WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

Во второй главе произведено теоретическое обоснование метода определения доверительного интервала шума с использованием вариационного ряда. Приведена формула для получения закона распределения доверительного интервала шума, полученного с использованием вариационного ряда:

, (2)

где F(x) - функция распределения входного шума, f(x) - функция плотности вероятности входного шума, fx(i)(x) - функция плотности вероятности i-й порядковой статистики x(i), n - объем выборки, i=1,2,...,n.

Исходя из приведенного выше аналитического выражения возможно оценить погрешность метода определения доверительного интервала, в который попадает шум. Однако формула довольно сложна и требует вычислений с «очень большой» точностью. Для таких вычислений рекомендуется воспользоваться специализированными математическими пакетами, типа MathCad или MathLab.

Факт неудобства рассматриваемого аналитического выражения для практического применения при больших значениях n отмечается и в ряде литературных источников. В связи с этим некоторые авторы рекомендуют использовать асимптотические способы определения искомых законов распределения и их числовых характеристик. Такие формулы можно использовать в практических задачах, однако использование их в теоретическом обосновании не представляется целесообразным из-за наличия погрешностей аппроксимации.

В процессе анализа выбранного метода были решены следующие задачи:

  1. Определены законы распределения доверительного интервала случайных величин по конечной выборке;
  2. Определено влияние объема выборки на погрешность нахождения искомой оценки;
  3. Определено влияние уровня доверительной вероятности на погрешности нахождения доверительного интервала;
  4. Определена зависимость погрешности определения доверительного интервала от закона распределения входной величины.

Для решения поставленных задач было использовано множество случайных шумов с различными законами распределения, приведенных в первой главе.

В процессе анализа были рассмотрены результаты вычислений при различных уровнях доверительных вероятностей. Критерием их выбора служила практическая ценность. В конечных расчетах использовались следующие значения: 0,9; 0,925; 0,95; 0,975. Такой выбор позволил получить картину влияния уровня доверительной вероятности на искомую оценку интервала, а также провести аппроксимацию на другие уровни.

Для определения влияния объема выборки на погрешность нахождения искомой оценки интервал рассчитывался при различных объемах выборки. Одно из условий выбора объема выборки состояло в том, что оценка интервала должна быть несмещенной, т.е. при расчете числа элементов ряда, которые ограничивают искомый интервал по формуле (1) должно получаться целое число. А объем выборки в 40 значений был исключен из рассмотрения по причине того, что при такой выборке с использованием уровня доверительной вероятности 0,975 на выходе алгоритма будет получаться максимум выборки. В конечных исследованиях использовались следующие объемы: 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320 и 360.

Результаты исследований были сведены в таблицы (приведены в тексте работы и в приложении 1), в которых представлены: математическое ожидание (M), дисперсия (D), СКО (), асимметрия (A) и эксцесс (E) интервальной оценки искомого доверительного интервала. В таблицах (пример, таблица 1, где входной шум имеет нормальный закон распределения, а P=0,9) также представлены отношение СКО к математическому ожиданию и относительная погрешность определения математического ожидания интервала по отношению к реальному (xp) |xp-M|/xp*100%. Для более наглядного представления полученных результатов в работе приведено графическое представление законов распределения полученных доверительных интервалов шума.

Из полученных результатов был сделан вывод, что оценка доверительного интервала шума является смещенной, и сама имеет некоторый доверительный интервал. На рис. 1 представлена графическая иллюстрация, где m - реальный доверительный интервал шума, mx - оценка доверительного интервала, - СКО оценки доверительного интервала. Исходя из этого, при обосновании метода, учитывалось и смещение и СКО оценки доверительного интервала.

Таблица 1

Нормальный закон распределения, P=0,9

Объем выборки

M

D

A

E

/100%

|xp-M|/xp* 100%

80

1,24

0,034

0,19

0.13

0.043

15

3,1

120

1,25

0,024

0,15

0,1

0,03

12

2,1

160

1,26

0,018

0,14

0,093

0,024

10

1,6

200

1,26

0,014

0,12

0,084

0,019

9,46

1,3

240

1,26

0,012

0,11

0,077

0,016

8,6

1,1

280

1,27

0,01

0,1

0,072

0,014

7,9

0,9

320

1,27

0,009

0,095

0,067

0,012

7,5

0,79

360

1,27

0,008

0,089

0,064

0,011

7

0,7

Рис.1. Плотность вероятности оценки доверительного интервала

Таким образом, с практической точки зрения, для представления погрешности был выбран корень суммы квадратов СКО и смещения оценки (m-mx). Полученная сумма названа общим СКО (o).

