WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |

На правах рукописи

КУНГУРЦЕВ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

ЗАДАЧИ С НОРМАЛЬНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ДЛЯ

НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 – дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Казань - 2008

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Казанского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Жегалов Валентин Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Репин Олег Александрович

кандидат физико-математических наук,

доцент Бурмистров Борис Николаевич

Ведущая организация: Самарский государственный

университет

Защита состоится “03” декабря 2008 г. в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань ул. Нужина д. 17, ауд. 324

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан “ ” 2008г

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент Липачев Е. К

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Работа посвящена исследованию вопросов разрешимости в евклидовых пространствах различной размерности задач об отыскании решений уравнений вида

, (1)

по граничным условиям, содержащим значения нормальных производных от функции. При этом рассматриваемые области образованы характеристиками уравнения (1), а нелинейный оператор содержит лишь производные от, получаемые из путем отбрасывания, по крайней мере, одного дифференцирования, и саму функцию. В частности, при,, (1) является известным уравнением Лиувилля.

Исследование новых задач для уравнений обсуждаемого класса представляет интерес как с точки зрения развития общей теории уравнений с частными производными, так и в связи с возможными приложениями. Частные случаи (1) с линейным оператором встречаются при изучении процессов, связанных с явлениями вибрации и другими задачами механики и математической физики, играют существенную роль в теориях аппроксимации и отображений, к ним сводится задача интегрального представления преобразований одних обыкновенных линейных дифференциальных операторов в другие. Известное нелинейное синус-уравнение Гордона и его обобщения, имеющие различные приложения (статистическая механика, теория поля, оптика, кристаллография) тоже являются частными случаями уравнения (1).

Различные вопросы теории уравнений (1) с линейным оператором изучали Л. Бианки, О. Никколетти, Е. Лаэ, М. К. Фаге, С. С. Хари-бегашвили, В. И. Жегалов, В. Ф. Волкодавов, В. А. Севастьянов, А. Н. Миронов, О. М. Джохадзе и целый ряд других авторов. В частности в работах В. И. Жегалова, А. Н. Миронова (от 1992 и 2000г.) были исследованы и задачи с нормальными производными в граничных условиях. Публикаций же по изучению подобных задач для нелинейных уравнений до последнего времени не было. Предлагаемая работа в определенной мере заполняет данный пробел. При этом ее содержание можно рассматривать как естественное развитие только что указанных результатов от 1992 и 2000 годов.

Цель работы. Отыскание условий, достаточных для разрешимости в характеристических областях задач с нормальными производными в граничных условиях для нелинейных уравнений вида (1) и разработка методов исследования различных вариантов этой разрешимости.

Общая методика исследования. В работе используются результаты и методы теории дифференциальных и интегральных уравнений. Существенную роль играет метод последовательных приближений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. В пространствах различного числа измерений определены условия на правые части уравнений вида (1), позволяющие исследовать вопросы разрешимости рассматриваемых задач.

2. Разработан способ редукции этих задач к задачам Гурса.

3. Построена картина их разрешимости, оказавшаяся многовариантной.

4. Для уравнения Лиувилля построены в явном виде решения задач с граничными условиями первого, второго и третьего рода.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Она является продолжением и развитием исследований граничных задач для уравнений данного класса.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанского университета, а также на международных и всероссийских конференциях: Международная молодежная научная школа – конференция “Лобачевские чтения – 2002”, Казань 28.11-01.12.2002; Шестая Казанская международная школа – конференция “Теория функций, ее приложения и смежные вопросы”, Казань 27.06-04.07.2003; Седьмая Казанская международная школа – конференция “Теория функций, ее приложения и смежные вопросы”, Казань 27.06-04.07.2005; Четвертая молодежная научная школа – конференция “Лобачевские чтения – 2005”, Казань 16.12-18.12.2005 посвященная 100-летию со дня рождения профессора Б. Л. Лаптева; Пятая молодежная научная школа – конференция “Лобачевские чтения – 2006”, Казань 28.11-02.12.2006; Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». – Самара, 2007г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 2 работы в изданиях из перечня ВАК от 30.11.2006г. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, общий ее объем 120 страниц, в списке литературы 69 наименований, включая работы автора.

Краткое содержание работы

Первая глава, носящая вспомогательный характер, посвящена изложению в удобной для дальнейшего использования форме результатов, относящихся к задаче Гурса для уравнения (1) с нелинейным оператором. Для искомой функции и правой части уравнения (1) в рассуждениях требуется определенная гладкость. В связи с этим через обозначается класс функций с непрерывными производными для всех.

В наиболее простом случае задача Гурса, рассматриваемая в области, заключается в отыскании функции, являющейся в решением уравнения

(2)

и удовлетворяющей условиям

,,. (3)

В силу непрерывности в должно выполняться равенство.

