WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Толерантный интервал

Ограничением является условие нормальности распределения и условие однородности исследуемых данных.

В работе рассматриваются только количественные методы. Необходимость задания количественных требований может быть объяснена на основе теории вариаций, предложенной основоположником методов статистического управления качеством В. Шухартом.

Согласно концепции В. Шухарта все вариации параметров изделий обусловлены двумя типами причин: особыми и общими. Особые причины связаны с нарушением нормального хода процессов функционирования, должны быть выявлены и устранены. Это как раз задачи системы обеспечения надежности и безопасности и качественных методов. Общих причин, как правило, много. Вклад каждой из них невелик, однако их суммарное воздействие может оказаться значительным.

При этом возникают задачи оценки суммарного влияния этих факторов в количественной форме.

В настоящее время не существует регламентированного метода подтверждения требований к высоким вероятностям. Как в отечественной, так и в зарубежной практике методология обеспечения безопасности включает в себя как качественные, так и количественные, как детерминированные, так и статистические подходы. При этом решающая роль отводится математическому моделированию, проверке адекватности используемых математических моделей результатам летных испытаний.

В работе приведена технология проектирования систем автоматического управления самолетов.

Методика математического моделирования предусматривает два этапа – детерминированное и статистическое моделирование. При детерминированном моделировании анализируется работа алгоритма при определенном наборе начальных условий, центровок, весов и возмущающих воздействий.

Статистическое моделирование проводится на заключительном этапе отработки алгоритмов, позволяет подтвердить соответствие системы ТЗ с заданной вероятностью.

Статистическое моделирование проводится известным методом статистических испытаний с использованием программного обеспечения MATLAB, который можно считать имитационным, так как имитируется изменение внутренних параметров математической модели объекта испытаний и внешнего воздействия на него, что позволяет оценить статистические характеристики выходных параметров.

В работе также приведены модели случайных возмущений, имитирующих реальные эксплуатационные условия.

Возможность использования и дополнения результатов летных испытаний данными моделирования требует, прежде всего, проверки адекватности (т.е. одинаковости поведения в одинаковых условиях) математической модели.

Однако в работе вопрос подтверждения адекватности математической модели летным испытаниям не рассматривается. На основе исследований, проведенных в МИЭА, считается, что модели исследуемых систем автоматической посадки самолетов являются достоверными.

Во второй главе дан обзор и проведено исследование методов подтверждения соответствия вероятностных показателей безопасности нормам летной годности.

Основным методом подтверждения соответствия точностных характеристик систем автоматической посадки самолетов нормам летной годности является метод «проходит – не проходит», регламентированный в Западно-Европейских нормах летной годности и в методиках Летно-испытательного института имени М. Громова.

При этом требования к точностным характеристикам при посадке делятся на две группы.

Первую группу составляют требования к обеспечению комфортной посадки. В этой группе точностные характеристики должны находиться в допустимых пределах со сравнительно невысокой вероятностью 0,950,99, а выход за эти пределы определяет приемлемый риск.

Вторую группу составляют требования безопасной посадки. В этой группе вероятность нахождения в допуске составляет уже 0,9999990,99999999, а выход за пределы допуска определяет предельно допустимый риск.

В табл. 2 приведены требования Единых Западно-Европейских норм летной годности (ЕЗЕНЛГ) к предельно допустимому риску.

Таблица 2

Требования к предельно допустимому риску

Критерии характеристик

Вероятности превышения


Приземление в точке, расположенной на продольном расстоянии от порога ВПП меньшем 60м.


Касание ВПП в точке, расположенной за пределами огней освещения зоны приземления, т.е. на продольном расстоянии от порога ВПП, превышающем 830м.


Касание ВПП боковым колесом шасси в точке, расположенной на боковом расстоянии от оси ВПП, превышающем 21м в предположении, что ширина ВПП равна 45м.


Вертикальная скорость снижения, соответствующая ограничению по прочности.


Угол крена, при котором кончик крыла касается ВПП раньше колес шасси.


Боковая скорость или угол скольжения, соответствующие ограничению по прочности.

Метод «проходит – не проходит» основан на использовании информации «отказ - успех». Единственным ограничением метода является условие постоянства оцениваемой вероятности при проведении n испытаний.

Используется оценка вероятности по частоте, основанная на биномиальном распределении:

(1)

где - объем испытаний;

- число отказов;

R – неизвестная вероятность исхода испытания.

Решающие правила приемки и браковки получены из уравнений Клопера-Пирсона:

(2)

где - доверительная вероятность;

- соответственно нижняя и верхняя доверительные границы.

Метод «проходит – не проходит» не использует какой-либо информации о параметрах распределения характеристик движения самолета при его автоматической посадке. Однако при большом объеме моделирования, как минимум могут быть оценены с высокой точностью математическое ожидание и дисперсия распределений этих характеристик.

Такая информация достаточна для определения нижней гарантированной границы исследуемой вероятности в соответствии с неравенством Чебышева:

(3)

Эту информацию можно использовать далее в биномиальной схеме получения информации. При этом область определения параметра R сузится с [0 1] до [ 1], где – гарантированное значение, полученное из неравенства Чебышева, т.е. модифицированное биномиальное распределение будет иметь вид:

(4)

Введение нижней гарантированной границы позволяет существенно сократить необходимый объем испытаний.

На рис. 1 и 2 приведено число испытаний для приемки и браковки изделия с доверительной вероятностью =0,95.

Рис. 1. Число безотказных испытаний, необходимое для приемки изделия

с доверительной вероятностью 0,95

Рис. 2. Число безотказных испытаний, достаточное для браковки изделия

с доверительной вероятностью 0,95

Дополнительную априорную информацию можно получить, анализируя показатели асимметрии и эксцесса.

