WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

В правой части (19) член с внутригрупповым рассеянием отделен от остальных слагаемых, а символом «~» для краткости обозначен промежуточный результат на итерации. Направление полета частиц учтено в знаках величин. Для записи результата использовано приращение индекса, определенное с помощью функции, которая принимает значения в соответствии со знаком ее аргумента: ; ;. Коэффициенты,, - площади боковых поверхностей ячейки, - объем ячейки.

Система уравнений для поправок получается следующим образом. Умножим (19) на угловой вес и просуммируем по всем направлениям. В результате получим следующее уравнение:

, (20)

где

,,,

слагаемое представляет собой ток из рассматриваемой ячейки через грань. Поправки вводятся так, чтобы восстановить баланс для промежуточного результата итерации с номером, предполагая, что токи, выходящие из рассматриваемой ячейки через ее грани, пропорциональны скалярному потоку, который образуется в этой ячейке, и коэффициент пропорциональности равен :

. (21)

В результате получим уравнение для поправок, справедливое в каждой внутренней ячейке:

(22)

Для решения системы диффузионно-подобных уравнений (22) относительно поправок используется итерационный метод верхней релаксации [2]. Точным решением является единичная поправка, если на итерации по столкновениям (19) в каждой внутренней точке потоки до и после итерации совпадают. Итерация решения уравнения (19) заканчивается перенормировкой (21) скалярных потоков:

. (23)

Угловые моменты потока также нормируются умножением на, что позволяет сохранять угловое распределение промежуточного результата итерации. Для повышения эффективности ускорения используется алгоритм [12] увеличения фиктивных токов на границе каждой ячейки.

Исследована устойчивость метода пространственного ребаланса с помощью Фурье-анализа его линеаризованного приближения совместно с «алмазной» схемой [2] в одномерной плоской геометрии на равномерной сетке. Устойчивость этого метода ранее не исследовалась. Рассмотрен случай изотропного рассеяния частиц на специальном классе задач с постоянными сечениями и постоянным изотропным источником в бесконечной области. Точным решением этой задачи является постоянный скалярный поток, где.

Полная система конечно-разностных уравнений в одномерной геометрии для решения этой задачи с ускорением методом пространственного ребаланса в приближении метода дискретных ординат на равномерной сетке по переменной с шагом может быть записана на внутренней итерации с номером в следующем виде:

, (24)

, (25)

, (26)

,, (27)

,, (28)

,, (29)

, (30)

, (31)

где - направляющие косинусы и - веса квадратуры,. В правой части (24) слагаемое с внутригрупповым рассеянием определяется по приближению скалярного потока на предыдущей итерации. В эту систему входит уравнение (25) «алмазной» схемы. По квадратурной формуле (26) вычисляется промежуточный скалярный поток, который в случае отсутствия ускорения подставляется в правую часть (24) для расчета на следующей итерации. При расчете с ускорением вычисляются односторонние токи по формулам (27), которые увеличиваются по формулам (28) и (29) с множителем на каждой внутренней итерации. Увеличенные токи являются коэффициентами системы конечно-разностных уравнений (30) относительно поправок. Итерация заканчивается перенормировкой (26) скалярных потоков.

Для исследования устойчивости метода пространственного ребаланса (24) – (31) предполагается следующее приближение скалярного потока вблизи точного решения:

, (32)

где. Будем считать, что промежуточные значения углового и скалярного потока на итерации имеют аналогичный вид, а поправки имеют линейный вид:

. (33)

Тогда можно оценить устойчивость линеаризованного приближения, определяя, куда стремится линейная добавка к решению : к нулю или к бесконечности. Подставим (32) и (33) в уравнения (24) – (31) и приравняем члены при одинаковых степенях. Члены порядка автоматически удовлетворятся. Пренебрегая членами порядка, получим систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами для линейных добавок к решению, к которой можно применить Фурье-анализ устойчивости:

, (34)

, (35)

, (36)

, (37)

, (38)

где введено значение.

Для анализа устойчивости системы (34) – (38) применяем дискретное преобразование Фурье по гармоникам (, - число пространственных точек):

,,

где - амплитуды гармоник, которые суммируются в точках,. Введем следующие гармоники рассматриваемых функций:

,,,,. (39)

Подставляя (39) в (34) – (38) и решая полученную систему уравнений, найдем, где амплитуда определяется по формуле:

. (40)

В (40) введен параметр, где. Амплитуда определяет скорость, с которой гармоника решения с номером усиливается при или затухает при. Нас интересует спектральный радиус метода пространственного ребаланса для заданной квадратуры. Из формулы (40) следует, что амплитуда нулевой гармоники равна нулю, а остальные амплитуды являются периодическими функциями с периодом. Поэтому достаточно рассмотреть их изменение только на интервале для, чтобы оценить значение спектрального радиуса:

.

В таблице 3 показаны результаты исследования поведения модуля амплитуд (40) при и для различных значений от 1 до 6 в области максимальных значений шага. При вычислении значения и соответствовали квадратуре Гаусса – Лежандра. В этой таблице приведены: общее число гармоник, шаг, значения первых пяти амплитуд и номер амплитуды, на которой достигается максимальное значение.

Таблица 3. Значения модуля амплитуд для и.

1

3.1415

1

2

1.5708

0.17951

2

3

1.0472

0.25079

0.43796

3

4

0.78540

0.45181

0.31867

0.52379

4

5

0.62832

0.68696

0.35530

0.35657

0.52039

1

6

0.52360

0.93611

0.43889

0.32583

0.38069

0.47759

1

Из таблицы 3 видно, что за исключением трех случаев, максимальное значение у первой амплитуды. Результаты численного исследования показали, что начиная с (при ) максимальное значение всегда достигается на первой амплитуде. Поэтому достаточно рассматривать первую амплитуду в качестве спектрального радиуса метода, т.к. при решении уравнения переноса грубые сетки из менее пяти интервалов не используются. Исследования показали, что при близких к 1 значениях для любого фиксированного значения увеличением параметра можно добиться того, чтобы радиус сходимости метода стал меньше единицы.

