WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Здесь ckk коэффициенты, задаваемые выражениями (6), а Xk(z) – форма колебаний при частоте pk. Имеем

,

Расчеты проводились для случая, когда, при тех значениях n, для которых известны точные значения 1. Вычисленные значения 1 и 2 и их относительные погрешности приведены в таблице 1.

Таблица 1. Влияние параметра n на собственные частоты 1 и 2;

– относительная погрешность

n

0

0,25

0,5

0,75

1

1

5,59; = 0,05%

6.97; = 0,24%

8,23; = 0,34%

9,36; = 0,65%

10,33; = 1,57%

2

15,64; = 1,44%

16,31

16,65

16,730

16,58

Для свободного стержня, несимметричного относительно середины, величины и являются корнями квадратного уравнения. Явные выражения для и не выписывались. Задача решалась численно в пакете «Mathematica».

Расчеты проводились для случая, когда и первый, и второй стержень имеют форму усеченного конуса, т.е. когда,. В частности, при получаем.

В конце второй главы рассматриваются изгибные колебания свободного стержня с сосредоточенными массами. Используя аппарат –функций Дирака, эту задачу можно свести к предыдущей. Сравнение с точным решением для стержня постоянного сечения с одной сосредоточенной массой на конце показывает, что при любом соотношении между сосредоточенной массой и массой стержня погрешность определения первой частоты не превышает 0,05%.

В третьей главе рассматривается динамика развития трещины в тонком брусе ширины b и толщины 2h – рис. 5. В брусе имеется технологический надрез длины, к берегам которого прикладывается импульсная нагрузка в виде давления, равномерно распределенного по всей площади берега. Размеры b и h предполагаются соизмеримыми друг с другом, а. Толщиной технологического надреза по сравнению с толщиной бруса можно пренебречь. С конца надреза начинает развиваться трещина.

Предположение о сохранении симметрии при развитии трещины позволяет ограничиться рассмотрением одного ее берега. Он рассматривается как консоль, заделанная в вершине трещины. Расчетная схема распространения трещины в брусе приведена на рис.6. Используя принцип освобождаемости от связей, консоль переменной длины будем рассматривать как свободную балку, к правому концу которой приложен изгибающий момент и перерезывающая сила.

Прогиб берега трещины в нулевом (квазистатическом) приближении обозначим через. Из формулы (2) следует, что данный прогиб при учете того, что консоль имеет постоянное поперечное сечение, представится в виде

, (9)

где

. (10)

Из выражения (9) следует, что при любом прогиб однозначно определяется в момент времени t заданием величин, и L. Следовательно, в нулевом (квазистатическом) приближении они могут рассматриваться как обобщенные лагранжевы координаты, но при условии, что. Таким образом, данная модель ни в квазистатическом, ни в последующих приближениях не позволяет описать смыкание берегов трещины. Полагается также, что расчеты ведутся, пока (см. рис. 6).

Чтобы построить последующие приближения, позволяющие динамически учесть несколько первых собственных форм свободной балки, необходимо функции и, задаваемые выражениями (10), представить в виде ряда по собственным формам колебаний свободной балки.

Прогиб свободной балки длины может быть представлен в виде

, (11)

где балочные функции свободной балки:

,.

Здесь возрастающая последовательность корней уравнения

.

Первое слагаемое в выражении (11) соответствует поступательному перемещению свободной балки как твердого тела, а второе ее повороту, как твердого тела, вокруг конца на угол.

Уравнения связей таковы:

(12)

где.

В квазистатической постановке задачи считается, что кинетическая энергия системы равна кинетической энергии свободной балки как абсолютно твердого тела заданной фиксированной длины L, т.е. принимается, что она зависит только от обобщенных скоростей и.

Потенциальную энергию изгиба представим в виде

,,. (13)

В уравнениях Лагранжа второго рода из-за наличия связей (12) появятся множители Лагранжа, равные соответственно изгибающему моменту M и перерезывающей силе Q в заделке. В квазистатике кинетическая энергия не зависит ни от, ни от, поэтому уравнения относительно этих координат таковы

.

Отсюда

. (14)

Здесь значение обобщенной координаты в квазистатике.

Учитывая уравнения связей (12) и выражение (14), кривую прогиба в квазистатике представим в виде

, (15)

где

,

Используя выражения (9), (11), (12), (15), прогиб консоли в n-ом приближении можно представить в виде

, (16)

где. Величины L, k,,, входящие в (16), рассматриваются как обобщенные лагранжевы координаты. Кинетическую и потенциальную энергии вычисленную для прогиба (16) по технической теории балок, обозначим соответственно через Tn и n.

Давление, характеризующее импульсную нагрузку, приложенную к берегам трещины, – см. рис. 5, – задается в виде

(17)

Обобщенные силы, соответствующие нагрузке (17) таковы:

,

где

.

Постоянная Гриффитса связана с работой, которая затрачивается на раскрытие трещины на величину, соотношением

.

Таким образом, при раскрытии трещины система уравнений Лагранжа второго рода такова:

(18)

До начала раскрытия трещины вместо последнего уравнения системы (18) ставится условие:

(19)

Данная укороченная система уравнений при решается при начальных условиях

.

Обобщенная реакция голономной связи (19) равна с обратным знаком той силе, которая стремится раскрыть трещину. Процесс раскрытия начнется тогда, когда сила, вычисленная при найденных значениях по формуле

,

достигнет значения b. Начиная с этого момента, следует переходить к интегрированию полной системы (18).

