WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СИНИЛЬЩИКОВА Галина Александровна

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО

ПОДХОДА В ДИНАМИКЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2008

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор ЗЕГЖДА Сергей Андреевич

Официальные оппоненты:

чл.-корр. РАН, доктор физико-

математических наук, профессор,

ПЕТРОВ Юрий Викторович,

кандидат технических наук,

старший научный сотрудник

РЫБАКИНА Оксана Григорьевна

Ведущая организация: Балтийский государственный

технический университет «Военмех»

Защита состоится "_____" _____________ 2008 г. в _____часов на заседании совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28, ауд. ____

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9.

Автореферат разослан " " 2008 г.

И.о. ученого секретаря диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, профессор Ю. М. Даль.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Работа посвящена развитию квазистатического подхода к решению задач динамики для балочных систем. Этот подход основан на рассмотрении упругих систем, имеющих связи, например опоры, как свободных систем, на которые действуют реакции связей. Данные реакции уравновешиваются силами инерции системы, которые соответствуют предположению, что система является абсолютно твердой. Величины реакций определяются при этом так, чтобы суммарные перемещения точек системы, вызванные ее движением как абсолютно твердого тела и ее деформациями, удовлетворяли уравнениям связей. Впервые такой подход был применен Г.Герцем при решении задачи о соударении шаров. Условие того, что шары при соударении не проникают друг в друга, является голономной связью. Полагая, что ее реакция, равная силе соударения, уравновешивается силами инерции поступательного движения шаров, Герц связал сближение шаров с силой соударения, т.е. свел задачу к системе с одной с степенью свободы.

В работах С.А. Зегжды и В.Н. Вернигора квазистатический подход Герца был обобщен и применен к широкому кругу задач динамики упругих систем. В настоящей работе новый вклад в квазистатический подход основан на рассмотрении внутренних силовых факторов в характерных сечениях и реакций связей в качестве обобщенных лагранжевых координат. Использование этих координат дало возможность в аналитической форме и притом достаточно точно найти первую собственную частоту и форму продольных и изгибных колебаний стержня переменного поперечного сечения. Рассмотрен свободный стержень и стержень, один конец которого заделан. Задача динамики развития трещины в тонком брусе при импульсном нагружении за счет введения изгибающего момента и перерезывающей силы в вершине трещины в качестве обобщенных лагранжевых координат значительно упростилась. Это позволило в рамках модели с тремя степенями свободы описать те основные аспекты развития трещины, которые наблюдаются в уникальных экспериментах, проводимых в СПбГУ под руководством чл.-корр. РАН Ю.В.Петрова.

Таким образом, тема диссертации является актуальной.

Цель работы. Основная цель работы заключается в том, чтобы продемонстрировать эффективность квазистатического подхода к задачам динамики упругих систем и показать целесообразность использования реакций связей и внутренних силовых факторов как обобщенных лагранжевых координат.

Методы исследований. При достижении поставленной цели используется квазистатический подход, а также принцип освобождаемости от связей, полнота системы собственных функций свободного стержня, универсальность уравнений Лагранжа второго рода.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

  • Показано, что, если свободный стержень переменного поперечного сечения мысленно разбить на две части и предположить, что каждая из частей под действием сил, приложенных к ней со стороны другой части, деформируется квазистатически, то при изгибных колебаниях система имеет четыре степени свободы, а при продольных – две.

    Полагая, что сечение, которым стержень разделяется на две части, является неподвижным, придем к рассмотрению консоли. При изгибных колебаниях система имеет две степени свободы и обобщенными координатами являются величины, пропорциональные изгибающему моменту и перерезывающей силе в заделке. Найденные приближенные значения первой частоты для консолей в виде клина и конуса больше точных соответственно на 0,1% и 0,2%. При продольных колебаниях погрешность приближенного значения больше, чем при изгибных. Так, для стержня в виде усеченного клина с заделанным концом приближенное значение первой частоты выше точного на 1,1%.