На Рис. 5 показано в логарифмическом масштабе изменение спектрального радиуса в зависимости от для шага. Из рисунка видно, чем меньше пространственный шаг, тем больше значение множителя, при котором. Это означает, что увеличение коэффициентов уравнения (30) для поправок приводит к уменьшению спектрального радиуса сходимости линеаризованного метода пространственного ребаланса до значений, при которых этот метод устойчив.

Рис. 5. Зависимость спектрального радиуса от параметра для,.

Таким образом, с помощью Фурье-анализа доказана устойчивость линеаризованного метода пространственного ребаланса совместно с «алмазной» схемой на равномерной сетке в одномерной плоской задаче в приближении метода дискретных ординат для бесконечной области при изотропном рассеянии частиц с постоянными сечениями и постоянным изотропным источником.

В диссертации приведены результаты тестовых расчетов железоводной борированной защиты в одномерной геометрии с использованием -WDD схемы [15] совместно с методом пространственного ребаланса. Для сравнения эффективности ускорения приведены результаты расчетов этой задачи AWDD схемой совместно с методом ускорения, выполненные ранее в пакете «РЕАКТОР» [16]. Результаты расчетов показали, что метод пространственного ребаланса эффективнее метода и обеспечивает существенный вычислительный выигрыш примерно в 5 раз по времени, в то время как метод дает меньший выигрыш по времени в 3 - 4 раза.

В третьей главе описаны трехмерные программы метода дискретных ординат с ускорением сходимости внутренних и внешних итераций, представляющие собой модули пакета «РЕАКТОР» и предназначенные для расчета значений и источника деления, а также задач защиты. Приведено описание каждого модуля. Дана общая блок-схема модулей и их основной подпрограммы DSNPN. Модуль KIN3D предназначен для расчета потока частиц в X-Y-Z геометрии в выпуклых областях, горизонтальное сечение которых задается на равномерной квадратной сетке. Модуль KINRTZ предназначен для расчета потока частиц в R--Z геометрии в цилиндрических областях с неравномерной сеткой. Модуль KIN3D6 предназначен для расчета уравнения переноса нейтронов в HEX-Z геометрии в выпуклых областях, горизонтальное сечение которых задается на сетке, состоящей из правильных шестиугольников.

В четвертой главе приведены результаты решения задач математического моделирования проектируемого в настоящее время ядерного энергетического реактора СВБР 75/100 (Свинцово-Висмутовый Быстрый Реактор) [17] и его защиты в трехмерной геометрии. Продемонстрирована эффективность предложенных алгоритмов и созданных программ.

В первой части главы приведены результаты расчетов и источника деления реактора СВБР 75/100 с использованием схемы с «нулевой» коррекцией в HEX-Z геометрии в 30-ти групповом приближении по энергии нейтронов для различных значений параметра от 0.2 до 0.9. Пространственная сетка состояла из 54 плоскостей по вертикальной оси Z и из 22789 точек (гексагональных ячеек) в каждой плоскости ОXY. Более высокое приближение индикатрисы рассеяния рассчитано с параметром, при котором результаты расчетов в приближении были в 2 раза эффективнее по времени счета, чем расчет без ускорения. По результатам расчетов разработаны рекомендации о выборе значения параметра.

Во второй части главы приведены результаты расчета радиационных полей в защите реакторной установки СВБР 75/100 (30 нейтронных групп и 19 гамма групп) с использованием -WDD схемы [15] в трехмерной геометрии. В X-Y-Z геометрии пространственная область представляет собой четвертую часть реакторной установки в виде прямоугольного параллелепипеда 252.5 см по оси X и по оси Y и 752 см по оси Z. Равномерная сетка состояла из 101 интервала по X и по Y и 188 интервалов по Z, что составляло 1917788 ячеек. Использована полностью симметричная квадратура и - приближение индикатрисы рассеяния. Константы рассчитаны по программе TRANSX 2.0 (США) [18]. Получено хорошее совпадение результатов расчетов плотности полного потока нейтронов с аналогичными результатами, полученными по программе TORT [19].

На основании проведенной серии расчетов задачи защиты реактора СВБР 75/100 сделан вывод о том, что на эффективность ускорения внутренних итераций методом пространственного ребаланса влияют в основном два фактора: выбор номера итерации, с которой начинается ускорение, и выбор параметра из интервала схемы -WDD. Проведена серия расчетов для оптимального выбора этих параметров. Для анализа результатов расчетов и оценки точности алгоритма выбраны три характерные точки области расчета, в разной степени удаленные от источника. Результаты расчетов показали, что разброс средних значений полного потока находится в пределах 20%. При ослаблении потока в раз такой уровень разброса значений считается приемлемым. Таким образом, при расчете задачи защиты можно использовать любые значения параметра для получения приемлемого решения. Это важно, т.к. чем больше значение, тем больше влияние осцилляций, мешающих сходимости итераций. С точки зрения величины времени счета эффективной оказалась схема с параметром и с ускорением во всех группах, начиная с первой итерации.

Аналогичные результаты были получены в R--Z геометрии. Рассчитано – приближение. Использована сетка из 110 интервалов по радиусу, 120 интервалов по углу и 137 интервалов по оси Z, что составляет 1808400 ячеек.

Во всех проведенных расчетах реализованные алгоритмы решения уравнения переноса нейтронов и гамма-квантов и методы ускорения сходимости итераций показали высокую эффективность и точность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Pages:     | 1 | 2 || 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»