WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Для нелинейных систем не представляется возможным провести четкое разграничение между силовым и параметрическим возбуждением. При силовом воздействии вынужденный колебательный процесс будет за счет нелинейности системы приводить к периодическому изменению соответствующих параметров. Исходя из этого, введем новую переменную по формуле, где – частное решение уравнения, соответствующее вынужденным нерезонансным колебаниям бегунков. Здесь – расстройка частоты собственных колебаний бегунков:. После замены переменной решение уравнений (2) ищется в виде, методом усреднения. В результате получаются дифференциальные уравнения первого порядка. Рассматривая стационарные решения этих уравнений, можно построить АЧХ колебаний бегунков, представленные на рис. 2, 3. Исследование устойчивости стационарных решений показывает, что кривые отмеченные штриховой линией являются неустойчивыми.

Из рис. 2, 3 видно, что увеличение линейного демпфирования сужает резонансную зону, а нелинейного – ограничивает амплитуду колебаний бегунков.

Рис. 2 – АЧХ при изменении линейного демпфирования

(,= 1/6, =0,15, )

Рис. 3 – АЧХ при изменении нелинейного демпфирования

(, = 1/6, =0,15, )

Пороговым условием возбуждения колебаний является неравенство

. (3)

С увеличением линейного трения выше порогового значения возникают дополни-
тельные субгармонические колебания за счет нелинейного параметрического возбуждения (рис. 2). Здесь имеет место жесткое возбуждение.

Решение уравнения (2) без правой части показывает, что внешняя периодическая сила не оказывает существенного влияния на субгармонический резонанс порядка 1/2. При её отсутствии происходит незначительное сужение и смещение резонансной зоны.

Также, проведено исследование колебаний роторно-бегунковой системы, при настройке её на гармонический резонанс (). Решение уравнения (2) искалось в виде с помощью вариационного метода Бубнова-Галеркина. Полученные после применения вариационного метода алгебраические уравнения решены численно методом итераций по способу Зейделя. Анализ построенных АЧХ показывает, что гармонический резонанс при вынужденных колебаниях поглощает в себя параметрический. К тому же в области последний практически не реализуются из-за высокого порогового условия, которое, в данном случае, имеет вид:.

Бегунки в резонансном режиме двигаются относительно друг друга с определённой фазой. Их центр масс движется по некоторой траектории. Вид этой траектории был определён при наличии трёх бегунков. В случае резонанса в области она представляет собой замкнутую кривую близкую к окружности, которую центр масс описывает с частотой в направлении вращения ротора. Таким образом, роторно-бегунковая система может работать аналогично дебалансному приводу, но с частотой возмущения вдвое меньше частоты вращения ротора. При работе системы, настроенной на гармонический резонанс, центр масс описывает окружность со смещённым центром. При этом центр масс двигается с частотой. Диаметр окружности, а следовательно величина неуравновешенной силы, непосредственно зависит от амплитуды колебаний бегунков и параметров системы.

В третьей главе исследуется динамика вибромашины при комбинационном параметрическом резонансе.

Комбинационный параметрический резонанс может быть реализован только в системах с двумя и более степенями свободы и проявляется как парное взаимо­действие форм колебаний с частотами и ().

Математическая модель вибромашины описывается следующими дифферен­циальными уравнениями с периодическими коэффициентами:

,

(4)

где, – соответственно коэффициенты линейного и нелиней­ного демпфирования бегунков;, – соответственно коэф­фициенты линейного и нелинейного демпфирования исполнительного органа; – общая масса системы.

Поскольку бегунки обра­зуют взаимосвязанную подсистему равноправных ос­цилляторов с одинаковыми собственными частотами (k =1,2,…,N), то в дан­ной системе возможно возбуждение многократного комбинационного пара­мет­рического резонанса.

Путём замены тригонометрических функций углов двумя членами их разло­жения в ряд и введением безразмерных величин:,,,,,, исходная система (4) заменяется приближёнными уравнениями:

,

(5)

где ; ; – коэффициент нелинейности упру­гих элементов;. Множитель может быть записан в виде, где – коэффициент пропорциональный отношению общей массы бегунков к массе всей системы.

Исследуется комбинационный резонанс, когда колебания возбуждаются на частотах, связанных с частотой параметрического возбуждения соотноше­нием, где (),. При такой настройке колебательная система ИЭ одновременно удовлетворяет условию возбуждения основного (простого) параметрического резонанса бегунков. Как и при простом резонансе сделаем замену переменных, где. Решение системы уравнений (5), с учётом замены переменной, ищется в виде,. Для определения неизвестных амплитуд, и фаз, применён вариационный метод Бубнова-Галеркина. Поскольку бегунки идентичны, то,. Исходя из симметрии инерционного элемента, решение искалось при дополнительном условии. После применения вариационного метода получена следующая система уравнений:

,,

(6)

Система алгебраических нелинейных уравнений (6) с учётом позволяет определить пять неизвестных:,,,,. Решение системы получено численно методом итераций в модификации Зейделя.

