WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы. Работа содержит 164 страницы, 73 рисунка, 11 таблиц. Список использованной литературы включает 142 наименования.

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, приведен исторический обзор результатов по применению вейвлетов как в различных областях механики в целом, так и в механике деформируемого твердого тела для балок, пластинок и оболочек в частности, сформулирована цель работы, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматриваются общая концепция непрерывного вейвлет-преобразования, основные базисные (вейвлетообразующие) функции, необходимые свойства вейвлет-функций. Вводится понятие частотно-временных вейвлет-спектров. Отмечаются основные различия преобразования Фурье и вейвлет-преобразования. Рассматриваются вопросы разрешающей способности различных вейвлетов по частоте и выбора вейвлета для конкретной области исследования.

Во второй главе особенности нелинейных колебаний и перехода в хаос распределенных механических систем рассматриваются на примере спаянных многослойных балок, когда для всего пакета справедлива одна из следующих кинематических гипотез: Бернулли-Эйлера; С.П. Тимошенко; Шереметьева-Пелеха. Рассматривается применение вейвлет-анализа к исследованию колебаний балок различных моделей.

Рассмотрим гибкую упругую балку, подчиняющуюся кинематической гипотезе Бернулли-Эйлера, инерцией вращения элемента балки при изгибе пренебрегается, на балку действует знакопеременная нагрузка. В этом случае система дифференциальных уравнений в перемещениях в безразмерном виде с учетом диссипации энергии имеет вид

(1)

где поперечные перемещения точки балки (прогиб); продольные перемещения;,, нелинейные операторы,, коэффициенты диссипации. Для сведения уравнений (1) к безразмерному виду использовались следующие безразмерные параметры:,,,,,,, . ( модуль Юнга, ускорение свободного падения, удельный вес), - высота, - длина балки. Здесь и далее чертой сверху обозначены безразмерные переменные (в самих уравнениях черта опускается).

Из всего многообразия возможных краевых условий было рассмотрено шарнирное закрепление по обоим концам

(2)

В начальный момент времени балка покоится:

(3)

С целью обеспечения достоверности получаемых результатов бесконечномерная задача (1) – (3) с помощью метода конечных разностей с аппроксимацией, а также метода конечных элементов в представлении Бубнова-Галеркина сводится к конечномерной – системе обыкновенных дифференциальных уравнений по времени, которая решается методом Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Как для метода конечных разностей, так и для метода конечных элементов исследовалась сходимость в зависимости от разбиения по пространственной координате, что позволило сделать вывод о том, что оптимальным является деление длины балки на частей. Согласно принципу Рунге, исходя из условия устойчивости получаемых решений, шаг по времени был выбран равным. При сравнении результатов, полученных по МКР и МКЭ, установлено, что при одних и тех же параметрах нагрузки и вида краевых условий значения прогиба практически совпадают, что говорит о достоверности получаемых результатов. Более того, наблюдается сходимость и по спектрам мощности. Кроме того, использование метода конечных элементов при той же точности результатов приводит к возрастанию времени расчета в 1,5-1,7 раза, поэтому предпочтение следует отдать МКР.

Исследования поведения балок под действием знакопеременной поперечной нагрузки проведены посредством разработанного пакета программ, который позволяет определять характер колебаний балки в зависимости от управляющих параметров с помощью анализа сигнала, спектра мощности, построенного на основе преобразования Фурье, фазового портрета, отображения Пуанкаре, а также непрерывного вейвлет-преобразования для различных типов вейвлетов: вейвлетов Гаусса с 1-го по 8-й, вейвлета Морле.

Сравнение результатов анализа колебаний с помощью классических методов – визуализации сигнала, построения спектра мощности, фазового портрета, отображения Пуанкаре и частотно-временных вейвлет-спектров позволяют сделать вывод о том,что предпочтение следует отдать вейвлет-функции Морле как обеспечивающей наибольшее разрешение по частоте. В качестве примера рассмотрим переход (для балки с геометрическим параметром ) от гармонических колебаний к хаотическим на частоте внешнего воздействия при значениях нагрузки ; ;, представленный на рис. 1 и 2. Видно, что как при гармонических одночастотных (рис. 1), так и при многочастотных (рис. 2) колебаниях можно ясно проследить, что в ряду вейвлетов Гаусс-1 – Гаусс-8 растет разрешающая способность по частоте, что позволяет более точно определять значения частот в спектре; наилучшее разрешение по частоте наблюдается у вейвлета Морле.