Исходя из особенностей распределений, отличающихся от нормального, правые «хвосты» нормального распределения для больших вероятностей более «тяжелые», чем у распределений с отрицательным показателем асимметрии и показателем эксцесса, меньшим 3. Поэтому для этих случаев нормальное распределение является «гарантированным», т.е. если требования подтверждаются для нормального распределения, то они будут подтверждаться и для распределения с такими показателями; если же требования для нормального распределения не подтверждаются, то это не означает браковку для исследуемого распределения – необходимы дополнительные исследования.

Для положительных показателей асимметрии и показателей эксцесса, больших 3, браковка по нормальному закону эквивалентна браковке по исследуемому распределению, однако приемка в нормальном случае не означает приемку для распределений, отклоняющихся от нормального в указанном смысле.

Данный вывод подтверждается в работе при рассмотрении семейства распределений Пирсона.

В ЕЗЕНЛГ для подтверждения требований к безопасности предлагается более сложный алгоритм, основанный на распределении Пуассона и приводящий к тем же результатам, что и использование более простого и допускающего модификацию биномиального распределения.

В случае, когда не хватает объема моделирования или вариант «хуже» нормального, необходимо переходить на более экономичные по объему реализации параметрические подходы.

Основным методом при этом является широко известный в математической статистике, параметрический метод, основанный на понятии толерантного интервала.

Решающее правило

(5)

где – квантиль стандартного нормального распределения, т.е. аргумент функции для заданного значения вероятности ;

– допустимое значение параметра.

Однако на практике значения m и неизвестны: целью испытаний как раз и является получение их оценок

,. (6)

При этом решающее правило трансформируется:

, (7)

где коэффициент

(8)

учитывает отличия оценок от истинных значений параметров распределения и табулирован для различных значений.

Ограничениями на использование данного подхода является условие нормальности распределения исследуемой точностной характеристики, а также условие однородности, т.е. принадлежности всех выборочных значений одной генеральной совокупности.

Исследования, проведенные как за рубежом, так и в России в Летно-испытательном институте имени М. Громова, показали, что, к сожалению, в задачах безопасности отклонения от нормальности в хвостах распределений значительны и их нельзя не учитывать.

Проведено обобщение толерантного интервала на случай произвольного распределения:

, (9)

где – квантиль конкретного распределения.

Для подтверждения требований к безопасности в количественной форме необходим подбор некоторого аппроксимирующего распределения, осуществляемый в третьей главе.

В третьей главе проведена аттестация методов подбора аппроксимирующих распределений.

Рассмотрен один из вариантов – аппроксимация на основе типовых распределений, требующий информацию в виде оценок показателей асимметрии и эксцесса. На диаграмме Пирсона (рис. 3) показаны области в плоскости, занимаемые типовыми распределениями.

Для оценки параметров распределения наиболее часто используется метод моментов, заключающийся в приравнивании аналитических выражений моментов их выборочным оценкам.

Дальнейшим развитием метода моментов и диаграммы К. Пирсона является аппроксимация на основе семейства распределений К. Пирсона.

На рис. 4 представлены области в плоскости для различных типов распределений семейства Пирсона.

Рис. 3. Области в плоскости для различных распределений

Рис. 4. Область в плоскости для распределений Пирсона различного типа

Основные типовые распределения являются частными случаями распределений семейства Пирсона, а распределение типа V имеет такие же показатели, как более простое логарифмически нормальное распределение.

Исключение составляет мало используемое в практике распределение типа IV.

Использование известных соотношений для оценки параметров распределений, а также наличие таблиц квантилей распределений Пирсона делает эту аппроксимацию чрезвычайно привлекательной для практического использования.

Однако из семи типов распределений Пирсона два – ограничены с обеих сторон, а три – с одной стороны.

Исследования автора, проведенные по результатам летных испытаний самолета ТУ-154, показали, что для реальных объемов выборок оценками ограничений является соответственно минимальное/максимальное значение в выборке.

Таким образом, использование семейства распределений Пирсона для экстраполяции ненаблюдаемых «хвостов» распределений ограничено.

Широкое распространение нормального закона распределения, результатов теории оценивания и проверки статистических гипотез, асимптотической выборочной теории, базирующихся на условии нормальности, наличия таблиц распределений, связанных с нормальным, сделали привлекательной идею преобразования случайной величины с произвольным законом распределения в нормально распределенную случайную величину.

Наиболее общим нормализующим преобразованием является подход Джонсона. Диаграмма (рис. 5) иллюстрирует области в плоскости , занимаемые распределениями семейства Джонсона различных типов.

Рис. 5. Графики для выбора соответствующего аппроксимирующего

распределения Джонсона

Распределение Джонсона занимает ту же область, что и распределение IV типа Пирсона, однако более простое в практическом использовании.

Ограничения в применении преобразования Джонсона те же, что и для семейства распределений Пирсона.

В работе предлагается инженерная методика оценки параметров распределения Джонсона. Идея вывода показана на примере логарифмически нормального распределения. Используются соотношения, применяемые при обработке косвенных измерений в теоретической метрологии, а именно, если – нелинейная функция, то оценки математического ожидания и дисперсии могут быть получены двумя способами:

и, (10)

причем показано, что второй способ обладает более высокой точностью. Данный подход более экономен в вычислительном аспекте, так как не требует логарифмирования каждого измерения.

В четвертой главе даны рекомендации по использованию аппроксимаций семействами распределений Пирсона и Джонсона, а также по использованию смесей распределений.

Проанализирована чувствительность типа распределения к статистическим погрешностям оценок показателей асимметрии и эксцесса и, а также обоснован необходимый объем моделирования, при котором можно пренебречь статистическим разбросом показателей (табл. 3).

Таблица 3

Параметры распределения при различном числе реализаций

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»