Функция определена в, где. Путем линейной замены переменных можно привести (2) к случаю. Граничные условия (3) приобретают тогда вид

,. (4)

В книге Ф. Трикоми “Лекции по уравнениям в частных производных” (М.: ИЛ, 1957. – 443с.) методом последовательных приближений доказано следующее утверждение: пусть в ячейке

(5)

функция удовлетворяет условию Липшица

A(++), (6)

где, - любые положительные числа,. Тогда решение рассматриваемой задачи существует и единственно в прямоугольнике, определяемом неравенствами

,,

- верхняя граница в ячейке (5). Как мы видим, решение получается в прямоугольнике, который может совпадать с лишь в случае достаточно больших, но в остальном эти константы остаются неопределенными. Это обстоятельство не позволяет нам применить данный результат к исследованию более сложных задач во второй главе. В § 1 главы 1 доказано, что метод последовательных приближений все же позволяет получить нужный результат, если функция задана на множестве с неограниченными компонентами А именно, имеет место

Теорема 1.1. Если, функция непрерывна в по и ограничена на множестве, где, а также удовлетворяет неравенству (6), то в области существует единственное решение задачи (2),(4).

Приведены примеры, показывающие, что при нарушениях условий этой теоремы решение может быть не единственным, или процесс последовательных приближений не сходится.

В §§ 2-3 показывается, каким образом теорема 1.1 может быть распространена на случай любого конечного.

Автор не претендует на новизну сформулированных в первой главе результатов, поскольку нет уверенности в том, что они не были получены ранее: ведь рассматривается очень известная задача. С другой стороны, без этих результатов рассуждения из следующей (второй) главы не могут быть обоснованы.

Во второй главе формулируются и исследуются задачи для уравнений вида (1) с граничными условиями, предусмотренными в названии диссертации. При этом наложенных на в первой главе условий оказывается недостаточно: оператор должен допускать выделение линейной части, а остающееся нелинейное слагаемое имеет заданную структуру по производным от искомой функции. характер разрешимости задач зависит от коэффициентов линейной части, а в схеме рассуждений появляется для каждого случая необходимость в неоднократном применении метода последовательных приближений.

В случае двух независимых переменных вводятся функции, с помощью которых рассматриваемое уравнение должно представляться в виде

, (7)

При этом требуется еще, чтобы выполнялись условия

, (8)

Функция непрерывна в по, определена и ограничена при любых значениях, а также удовлетворяет по условию Липшица.

Задача 2.1 заключается в отыскании решения уравнения (7) по граничным условиям, получающимся путем замены в (4) хотя бы одного из значений искомой функции значением ее нормальной производной из набора

,,. (9)

Если условия типа (3) обозначить через Г, а типа (9) – через N, то в сформулированной задаче содержатся три варианта: ГN, NГ и NN. Поэтому для редукции к задаче Гурса (ГГ) нужно уметь по соотношениям (9) отыскивать функции. Это делается с помощью исследования интегральных уравнений, которые являются нелинейными, и могут быть при соответствующих условиях решены методом последовательных приближений. Указанные условия имеют вид:

(10)

(11)

(12)

(13)

. (14)

Доказана

Теорема 2.1. Варианты ГN и NГ однозначно разрешимы при условиях (10) и (11) соответственно. Вариант NN разрешим с точностью до одной произвольной постоянной при обоих условиях (10), (11). Этот же вариант разрешим однозначно либо при наборе (10), (13), либо при (11), (12), а однозначная разрешимость при дополнительном условии (14) имеет место, если выполняются соотношения (12), (13).

Далее в этой главе рассматриваются случаи, относящиеся к. В случаях аналоги уравнения (7) имеют соответственно вид

. (15)

(16)

.

Функции и удовлетворяют условиям, обобщающим (8). Мы не выписываем здесь условия гладкости на и на коэффициенты (в тексте диссертации они имеются).

Для любого конечного аналогом (15) - (16) будет уравнение

=, (17)

где

=

,

={},,,, непрерывные на функции.

В случае. Если не считать варианты задач, получающиеся переменой ролей независимых переменных, получим три задачи. Например, естественно выбрать NГГ, NNГ и NNN. Это есть (соответственно) задачи с условиями

, (18)

,, (19)

,. (20)

Для отыскания здесь получаются интегральные уравнения на гранях,,. На грани условия, играющие роль (10) - (13) (с добавленными к ним соотношениями, обобщающими (8)), имеют вид

1),.

2) , , ,

,. (21)

3) , , ,

,.

4) , , ,

,,.

Для, записываются аналоги 1) - 4).

Наиболее простым является вариант NГГ. Здесь достаточно (21) и верна

Теорема 2.2. Если, , , , а функция удовлетворяет условию Липшица, то в области решение задачи NГГ при всех вариантах условий 1) – 4) определяется однозначно. При этом в случае 1) требуется выполнение условий согласования,.

В варианте NNГ требуется комбинировать варианты 1) - 4) при и. Всего их восемь: 11, 12, 13, 14, 22, 24, 33, 44 (пишем номера вариантов подряд без скобок и отбрасываем комбинации, получающиеся переменой ролей соответствующих случаев на,. Отметим особо, что есть неосуществимые варианты, например, в случае 23 и. Каждый из реализуемых вариантов 11, …, 44 характеризует наличие произвольных функций и условий согласования при редукции к задаче Гурса. Выпишем комбинации, характеризующие случаи 11,…, 44, в виде таблицы.

Комбинации

Произвольные функции

Условия согласования

11

.

12

.

13

.

14

.

22

.

24

Отсутствуют

33

Однозначная редукция

44

Однозначная редукция

Отсутствуют

Следовательно верна,

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»