  • Построена квазистатическая модель динамики раскрытия трещины в тонком брусе при импульсном нагружении ее исходных берегов. В нулевом приближении модель имеет три степени свободы. Обобщенными лагранжевыми координатами являются изгибающий момент и перерезывающая сила в вершине трещины, а также длина трещины.
  • Предложен алгоритм построения последующих приближений, основанный на добавлении к этим трем координатам новых координат, позволяющих динамически учесть несколько первых форм колебаний свободного стержня. Показано, что можно ограничиться моделью, имеющей шесть степеней свободы.
  • Показано, что раскрытие трещины носит ступенчатый характер.
  • Определена минимальная величина импульса, при котором начинает развиваться трещина.
  • Построена феноменологическая модель, позволяющая определить зависимость длины раскрытия трещины от импульса приложенной нагрузки.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Развитые в ней методы могут быть применены при решении различных задач динамики балочных систем. Материал, изложенный в диссертации, может быть использован при чтении специальных курсов по актуальным проблемам механики и механике деформируемого твердого тела.

Апробация работы. Полученные в работе результаты были представлены автором на следующих конференциях [1, 2, 4, 5]:

Международная конференция «Четвертые Окуневские чтения», Санкт-Петербург, 2004 г.; Международная научно-техническая конференция «Вычислительная механика деформируемого твердого тела», Москва, 2006 г.; Международная конференция по механике «Четвертые Поляховские чтения», Санкт-Петербург, 2006 г.

Результаты докладывались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики СПбГУ (2007 – 2008 гг.), а также на семинаре Института проблем машиноведения РАН «Нестационарные задачи механики и физики» (2007 г.), на секции теоретической механики в Доме Ученых им. М.Горького (2007 г.).

Публикации. По теме диссертации имеется 6 публикаций [1–6], в том числе 1 статья в журнале, рекомендованном ВАК. В совместной работе [6] соавтору принадлежит постановка задачи и метод решения, диссертанту принадлежит реализация предложенного метода и результаты расчетов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 57 наименований. Число иллюстраций равно 19. Общий объем работы 86 страниц.

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, приведена краткая история квазистатического подхода в динамике упругих систем, дан обзор литературы, сформулированы цели и задачи работы, а также результаты, выносимые на защиту.

В первой главе рассматриваются изгибные колебания консоли переменного поперечного сечения – рис. 1 (а). Координата x отсчитывается от свободного конца балки, l – длина консоли, A(x) и J(x) – соответственно площадь и момент инерции поперечного сечения x, y(x, t) – прогиб сечения x.

Условия заделки консоли эквивалентны наличию двух голономных связей

. (1)

Используя принцип освобождаемости от связей, консоль будем рассматривать как свободную балку, к правому концу которой приложен изгибающий момент и перерезывающая сила. Свободная балка может, во-первых, перемещаться поступательно вдоль оси y и поворачиваться вокруг оси, перпендикулярной плоскости xy, и, во-вторых, изгибаться – рис. 1 (б). Будем считать, что изгиб балки носит квазистатический характер, т.е. происходит под действием сил инерции поступательного и вращательного движения балки как абсолютно твердого тела, уравновешенных реакциями связей. Интенсивность сил инерции такова:

.

Здесь E – модуль упругости,,

,

,.

Изгибающий момент в сечении x=zl, вызванный действием сил инерции равен

где

.

Интегрируя уравнение упругой линии

,,

получаем

. (2)

Здесь

.

Отметим, что функции hk(z) таковы, что

. (3)

Первое слагаемое в формуле (2) соответствует поступательному перемещению свободного стержня как абсолютно твердого тела, а второе – его повороту на угол вокруг правого конца.

Последние два слагаемые связаны с деформацией изгиба стержня. Кривая прогиба, им соответствующая, как следует из формул (3), удовлетворяет условиям свободного конца при x=0 и заделки при x=l. Поэтому, если изгибающий момент и перерезывающая сила приложены к неподвижному концу стержня (y=0, =0), то в квазистатике будем иметь

. (4)

Отсюда следует, что для консоли величины 1 и 2 можно принять за обобщенные лагранжевы координаты.

Отметим, что построенные функции h1(z) и h2(z), удовлетворяющие краевым условиям (3), можно рассматривать как удачно выбранные функции для консоли переменного сечения, позволяющие при рассмотрении ее колебаний использовать метод Рэлея–Ритца.

