится алгоритм решения задачи в общем случае на основе предлагаемого метода декомпозиции области. Даются постановки задач для,,. Решения, и при известных граничных значениях,, на независимо определяются из соответствующих систем уравнений. При выполнении условий на границах раздела относительно напоров и относительно нормальных составляющих скоростей фильтрации для определения решений,, достаточно задания граничных значений. При значениях система уравнений эквивалентна исходной системе уравнений. Для решения соответствующих систем уравнений строится итерационный процесс. С увеличением номера итерации значения стремятся к нулю, и -ое приближение напора, определяемое решением во внескважинной области и решениями в прискважинных подобластях, стремится к решению системы (1.1)-(1.4).

Данный алгоритм для определения напора можно записать в виде:

1) В начальном приближении, а и совместно определяются на грубой и дополнительных грубых сетках из решения системы (1.1)-(1.4).

2) На i-ой итерации независимо решаются системы уравнений на сгущающихся участках для определения при граничных условиях на границах с учетом условия (1.4).

3) Совместно определяются решения, на грубой и дополнительных грубых сетках с условиями и на границах раздела без учета (1.4).

В п. 1.5 приводятся результаты численных экспериментов. Рассматривался пятислойный пласт с различными толщинами слоев и коэффициентами фильтрации. Пласт считался непроницаемым за исключением кровли, на которой задавалось граничное условие 2-го рода qn=3.4м/сут, и противоположных участков боковой поверхности пятого слоя с граничными условиями 1-го рода  = 10 м и  = 40 м. Для аппроксимации уравнений использовался метод Галеркина, полученная система алгебраических уравнений решалась методом сопряженных градиентов с предобуславливающей матрицей, построенной с помощью неполного разложения Холесского. Задачи решались на многопроцессорной вычислительной системе МВС-1000. В табл. 1 приведено время решения задач с различным числом скважин, полученное алгоритмом с декомпозицией области (различное число процессоров) и без декомпозиции области (один процессор). В обоих случаях под решением понимается определение сеточной функции с одной и той же заданной точностью.

Таблица 1. Время решения задач при заданных расходах на скважинах.

Число скважин

Число узлов

Число процессоров

Решение задачи с декомпозицией области

Решение задачи без декомпозиции области

1

15978

1

17сек

16сек

10

46866

1

1мин 21сек

1мин 25сек

5

55сек

50

184146

1

4мин 57сек

9мин 26сек

5

2мин 05сек

14

1мин 50сек

100

355746

1

12мин 45сек

176мин 36сек

5

5мин 14сек

14

2мин 25сек

Показана эффективность предложенного алгоритма с декомпозицией области при решении задач с большим числом сгущающихся участков сетки по сравнению с алгоритмом без декомпозиции области. При решении задачи со ста скважинами без декомпозиции области время решения резко возрастает, что объясняется нехваткой оперативной памяти компьютера и использованием памяти на жестком диске.

Во втором разделе рассматривается решение трехмерной задачи напорной фильтрации жидкости, подчиняющейся нелинейному закону Форхгеймера.

В п. 2.1 дается постановка задачи. Пласт считается напорным, ограниченным, фильтрационное течение стационарным, однофазным. В случае, когда значение числа Рейнольдса больше критического значения, закон Дарси нарушается и фильтрационное течение описывается двучленным нелинейным законом Форхгеймера, где A1/K, - коэффициент фильтрации, - модуль вектора скорости фильтрации, B - константа пористой среды. Задача решается в следующей постановке: требуется определить поле напора h в области из решения системы уравнений

в, (2.1)

в,, (2.2)

в (2.3)

при граничных условиях

на, (2.4)

на, (2.5)

при или,, (2.6)

где - области выполнения нелинейного закона фильтрации, - внешняя граница области,, - суммарная поверхность интервалов вскрытия -ой скважины, и - заданные напоры, - скорость фильтрации, - нормальная составляющая скорости фильтрации, - заданное значение нормальной составляющей скорости фильтрации, - расход k-ой скважины, - число скважин. Границы областей заранее неизвестны и должны определяться в процессе решения. В постановке задачи предполагается. В случае нарушения этого условия границы прискважинных зон могут быть расширены вплоть до общих границ ().

Pages:     || 2 | 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»