Результаты численного решения уравнений (6) представлены в графическом виде на рис. 4-8. Штрих пунктирные линии на рис. 4-7 соответствуют неустойчивым амплитудам рабочего органа.

Увеличение коэффициента линейного демпфирования исполнительного органа вибромашины при малых значениях коэффициента линейного демпфирования бегунков приводит к расширению резонансной зоны (рис. 4). При увеличении
линейного демпфирования в шесть раз амплитуда колебаний рабочего органа уменьшается только в 2,5 раза, что говорит о достаточно высокой стабильности резонансного режима. Следует отметить, что для расширения резонансной зоны требует-ся обеспечить определённую величину коэффициента линейного демпфирования


Рис. 4 – АЧХ исполнительного органа при изменении линейного

демпфирования (,,,,

,, ). Расширение резонансной зоны

Рис. 5 – АЧХ исполнительного органа при изменении линейного

демпфирования (,,,,

,, ). Сдвиг резонансной зоны

Рис. 6 – АЧХ исполнительного органа при изменении нелинейного

демпфирования (,,,,

,,, )

Рис. 7 – АЧХ исполнительного органа при изменении нелинейности

пружин (,,,,,

, )

Рис. 8 – Зависимости генерируемых частот и при

различных значениях линейного демпфирования (,,

,,,, )

бегунков. При значениях выше этой величины с увеличением линейного демпфирования исполнительного органа может происходить не расширение, а сдвиг резонансной зоны (рис. 5). Амплитуды колебаний исполнительного органа в зависимости от частоты возбуждения имеет вид пологих кривых, особенно при значительных величинах и. Такая пологость характеризует стабильность резонансных колебаний и вызвана нелинейностью дифференциальных уравнений. На рис. 6 можно видеть влияние нелинейного демпфирования на амплитуду колебаний исполнительного органа. С увеличением амплитуда уменьшается.

График на рис. 8 показывают изменение генерируемых частот и. Частота, с которой колеблется исполнительный орган, остаётся почти постоянной с изменением частоты возбуждения. Это достигается за счёт свойств комбинационного резонанса. Система настроена таким образом, что,. Однако, как видно из графиков, величина частоты колебаний исполнительного органа несколько больше единицы. Величина может быть ещё больше при увеличении значения коэффициента демпфирования. Такое расхождение происходит из-за нелинейности системы.

Применение в вибромашине нелинейных упругих элементов меняет характер её работы. Это видно по АЧХ на рис. 7. Использование упругих элементов с мягкой характеристикой () приведёт к ещё большему левому наклону кривых. Упругие элементы с могут компенсировать мягкую нелинейность в уравнениях для бегунков вплоть до наклона в противоположную сторону. Появляется нелинейная зависимость рабочей частоты, генерируемой вибромашиной, от частоты возбуждения. Происходит ещё большее расхождение от настройки.

Для определения влияния внешней силы уравнения (5) были решены при. В отсутствие внешней силы и для бегунков, и для исполнительного органа происходит небольшое смещение и уменьшение резонансной зоны.

Для выхода вибрационной машины на резонансный режим нужно, чтобы масса бегунков была достаточной для преодоления демпфирования рабочего органа и ИЭ. Пороговое условие для возбуждения комбинационного резонанса имеет вид:

. (7)

При отсутствии внешнего воздействия (d = 0) и настройке колебательной системы машины, условие существования колебаний:

. (8)

Из формулы (8) видно, что условие самовозбуждения колебаний существенно зависит от произведения коэффициентов демпфирования и от параметра. Например, при, а при, т.е. когда требуемая величина параметра получается втрое больше. Поэтому при возникает проблема обеспечения самовозбуждения колебаний вибромашины при достаточно малых. Для возбуждения колебаний необходимо, чтобы бегунки имели массу не ниже определённой величины. Эта величина зависит не только от коэффициентов трения и частот генераций, но и от массы всей системы. Самовозбуждению машины способствуют возмущения от остаточной неуравновешенности ротора ИЭ и виброактивность ИЭ вследствие настройки на простой параметрический резонанс.

Наличие трущихся поверхностей в роторно-бегунковой системе может приводить к возникновению в ней сухого трения. Для его преодоления величина амплитуды качания бегунков должна быть выше некоторой предельной. Однако, наличие сопутствующих малых нерезонансных колебаний рабочего органа, имеющих относительно высокую частоту, приводит к эффекту преобразования сухого трения в вязкое. Указанные факторы обеспечивают 100% выход вибромашины на резонансный режим колебаний.

