WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

Во второй главе рассмотрены итерационные методы решения двух типов задач: однородной и неоднородной. Первая часть второй главы посвящена проблеме ускорения сходимости внешних итераций при решении однородных задач.

Многогрупповая система уравнений переноса нейтронов (1) для расчета может быть записана в операторном виде:

,

где - оператор переноса, - оператор рассеяния нейтронов из верхних энергетических групп в нижние группы и внутри группы, - спектральный оператор деления мгновенных нейтронов, - оператор деления, - оператор расчета нулевого момента от по угловой переменной (3), - функция плотности потока нейтронов. Преобразуем эту систему к виду:

, (6)

где - функция плотности источника деления,,.

В конечномерном евклидовом пространстве - матрица, - собственный вектор, соответствующий собственному значению. Компонентами вектора являются значения источника деления в - той пространственной ячейке, где - ее элементарный объем. Матрица в левой части (6) удовлетворяет условиям теоремы Перрона-Фробениуса [5], т.е. она неотрицательна и неразложима. Тогда она имеет единственное простое положительное наибольшее собственное значение ( для всех ), которому соответствует собственная функция с неотрицательными компонентами,, где.

Степенной метод [6] для нахождения наибольшего собственного значения и соответствующего ему собственного вектора имеет вид:

, (7)

где начальное приближение рассчитывается по единичному начальному приближению скалярного потока во всех группах, т.е., и параметр вычисляется по формуле:

. (8)

В методе простой итерации параметр вычисляется по формуле:

, (9)

а начальное приближение источника деления и соответствующие ему скалярные потоки нейтронов во всех группах задаются так, чтобы сумма нейтронов по объему реактора равнялась единице, т.е.. Для этого решается система уравнений переноса нейтронов с распределенным по заданному спектру внутренним источником, расположенным в области задания источника деления. Для решения этой задачи задается начальное нулевое приближение скалярных потоков во всех группах, а источник перед решением нормируется на единицу.

Для любого произвольного положительного начального приближения метод (7) – (8) сходится [6], [7] к решению:

,,

где - произвольное положительное число, а - собственная функция. Сходимость гарантирована тем фактом, что по модулю больше всех других собственных значений матрицы [6].

Справедливо следующее свойство включения [6], позволяющее оценить на каждой внешней итерации верхнюю и нижнюю границы величины. Если определить значения и по следующим формулам:

и, (10)

то справедливы неравенства:

.

Это свойство используется для определения момента окончания итерационного процесса (7) и (8) или (9). В диссертации приведены все критерии. Обоснована возможность рассмотрения эквивалентной задачи, имеющей наибольшее собственное значение, равное единице, путем разложения начального приближения в ряд по собственным и присоединенным векторам итерируемой матрицы.

В случае «больших» задач, когда число пространственных точек больше миллиона, итерационный процесс (7) и (8) или (9) сходится очень медленно. Часто возникают случаи, когда в ходе итераций относительная ошибка значения на двух соседних итерациях на один – два порядка меньше относительной ошибки расчета по его верхней и нижней границам:

и процесс медленно сходится. В этом случае можно говорить о том, что в ходе итерационного процесса получено приближение (псевдорешение), соответствующее собственному значению, близкому к. Возникает необходимость в использовании метода ускорения.

В диссертации описан новый метод ( - процесс) ускорения сходимости внешних итераций в задаче расчета и источника деления, используемый после того, как вычислены значения по (7) и по (8) или (9). Алгоритм ускорения заключается в следующем.

На итерации с номером после того, как вычислены и приближение, полагается и. Вычисляется значение параметра по формуле:

, (11)

где используется октаэдрическая или евклидова норма. Если или, то делается переход к расчету следующей внешней итерации. В противном случае для значений:

(12)

вычисляется параметр экстраполяции :

, (13)

и проверяется выполнение условия:

, (14)

где значения и являются параметрами метода. Если условие (14) выполняется, то делается экстраполяция с использованием приближений и по формуле:

(15)

и за приближенное значение принимается вектор:

. (16)

Одновременно уточняются скалярные потоки во всех группах с номерами по формулам:

. (17)

Угловые моменты группового потока с индексами и переопределяются пропорционально изменению скалярных потоков:

,. (18)

Таким образом, предлагаемый алгоритм ускорения сходимости внешних итераций основан на линейной экстраполяции источника деления, групповых скалярных потоков в каждой точке пространства по формулам (11) - (17) и угловых моментов потока по формулам (18).

Алгоритм ускорения сходимости внешних итераций эффективен в случае удачно подобранных критериев. Из (13) видно, что параметр экстраполяции может быть очень большим положительным числом, поэтому значение необходимо ограничивать сверху. Обычно. Оптимальное значение параметра зависит от решаемой задачи. Из неравенства (14) следует, что значение параметра находится в интервале. В задачах физики реакторов.

Когда, т.е. вблизи точного решения, - процесс не позволяет делать экстраполяцию (15) – (18). В этом случае значения на трех последовательных итерациях не удовлетворяют какому-нибудь из неравенств (12) или (14). Поэтому итерационный процесс заканчивается без ускорения.