Гаусс-1

Гаусс-8

Морле

Рис. 1. Вейвлет-спектр для

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Гаусс-1

Гаусс-8

Морле

Рис. 2. Вейвлет-спектр для

Возможность анализа колебаний с помощью вейвлет-преобразования в частотно-временном пространстве открывает новые возможности по анализу сценариев перехода балок из гармонических колебаний в хаотические. В работах В.А.Крысько и И.В.Папковой был обнаружен и исследован сценарий перехода к хаосу через последовательное появление трех линейно независимых частот – модифицированный сценарий Рюэля, Такенса и Ньюхауза. Частотно-временные вейвлет-спектры позволяют уточнить этот сценарий. При (рис. 2) на вейвлет-спектре Морле видно, что дополнительные (кроме частоты возбуждения ) частоты в спектре присутствуют не постоянно, т.е. наблюдается перемежаемость. Перемежаемость частот особенно хорошо заметна на контрастных двумерных изображениях вейвлет-поверхности (рис. 2, a-c). При как традиционные средства анализа (Фурье-спектр, фазовый портрет, отображение Пуанкаре), так и вейвлет-спектр позволяют зафиксировать наличие хаоса.

Далее рассмотрим однослойные упругие гибкие балки, математическая модель которых построена на основе гипотезы С.П. Тимошенко (данная модель является более точным одномерным приближением для системы уравнений движения балки как трехмерного тела). Уравнения в перемещениях балки Тимошенко в безразмерном виде

(4)

здесь черточки над безразмерными параметрами, как и ранее, опущены, операторы,, имеют вид, аналогичный уравнениям Бернулли-Эйлера (1),, дополнительные безразмерные параметры, граничные условия – также шарнирно - неподвижное закрепление

(5)

начальные условия

(6)


a)

b)

c)


Рис. 3. Модифицированный сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза на вейвлет-спектре






Рис. 4. Вейвлет-спектр

с окном периодичности

для





Достоверность результатов, как и при исследовании балки Бернулли-Эйлера, обеспечивалась решением системы (4) – (6) с помощью двух методов – МКР и МКЭ с такими же дополнительными исследованиями.

Для балок Тимошенко также обнаружен уточненный сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза, когда сначала в спектре появляются три линейно независимые частоты (рис. 3, b), а затем происходит переход к хаосу (рис. 3, c для ). В отличие от модели Эйлера-Бернулли в модели Тимошенко при (рис. 4) наблюдается переход к хаосу через перемежаемость.

Кинематическая модель Шереметьева-Пелеха является дальнейшим развитием модели Тимошенко. Уравнения в перемещениях модели ШереметьеваПелеха в безразмерном виде

(7)

Введение безразмерных переменных аналогично модели Бернулли – Эйлера и Тимошенко. Как и выше, в качестве краевых условий рассмотрен случай шарнирного закрепления по обоим концам для покоящейся в начальный момент времени балки:

(8)

Начальные условия:

.

(9)

Достоверность получаемых результатов, как и выше, обеспечивалась проведением расчетов с использованием двух методов – конечных разностей и конечных элементов. Для данной модели также обнаружен переход к хаосу по уточненному сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауза.

Таким образом, в результате исследования применимости различных вейвлетов к анализу колебаний балок на основе различных кинематических гипотез установлено преимущество вейвлета Морле. Установлено, что переход к хаосу для трех рассмотренных моделей балок может происходить либо по уточненному сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауза, либо по сценарию Помо-Манневиля (через перемежаемость).

В третьей главе изучается явление синхронизации распределенных систем на примере многослойных неспаянных балок (т.е. когда между слоями имеется зазор, рис. 5) с учетом трех видов нелинейностей: конструктивной (в процессе расчета меняется область контакта балок), геометрической и физической. Для многослойных балок исследуется режим фазовой синхронизации колебаний балок в пакете при различных способах воздействия на балки. Балки подчиняются гипотезе Эйлера-Бернулли, учет геометрической нелинейности осуществлен в форме Т. фон Кармана, используется винклерова связь между обжатием и контактным давлением между балками, физически нелинейные зависимости между деформациями и перемещениями рассматриваются в рамках теории малых упругопластических деформаций Генки. При построении математической модели использованы результаты, полученные в работах В.М. Александрова, В.А. Бабенко, С.М. Мхитаряна, Б.Я. Кантора, Т.Л. Богатыренко, Д.Е. Липовского, Л.А. Галина, Б.Л. Пелеха, М.А. Сухорольского, М.В. Блоха, Е.И. Григолюка, В.М. Толмачева, В.А.Крысько, А.В.Крысько. Количество уравнений, описывающих данную задачу, пропорционально числу слоев. Граничные условия закрепления балки могут быть произвольными, но в данном случае рассмотрен вариант защемления на концах. В начальный момент времени система балок покоится.

Рис. 5. Расчетная схема двуслойной балки

При численных расчетах для учета физической нелинейности материала балок применяются деформационная теория пластичности и метод переменных параметров упругости. Диаграмма деформирования материала балки может быть произвольной, но в данной работе рассматривается балка, изготовленная из материала, диаграмма деформирования для которого имеет вид ( номер балки). Закон изменения нагрузки во времени и вдоль оси балки может быть произвольным. Интегрирование уравнений движения с начальными и граничными условиями проводится методом конечных разностей.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»