В работе приведены функциональные зависимости общего СКО от объема выборки и уровня доверительной вероятности для всех рассмотренных законов распределения (таблица 2).

Таблица 2

Зависимости общего СКО от объема выборки и доверительной вероятности

Закон распределения

Формула аппроксимации

(|o-апр |/o)*100%

1. Лапласа

апр(n,P)=6,6·n-0,49·P8,6

9,7

2. Стьюдента (n=10)

апр(n,P)=3,6·n-0,48·P7,1

6,7

3. Нормальный

апр(n,P)=2,53·n-0,48·P5,1

5,2

4. Симпсона

апр(n,P)=n-0,55·P0,9

1,9

5. Равномерный

апр(n,P)=0,53·n-0,59·P-6,5

6,7

6. Двумодальный

апр(n,P)=0,28·n-0,6·P-7,4

6,9

Для практического применения более удобно использование зависимости объема выборки от общего СКО и уровня доверительной вероятности (таблица 3). Эти зависимости позволяют найти минимально необходимый объем выборки для получения заданной точности определения доверительного интервала шума при известном законе распределения. В случае неизвестного закона распределения входного шума рекомендуется использовать аналитические выражения для шума с законом распределения Лапласа как оценку сверху для рассмотренного класса входных шумов, удовлетворяющих диапазону по эксцессу от 3 до -1,667 (от закона распределения Лапласа до двумодального закона распределения).

Таблица 3

Зависимости объема выборки от общего СКО и доверительной вероятности

Закон распределения

Формула аппроксимации

1. Лапласа

n=(о/(6,6·P8,6))-2,04

2. Стьюдента (n=10)

n=(о/(3,6·P7,1))-2,08

3. Нормальный

n=(о/(2,53·P5,1))-2,08

4. Симпсона

n=(о/P0,9)-1,82

5. Равномерный

n=(о/(0,53·P-6,5))-1,69

6. Двумодальный

n=(о/(0,28·P-7,4))-1,67

Для подтверждения полученных аналитических выражений было проведено имитационное моделирование алгоритма с использованием того же множества случайных сигналов с различными законами распределения. Так же имитационное моделирование установило влияние погрешности квантования на конечных устройствах. Само имитационное моделирование было проведено на специально разработанной для этого программе (исходный код программы приведен в приложении 2), которая, помимо моделирования самого метода определения доверительного интервала шума, также осуществляет моделирование входного шума с заданными характеристиками с использованием метода кусочно-линейной аппроксимации, метода нелинейного преобразования и метода Неймана.

На рис. 2 представлена структурная схема алгоритма для проведения имитационного моделирования, где: x — входной сигнал, x(i) — выходной сигнал, УСВ — устройство сортировки методом вставок, БР – буфер результата, УУ – устройство управления (синхронизации).

Рис. 2. Структурная схема алгоритма

В данной схеме исходный алгоритм работы видоизменен, вместо обработки всей выборки после запоминания устройство динамически обрабатывает каждый отсчет. Сама схема состоит из трех модулей: устройство сортировки методом вставок, на выходе которого формируется верхняя часть отсортированной выборки, выходной буфер для запоминания границы искомого интервала и устройство управления для синхронизации всех модулей. Такая схема имеет более простую аппаратную или программную реализации и меньшую себестоимость, чем реализация алгоритма с накоплением данных и дальнейшей обработкой. Особенно следует отметить, что данная схема не вносит дополнительную задержку в обработку результатов, так как сортировка происходит при поступлении данных мгновенно.

В работе показано, что максимальное отклонение оценки доверительного интервала расчетного от полученного при помощи имитационного моделирования не превышает 10%, что позволяет говорить о достоверности полученных результатов. Максимальная погрешность 10% наблюдается при определении доверительного интервала шума распределенного по закону Лапласа при объеме выборки 80, а минимальная 0,26% при — двумодальном законе распределения и объеме выборки 360.

При сравнительном анализе асимметрии и эксцесса полученных оценок наблюдается более значительная разница, что приводит к сужению области применения концепции нормальности. Как показано в работе, разница в этих параметрах получается за счет влияния квантования по уровням в реальных устройствах на характеристики получаемых оценок.

В третьей главе рассмотрены методы повышения эффективности оценки доверительного интервала.

В предыдущих главах предполагалось, что оцениваемый шум остаётся во времени неизменным, не имеет дополнительных импульсных шумов и не содержит полезную информацию (сигнал). На практике, однако, шум нередко не остается постоянными, а изменяется во времени, также, возможно присутствие аномальных импульсных выбросов и полезного сигнала. Все это требует дополнительной обработки шума для увеличения эффективности разрабатываемого метода.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»