Численные расчеты показали, что - процесс сходится быстрее степенного метода (7), (8) или метода простых итераций (7), (9) к наибольшему собственному значению и соответствующему собственному вектору неотрицательной неразложимой матрицы.

В диссертации приведены результаты тестовых расчетов критической сборки GODIVA [8] в одномерной сферической геометрии. Экспериментальное значение. В задаче заданы 30-ти групповое приближение по энергии нейтронов, угловая квадратура Гаусса-Лежандра, приближение индикатрисы рассеяния и сетка из 800 интервалов. В качестве начального приближения заданы единичные значения скалярного потока. Для окончания внутренних итераций задана величина максимальной относительной ошибки скалярных потоков и максимальное число итераций в группе 20. Критерием окончания внешних итераций служит одновременное выполнение условий и. Для ускорения сходимости внешних итераций использовался - процесс с вычислением параметра по октаэдрической норме.

Результаты расчетов без ускорения и с ускорением для различных значений параметра совпали. Получено значение. Расчеты показали, что наилучшее ускорение происходит при в 1.6 раза по общему числу итераций (11 итераций с ускорением и 18 без него). На рис. 1 и 2 показаны в логарифмическом масштабе значения и относительных ошибок и, полученные на внешних итерациях без ускорения и с ускорением с параметром, соответственно. Из этих рисунков видно, что при расчете без ускорения порядок ошибки убывает, как линейная функция, а при расчете с ускорением ближе к параболической. На рис. 3 и 4 показано соответствующее поведение параметра. Из рис. 3 видно, что при расчете без ускорения с 3-й по 16-ю итерацию практически не меняется, т.к. «мешает» псевдорешение, соответствующее значению. На рис. 4 символом «*» показаны 5-я, 6-я и 10-я итерации, на которых использовалась линейная экстраполяция псевдорешения.

Расчет без ускорения показал, что псевдорешение, соответствующее собственному значению, препятствует быстрой сходимости внешних итераций.

Рис. 1. Изменение, и Рис. 2. Изменение, и

без ускорения. с ускорением,.

Рис.3. Изменение без ускорения. Рис.4. Изменение с ускорением,

.

В диссертации приведены результаты расчетов и источника деления исходного состояния критической сборки BZD/1 в экспериментах «ZEBRA» [9] в X-Y-Z геометрии в 30-ти групповом приближении по энергии нейтронов для и приближений метода дискретных ординат на сетке, состоящей из 24304 точек, которые показывают эффективность - процесса. Приведены соответствующие таблицы с числом внешних итераций при в зависимости от формулы, используемой для расчета параметра : с октаэдрической нормой или евклидовой нормой. Из расчетов следует, что в приближении эффективнее расчет с евклидовой нормой, а в приближении - расчет с октаэдрической нормой. Выигрыш примерно в 2.2 раза по числу итераций. Сделан вывод о том, что любая из двух норм для расчета параметра предпочтительнее формулы - процесса [10].

В таблицах 1 и 2 приведены результаты расчетов с различными значениями от 0.1 до 0.9, вычисленными по октаэдрической норме.

Таблица 1. Число внешних итераций в приближении при расчете задачи ZEBRA с ускорением для различных значений и без него.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Без ускорения

Число внешних итераций

73

33

35

32

29

34

26

28

37

77

Коэффициент ускорения

1.1

2.1

2.0

2.2

2.4

2.2

2.7

2.6

2.1

1.

Таблица 2. Число внешних итераций в приближении при расчете задачи ZEBRA с ускорением для различных значений и без него.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Без ускорения

Число внешних итераций

34

30

34

32

26

31

27

23

38

79

Коэффициент ускорения

2.0

2.2

2.0

2.1

2.5

2.3

2.7

3.0

2.1

1.

Из таблиц видно, что наилучшее ускорение в 3 раза по общему числу итераций получено в приближении при (23 итерации с ускорением и 79 без него). При получено одинаковое ускорение в 2.7 раза в обоих приближениях. Это означает, что параметр можно выбрать, проведя расчеты в более низком угловом приближении и в приближении индикатрисы рассеяния. Поэтому для эффективного расчета однородной задачи на в более высоком приближении нужно сначала выбрать оптимальное значение параметра путем проведения расчетов в более низком приближении, например, и затем использовать его для более точных расчетов.

Вторая часть второй главы посвящена проблеме ускорения сходимости внутренних итераций методом пространственного ребаланса при решении неоднородных задач. Основной идеей метода ребаланса является восстановление баланса частиц по пространственной области на каждой внутренней итерации. Наиболее эффективный способ ускорения [11] - [14] заключается в нахождении мультипликативных поправок к нулевому и первому угловым моментам решения в каждой пространственной ячейке и умножении на них всех угловых моментов решения для сохранения баланса частиц.

В диссертации описан алгоритм решения уравнения переноса в одной группе методом итерации по столкновениям [2] с использованием «взвешенной» схемы [2] в трехмерной X-Y-Z геометрии. Соотношение баланса частиц в ячейке х х для направления получается интегрированием уравнения переноса (1) с правой частью по объему ячейки и по направлениям из углового диапазона вокруг направления :

. (19)

Pages:     | 1 || 3 | 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»