WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Теорема 2.3. Если, , , , а функция удовлетворяет условию Липшица, то в области в случаях 33, 34 решение задачи NNГ определяется однозначно. В варианте 24 решение определяется с точностью до произвольной функции , в остальных случаях с точностью до произвольной функции . Условия согласования отсутствуют в комбинациях 24, 44. Одно такое условие – в 22; по два – 12, 14, 33; три – 11, 13.

Для варианта NNN с помощью кодирования, аналогичного использованному в теореме 2.3 (здесь оно трехзначное), формулируется

Теорема 2.4. Если,,,, а функция удовлетворяет условию Липшица, то в области в случае 444 решение задачи NNN определяется однозначно. В вариантах 122, 144, 334 решение определяется с точностью до двух произвольных функций ( - в 122, 124; - в 334). В остальных случаях с точностью до трех произвольных функций. Условия согласования отсутствуют в комбинациях 334, 444. Два таких условия – в 122, 134, 144; три – 111, 112, 113, 114, 133.

В пространстве четырех переменных ситуация еще более усложняется, но все можно просчитать подобно тому, как это делается для. При этом появляются еще произвольные функции, зависящие от двух независимых функций ( в различных сочетаниях). В случае конечного излагаются лишь краткие сведения относительно схемы рассуждений и получаемых результатов. Добавим к сказанному, что после редукции каждого варианта рассматриваемых задач к задачам Гурса, эти последние опять, в соответствии с результатами первой главы, приходится сводить к интегральным уравнениям и применять к ним метод последовательных приближений.

К числу основных в математической физике относится еще задача с граничным условием вида (условие третьего рода). Во второй главе при она тоже рассмотрена. Выяснилось, что принципиально новых моментов в схеме рассуждений не возникает. Поэтому в случаях мы на ней не останавливаемся.

Наконец, в третьей главе рассматривается уравнение Лиувилля

,. (22)

При правая часть здесь неограниченна и условие Липшица для нее тоже не выполняется. Следовательно, условиям теорем из предыдущих глав это уравнение не подчиняется. Но мы здесь не используем метод последовательных приближений, а на основе известного представления решений

(23)

строим решение рассматриваемых задач в явном виде. Функции в (23) являются произвольными, но мы еще предполагаем, что

. (24)

В прямоугольнике рассмотрены следующие задачи.

Задача 3.1 (Гурса) с условиями

,,,,. (25)

Задача 3.2 с условиями, получаемыми заменой в (25) по крайней мере одного значения искомой функции значением ее нормальной производной из набора

, (26)

Задача 3.3 об отыскании решения уравнения (22) по условию и соотношениям

(27)

Задача 3.4, где решение должно быть получено по условиям, получаемым из (25) заменой по крайней мере одного значения искомой функции значением второй нормальной производной из набора

. (28)

Решение задачи 3.1 построено в виде

, (29)

где. Очевидно, известно из (25). При этом для предполагается выполнение неравенства

. (30)

Для задач 3.2, 3.4 по аналогии с предыдущей главой рассматриваются варианты ГN, NГ, NN и выводятся решения. Например, в случае ГN задачи 3.2 этим решением является

. (31)

При этом выполняется неравенство

, (32)

играющее роль (30).

В заключение автор выражает искреннюю признательность научному руководителю В. И. Жегалову за постановку задач и рекомендации в процессе работы над диссертацией.

Публикации автора по теме диссертации

1. Кунгурцев А. А. Характеристическая задача с нормальными производ-

ными для квазилинейного гиперболического уравнения / Кунгурцев А.

А. // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2002. – Т.18. –

с.49–51.

2. Кунгурцев А. А. Характеристические задачи с нормальными производ-

ными для одного трехмерного гиперболического уравнения /Кунгурцев

А. А. // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2003.– Т.19. –

с.137–138.

3. Кунгурцев А. А. Характеристические задачи с нормальными производ-

ными для одного четырехмерного гиперболического уравнения

/ Кунгурцев А. А. // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского

Казань, 2005. – Т.30. – с.91 – 93.

4. Кунгурцев А. А. Об одном n-мерном варианте задачи Гурса /

Кунгурцев А. А. // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань,

2005. – Т.31. – с.83 – 85.

5. Кунгурцев А. А. Об одном гиперболическом уравнении в трехмер-

ном пространстве / Кунгурцев А. А.// Изв. вузов. Математика. – 2006. –

№3. – С. 76-80.

6. Кунгурцев А. А. О характеристических граничных задачах для

квазилинейного аналога уравнения Бианки в четырехмерном

пространстве / Кунгурцев А. А. // Казанский ун-т. – Казань, 2007.

– 25с. – деп. в ВИНИТИ 27.06.2007, №681-В2007.

7. Жегалов В. И. Построение решения задачи Гурса для уравнения

Лиувилля / Жегалов В. И., Кунгурцев А. А. // Тр. матем. центра им.

Н. И. Лобачевского Казань, 2006. – Т.34. – с.96 – 100.

8. Жегалов В. И. Три задачи для уравнения Лиувилля / Жегалов В. И.,

Кунгурцев А. А. // Тез. докл. конф. “Дифференциальные уравнения и

их приложения“. – Самара, 2007. – С. 49 – 52.

9. Жегалов В. И. О характеристических граничных задачах для уравне-

ния Лиувилля / Жегалов В. И., Кунгурцев А. А. // Изв. вузов.

Математика. – 2008. – №11. – C.

В совместных работах [7] – [9] В. И. Жегалову принадлежат постановки задач и общие рекомендации по их решению. При этом [9] представляет собой подробное изложение результатов, анонсированных в [7], [8].

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»