WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     ||
|
  1. Непосредственное получение P0(z) искомого дискретного распределения целевой характеристики для заданного вертикального разреза V0(T) с помощью операторного соотношения (3) практически неосуществимо по нескольким причинам.

Во-первых, даже если предположить, что построение точной модели изучаемых процессов является выполнимой задачей, эта модель, как правило, оказывается для реальных природных систем чрезвычайно громоздкой и сложной не только для аналитического, но и для численного исследования.

Во-вторых, из-за объективного недостатка данных о фактических свойствах структурных элементов системы и протекающих в ней процессов, что исключает возможность получения приемлемых результатов численного моделирования изучаемых процессов даже при наличии точной модели.

  1. В пределах каждого слоя i(t), i=1,2,…,n(t) структурной модели g(t) для физических свойств среды характерна непрерывная и, как правило, незначительная изменчивость в пространственном отношении.

В основу разрабатываемой в данной работе методологии решения Задачи P положены следующие принципы.

Принцип эволюционного развития

Постановка и решение прямой задачи (3) должны осуществляться в контексте эволюционного развития системы (t) с учетом динамики изменения ее структуры и свойств образующей ее материальной среды.

Принцип эффективного моделирования

Для моделирования исследуемого процесса должны использоваться эффективные модели. Под эффективной моделью понимается такая физически обоснованная модель исследуемого процесса, построение которой осуществляется для обеспечения адекватного моделирования заданной (целевой) характеристики. При этом перед эффективной моделью не ставится задача точного описания моделируемого процесса в целом. Адекватность моделирования понимается в том смысле, что эффективная модель должна быть потенциально настраиваемой (калибруемой) на имеющиеся полевые данные о значениях целевой характеристики. Другими словами, каковы бы ни были полевые данные, всегда можно выбрать такие значения модельных параметров (из множества их возможных значений), при которых моделируемые значения целевой характеристики будут в достаточной степени близки к полевым данным. Эффективная модель становится функционально адекватной лишь после ее калибровки (параметрической идентификации модели).

Принцип эффективного моделирования носит общий характер и имеет отношение не только математическим моделям, но и к любым другим моделям. По сравнению с точными моделями, эффективные модели, как правило, существенно более просты с точки зрения возможности их теоретического и численного анализа, что является их основным преимуществом. С другой стороны они имеют целенаправленный характер и не могут служить для полноценного изучения моделируемых процессов в целом.

Обязательным условием для рассматриваемых в работе эффективных моделей является возможность их естественной физической интерпретации.

Необходимость осуществления параметрической идентификации (калибровки) эффективной модели предполагает постановку и решение обратной задачи, которая в общем случае может быть сформулирована в следующем виде:

Задача

Пусть в области (T) известно полевое дискретное распределение P*(x,y,z,T) целевой характеристики. Требуется найти такой вектор *X, для которого выполнено условие:

G(*) = P* (4)

Обратная задача (4), как правило, не является корректной и для ее решения требуется применение регуляризирующих подходов. В работе используется один из таких подходов, ориентированный на построение так называемых -квазирешений.

Необходимо также обеспечить приемлемую вычислительную трудоемкость решения задачи (4). В этой связи используется следующий принцип.

Принцип минимальной сложности

В соответствии с этим принципом используемые для решения поставленной задачи эффективные модели должны быть предельно просты с вычислительной точки зрения. В связи с этим из принятого класса эффективных моделей необходимо выбрать модель по возможности минимальной вычислительной сложности. Реализация такой модельной идентификации в работе осуществляется посредством рациональной минимизации количества варьируемых модельных параметров прямой задачи за счет исключения из их числа тех параметров, влияние изменения значений которых на результат моделирования незначительно. С этой же целью осуществляется построение структурной модели минимально допустимой сложности за счет рационального уменьшения общего числа входящих в нее структурных элементов – слоев i(t), i=1,2,…,n(t). В результате достигается также большая сбалансированность сложности принятых модельных описаний и полевых данных.

Принцип пространственной локализации

Физические свойства системы, ее структура могут объективно способствовать специфической пространственной ориентации исследуемого процесса. В этом случае, и сбор данных, и моделирование желательно осуществлять в соответствии с имеющей место пространственной спецификой. Кроме того, по объективным причинам полевые данные могут быть пространственно локализованы или пространственно ориентированы, что также должно по возможности учитываться при разработке вычислительных схем анализа этих данных.

В данной работе при формулировке Задачи P было сделано предположение, что полевые данные представлены только в вертикальных разрезах Vk(T), k=0,1,2,…,nV. Как следствие, соответствующие полевые дискретные распределения P*k(z), k=1,2,…,nV пространственно ориентированы вдоль оси OZ.

В этой связи естественно произвести декомпозицию исходной математической модели на одномерную математическую модель, ориентированную на описание «проекции» исследуемого процесса на ось OZ и двумерную – ориентированную на описание «проекции» процесса на горизонтальную плоскость OXY. Одномерную модель, полученную в результате такой декомпозиции, будем называть «вертикальной» моделью, а двумерную модель – «латеральной». При этом учет в вертикальной модели латеральных составляющих процесса осуществляется за счет введения в модель дополнительных модельных параметров. Аналогичным образом осуществляется учет вертикальных составляющих процесса в латеральной модели.