Собственные частоты колебаний данной системы с двумя степенями свободы таковы:

, i=1, 2.

Здесь – плотность материала, i – положительные корни уравнения

, (5)

,. (6)

Формы собственных колебаний, соответствующие частотам i, как следует из выражений (4) и (5), имеют вид

,.

Для апробации изложенного метода использовались точные решения для консоли в виде клина (, ) и конуса (, ). Расчеты показали, что погрешность определения величины 1 составляет для клина 0,1 %, а для конуса – 0,2%. Расчеты проводились также для консолей с другими зависимостями и.

Во второй главе внутренние силовые факторы в характерных сечениях стержня рассматриваются как обобщенные лагранжевы координаты. Обоснование такого подхода дается в § 2.1. В § 2.2 рассматриваются продольные колебания свободного стержня длины 2l – рис. 2. Разобьем мысленно стержень на две части длины l (стержень 1 и стержень 2) и наложим на данную систему, состоящую из двух свободных стержней, голономную связь, соответствующую условию равенства продольных перемещений в середине стержня (узле). Будем отсчитывать продольную координату xi, i=1, 2, для каждой из половин от ее свободного конца.

Обозначим через P растягивающее усилие в середине целого стержня (узле) и через u – перемещение узла вдоль оси x. Полагая, что и первый, и второй стержень под действием силы P деформируется квазистатически, смещение любого сечения обоих стержней сможем выразить через смещение узла u и силу P. Следовательно, величины u и P могут рассматриваться как обобщенные лагранжевы координаты. Данная система с двумя степенями свободы имеет нулевую собственную частоту, соответствующую поступательному перемещению стержней как абсолютно твердых тел, и ненулевую частоту, вычисляемую по формуле

,.

Здесь

,,

,

,

,.

Собственная форма колебаний, соответствующая этой частоте, запишется в виде

где

Как показали расчеты, для стержня в виде клина () величина =1,94, а для конуса () 1=2,30. Для стержня постоянной толщины 1=1,58, т.е. при сравнении с точным решением ошибка составляет 0,7%.

Для свободного стержня, симметричного относительно середины, когда

,

имеем

. (7)

Отметим, что частота p свободного стержня длины 2l равна в данном случае частоте p продольных колебаний стержня длины l, у которого конец x=0 свободен, а конец x=l закреплен. Решение этой задачи по методу Ритца при приводится в книге И.М. Бабакова «Теория колебаний». Показано, что

,

где все четыре цифры являются верными. По формуле (7) получаем

,

т.е. погрешность равна 1,1%.

При рассмотрении изгибных колебаний свободного стержня он также разбивается на два стержня длины l – рис. 4.

Рис.4. Разбиение исходного несимметричного стержня на стержни 1 и 2 при расчете изгибных колебаний: а – исходный стержень; б – стержень 1; в – стержень 2

Реакциями связей в данном случае являются изгибающий момент M и перерезывающая сила Q. Смещение общего сечения данных стержней вдоль оси y обозначим через y1, а угол его поворота через (рис. 4). Полагая, что каждый из стержней под действием момента M и силы Q деформируется квазистатически, перемещение вдоль оси y сечения xk=zkl k-го стержня, используя формулу (2), представим в виде

(8)

Функции и получим, заменяя в формулах, по которым находим соответственно функции и, функции и на и ;.

Из выражений (7) следует, что построенная модель свободного стержня имеет четыре степени свободы и обобщенными лагранжевыми координатами являются 1, 2, и. Потенциальная энергия изгиба данной модели зависит от двух координат и, а кинетическая энергия – от всех четырех. Поэтому система имеет две нулевые и две ненулевые частоты.

Если стержень симметричен относительно середины, т.е.

,,

,,

то первая ненулевая частота p1 соответствует той форме прогиба, которая симметрична относительно середины. При этом = 0 и = 0. При второй частоте p2 форма прогиба антисимметрична (y1= 0, =0). Частоты p1 и p2 таковы:

,, k=1, 2.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»