В четвёртой главе дана физическая интерпретация поведения вибромашины при комбинационном параметрическом резонансе. Работа низкочастотной параметрически возбуждаемой вибромашины состоит в следующем. При разгоне вибромашины и достижении ей частоты вращения, лежащей в области неустойчивости относительного положения равновесия, (резонансной зоны) самовозбуждается многократный комбинационный параметрический резонанс. Вследствие качаний бегунков ИЭ и установления между ними определённой фазировки, k =1,2,3 их центр масс движется по закону (N = 3):

,

. (9)

При этом на рабочий орган машины в направлении координаты y будет действовать сила, которая на основании теоремы о движении центра масс системы определяется по формуле. Эта сила представляет собой обычную вынуждающую силу, которая состоит из двух гармонических составляющих с частотами и. Вторая часть вынуждающей силы имеет далеко зарезонансную настройку и её влиянием можно пренебречь и, следовательно, в уравнениях (9) допустимо пренебречь слагаемыми с комбинационными частотами. В этом случае центр масс бегунков по отношению к подвижной системе координат Ax'y'z' с началом в центре ротора ИЭ будет двигаться по закону

,

, (10)

где,. Из (10) видно, что центр масс в штрихованной системе координат описывает окружность в направлении вращения ротора ИЭ с частотой. Радиус окружности, по которой движется центр масс бегунков зависит от их амплитуды нелинейно. Вследствие кругового движения центра масс бегунков возникает неуравновешенная центробежная сила инерции, которая также вращается в плоскости ИЭ с частотой. Поскольку рабочий орган машины настроен на частоту, то составляющая неуравновешенной центробежной силы, имеющая частоту, будет вызывать резонансные колебания рабочего органа.

Пусть теперь рабочий орган совершает гармонические колебания согласно закону. Показано, что при таком движении дифференциальное уравнение k-го бегунка представляет собой уравнение вынужденных колебаний, в котором первая (основная) составляющая вынуждающей силы с частотой будет возбуждать резонансные качания бегунков.

Таким образом, в данной колебательной системе существенна взаимосвязь колебаний. Возникающая вследствие качаний бегунков неуравновешенная центробежная сила инерции вызывает резонансные колебания рабочего органа, а колебания рабочего органа вызывают резонансные качания бегунков. В результате такого двухстороннего взаимодействия обеспечивается стабильный резонансный режим колебаний машины. При этом рабочий орган совершает почти субгармонические колебания порядка 1/2.

Для подтверждения возможности возбуждения параметрического комбинационного резонанса и двукратного снижения частоты колебаний рабочего органа по сравнению с частотой вращения вала двигателя проведены экспериментальные исследования. Эксперимент проводился на двухмассной установке. В качестве генератора колебаний использовалась роторно-бегунковая система с тремя бегунками. Она приводилась во вращение двигателем постоянного тока СЛ-521М мощностью 77 Вт. Блок питания двигателя позволял плавно менять частоту вращения до 3000 об/мин. Двигатель с ротором был жёстко прикреплён на одном конце платформы. С другой её стороны, с целью балансировки, прикреплялся эквивалентный груз. Платформа вместе с двигателем и грузами являлась реактивной массой. Вторая масса – рабочий орган. На рабочем органе был закреплён датчик ускорений ДУ-5С, таким образом, чтобы измерять горизонтальные продольные колебания. Обе массы связаны друг с другом и с неподвижным основанием винтовыми пружинами. Сигнал с датчика ускорения, поступал на плату аналого-цифрового преобразователя (АЦП), непосредственно соединённую с ПЭВМ. Для обработки сигнала использовалось программное обеспечение “PowerGraph 2.0”. Также, на АЦП поступал сигнал от датчика, измеряющего частоту вращения вала двигателя. Параметрические колебания возбуждались в диапазоне от 31,5 до 34,7 Гц (). Собственная частота продольных колебаний определена по записи сигнала, полученного после удара по реактивной массе в соответствующем направлении. Её величина приблизительно равна 17,1 Гц.

По данным, полученным после обработки, построены АЧХ и зависимость относительной частоты колебаний рабочего органа от частоты возбуждения (рис. 9,10).

Частота продольных резонансных колебаний рабочего органа во всём диапазоне оставалась почти вдвое меньше частоты вращения вала двигателя. Это хорошо согласуется с теорией. С помощью строботахометра можно было видеть, что рабочая и реактивная массы в процессе колебаний перемещаются в противофазе.

Рис. 9 – АЧХ рабочего органа при продольных колебаниях

Рис. 10 – Зависимость частоты колебаний рабочего органа от частоты

возбуждения

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»