Предположим, что указанная декомпозиция проведена и построена вертикальная математическая модель исследуемого процесса. Аналогично прямой задаче (3) запишем вертикальную задачу в виде:

Pk(z)= Gz((k)), k=1,2,…,nV (5)

где: Pk(z)=Pk(z,T) – модельное распределение характеристики в вертикальном разрезе Vk(T), k=1,2,…,nV, а (k) - соответствующий вектор модельных параметров. Задачу (5) будем называть одномерной задачей прямого моделирования или вертикальной прямой задачей, а оператор Gz() – оператором вертикальной прямой задачи.

Калибровку вертикальной модели естественно проводить отдельно для каждого вертикального разреза Vk(T), k=1,2,…,nV, решая обратную задачу в приведенной ниже постановке:

Задача z

Пусть для вертикального разреза Vk(T) известно полевое дискретное распределение P*k(z), целевой характеристики.

Требуется найти такой вектор (k)*X, для которого выполнено условие:

Gz((k)*) = P*k(z) (6)

В отношении задачи (6) могут быть приведены те же комментарии, что и к задаче (4) с точки зрения ее некорректности. Однако в вычислительном отношении нахождение численного решения задачи (6), безусловно, будет существенно менее трудоемким.

В контексте задачи (6) вертикальные разрезы Vk(T), k=1,2,…,nV будем называть также калибровочными разрезами, а вектора (k)* - соответствующими калибровочными векторами модельных параметров.

Общая схема методологии решения задачи численного прогнозирования характеристик природных динамических систем

Представим общую схему (рис.1) предлагаемой методологии решения исследуемой задачи в виде конечного числа выполняемых в определенной последовательности этапов11 (все требуемые при выполнении этих этапов действия предполагаются выполнимыми) и приведем необходимые комментарии к основным элементам (этапам) этой схемы.

  1. Задание исходной информации о системе (t) и ее характеристиках. На этом этапе доступная априорная фактическая или экспертная информация о системе анализируется и подвергается необходимой предобработке с тем, чтобы появилась возможность задать все необходимые для исследования сведения. В том числе:
  • временной отрезок [0,T];
  • временную сетку t = {ti / ti = ti-1+hti, hti>0, i=1,2,…,nt; t0=0, tnt=T};
  • внешние условия формирования системы для каждого из временных интервалов Ti=(ti-1,ti), i=1,2,…,nt;
  • количество слоев, определяющих структурную модель системы;
  • возможные свойства слоя i(t), i=1,2,…,n(t) при вхождении его в исследуемую систему;

- конечное множество калибровочных разрезов Vk и P*k(z) - имеющих место в настоящее время (t=T) дискретных полевых распределений значений целевой характеристики для каждого Vk, k=1,2,…,nV.

  1. Построение g(T) - структурной модели системы осуществляется экспертно на основании информации, заданной на первом этапе.
  2. Формирование эффективной математической модели исследуемого процесса и осуществление при необходимости ее декомпозиции. Определение перечня и задание диапазона возможных изменений значений модельных параметров. Этот этап полностью зависит от специфических особенностей конкретной системы и исследуемого процесса, а также структуры полевых данных. Построение модели осуществляется в масштабе времени развития системы.
  1. Постановка прямой задачи осуществляется в соответствии с выбранной эффективной математической моделью процесса. Построение численных методов решения прямой задачи должно учитывать ее математическую специфику.
  2. Постановка обратной задачи не зависит от специфики исследуемой системы и может быть осуществлена в общем случае. Для решения обратной задачи предлагается использовать, как отмечалось выше, регуляризирующий подход, ориентированный на построение так называемых -квазирешений.

Рассмотренные первые пять этапов общей схемы являются подготовительными этапами, предваряющими собственно процесс решения Задачи Р. Все они выполняются при непосредственном участии специалистов в соответствующей предметной области. При этом третий, четвертый и пятый этапы выполняются, как правило, лишь один раз при подготовке к численному решению задачи. При практическом применении методологии эти этапы могут быть исключены из общей схемы.

  1. Упрощение используемых эффективных моделей (модельная идентификация) осуществляется посредством уменьшения количества модельных параметров в результате исключения из числа варьируемых модельных параметров тех, изменение значений которых не оказывает существенного влияния на качество калибровки модели исследуемого процесса. Аналогичным образом исследуется возможность объединения (в один слой) любых двух соседних слоев i(t), i+1(t), i=1,2,…,n(t)-1 в структурной модели системы g(t). Весь процесс организовывается, как правило, в интерактивном режиме. В том числе и задание необходимых критериев исключения модельных параметров. После завершения этого этапа формируется окончательный (рабочий) вариант структурной модели системы и определяется рациональное количество варьируемых модельных параметров прямой задачи.
  2. Калибровка (параметрическая идентификация) вертикальной математической модели для каждого калибровочного разреза Vk, k=1,2,…,nV осуществляется посредством решения обратной задачи (6). В результате калибровки определяются значения компонент калибровочных векторов (k)*. В зависимости от конкретных целей, калибровка может проводиться, либо в автономном режиме для каждого калибровочного разреза, либо в режиме одновременной калибровки всех калибровочных разрезов с дополнительными условиями на согласование получаемых результатов (региональная калибровка). Установка значений управляющих процессом констант осуществляется в интерактивном режиме.
  3. Построение прогноза дискретного распределения P0(z) в заданной пространственной области V0. Этот этап выполняется полностью в автоматическом режиме и состоит из двух шагов.

На первом шаге посредством послойной интерполяции значений компонент калибровочных векторов (k)*, k=1,2,…,nV в вертикальный разрез V0 определяются значения компонент вектора (0)* - вектора модельных параметров для разреза V0.

На втором шаге в результате решения прямой задачи:

P0(z)= Gz((0)*)

осуществляется построение требуемого прогноза.

Pages:     ||
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.