Условием прекращения раскрытия трещины является уменьшение величины до нуля при. Тогда вместо уравнения по координате L снова вводится связь (19). Условие продолжения раскрытия трещины аналогично условию начала ее раскрытия, где вместо подставляется длина трещины в момент окончания последнего раскрытия.

Система (18) интегрировалась в безразмерных переменных. При их введении использовалась величина, равная значению изгибающего момента в вершине трещины, при котором в статике теряется равновесие (начинает развиваться трещина). Величина связана с постоянной Гриффитса соотношением:

.

Полагая

,

безразмерные переменные введем по формулам

.

Заметим, что при данных безразмерных переменных система (18) содержит всего два параметра, которые характеризуют внешнюю нагрузку:

и.

Более того, при, импульсное нагружение можно считать мгновенным, т.е. воздействие можно характеризовать одной величиной, которая характеризует импульс и может рассматриваться как инвариант.

При малом (в сравнении с основными периодами собственных колебаний берега трещины) времени действия нагрузки tmax воздействие можно считать импульсным. При этом можно считать, что к концу воздействия берег движется поступательно со скоростью, где –импульс воздействия. Формально приравнивая кинетическую энергию поступательного движения берега трещины и работу, необходимую для раскрытия трещины на величину L*, определяем характерное значение импульса:

.

Для воздействия, заданного в виде (17), характерное значение таково

.

Значение максимальной длины раскрытия трещины можно приближенно определить, полагая, что в момент максимального раскрытия кинетическая энергия, сообщенная берегу при воздействии, полностью переходит в работу раскрытия трещины и потенциальную энергию упругих деформаций берега. Последнюю можно определить в предположении, что момент в вершине трещины при этом равен критическому M*, а кривая прогиба пропорциональна форме статического прогиба под действием постоянной нагрузки, приложенной к участку берега длиной L*.

Расчеты проводились при, =I/I*, (, *=0,00548). Для образца со следующими значениями параметров: h=10 мм, =100 мм, =1600 кг/м3, E=3000 МПа, =3000 Дж/м2, это соответствует, c. При этом Па·с, =155 МПа. Время воздействия импульса не менялось, а величина варьировалась в диапазоне от 0,5 до 2.

Графики зависимости длины трещины =L/L* от времени при разных значениях для n=0 и n=3 приведены на рис. 7-8. На каждом графике указана максимальная безразмерная длина трещины max. Расчеты показали, что различия между значениями, полученными в третьем и последующих приближениях, несущественны. Как видно из рис. 7-8, нулевое приближение в основном дает правильное представление о процессе раскрытия трещины.



Решалась задача по определению минимального порогового значения импульса, при котором имеет место сколь угодно малое развитие трещины. Установлено, что. Расчеты показали, что раскрытие трещины начинается не сразу после окончания действия импульсной нагрузки, а приблизительно при 80*. Этот результат согласуется с эффектом запаздывания (см. статью Ю.В.Петрова и др. «Эффект запаздывания старта трещины при пороговых импульсных нагрузках» // Доклады Академии Наук. 2000, т.375. №3. c. 328-330).

Установлено также, что раскрытие трещины носит ступенчатый характер, т.е. состоит из нескольких участков роста трещины (>0), разделенных участками, на которых длина трещины не меняется (=0). Следует отметить, что вывод о ступенчатом характере раскрытия трещины также подтверждается экспериментальными исследованиями, проводимыми на кафедре теории упругости СПбГУ.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

Список работ по теме диссертации

  1. Матвеева (Синильщикова) Г.А. Динамика отслоения полубесконечной пластины при заданном законе возрастания прогиба ее свободного края // Международная конференция «Четвертые Окуневские чтения». 22 – 25 июня 2004 г., Санкт-Петербург: Тезисы докладов. – СПб.: Балт. гос. техн. ун-т, 2004. – С. 15.
  2. Матвеева (Синильщикова) Г.А. Динамика отслоения полубесконечной пластины при заданном законе возрастания прогиба ее свободного края // Международной конференция «Четвертые Окуневские чтения». 22 – 25 июня 2004 г., Санкт-Петербург: Материалы докладов. – Т.I. Теоретическая и прикладная механика. – СПб.: Балт. гос. техн. ун-т, 2005. – С. 115–122.
  3. Синильщикова Г.А. Использование реакций связей как обобщенных координат при моделировании колебаний упругих систем // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. Межвузовский сборник научных трудов. Вып.37. Перм. гос. ун-т. – Пермь, 2005. – С.146–156.
  4. Синильщикова Г.А. Использование квазистатического подхода в динамике стержневых систем // Международная научно-техническая конференция «Вычислительная механика деформируемого твердого тела». 31 января – 2 февраля 2006 г. Москва: Труды. – Т.2. – М.: Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), 2006. – С.383–386.
  5. Синильщикова Г.А. Ударное расклинивание тонкого бруса// Международная конференции по механике «Четвертые Поляховские чтения». 7-10 февраля 2006 г., Санкт-Петербург: Тезисы докладов. – СПб.: Изд-во «ВВМ», 2006. – С.215.
  6. Зегжда С.А., Синильщикова Г.А. Развитие трещины в тонком брусе при импульсном нагружении // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. Вып.3. – 2007. – С. 15–23.


Типография: отдел оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ,

Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д.26

Номер заказа

Тираж 100 экз.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»