WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

В узлах из упругого одномерно протяжённого материала существуют два типа волн: горизонтальные, расположенные параллельно плоскости проекции и образованные их замкнутыми витками, и вертикальные, образованные пере­плетёнными скрещениями узла. Первый тип волн сохраняет при движении свою форму подобно солитонам — объектам, сочетающим свойства волн и частиц и играющих важную роль в современных нелинейных теориях естествознания, а второй представляет собой бегущие поперечным волнам деформации на протя­жённых деформируемых телах. В затягиваемых узлах бегущие поперечные волны деформации определяют характер их затягивания, поэтому такую важность при­обретает порядок переплетения в узле, тогда как форма витков играет вторичную роль. Напротив, в декоративных узлах и плетениях главную роль играют витки и их форма, а переплетения призваны обеспечивать сохранение формы витков.

Витки-солитоны могут быть образованы на замкнутом упругом одномерно протяжённом объекте топологически эквивалентном кольцу или тривиальному узлу. Простейший узел трилистник при этом может быть образован как зацепле­ние единственного витка-солитона за свободную часть кольца.

Трилистник является торическим узлом, то есть обмоткой поверхности тора — двумерного многообразия с одной дыркой. Некоторые другие узлы могут также быть расположены на соответствующих двумерных многообразиях: кольцо, или тривиальный узел, располагается в виде обмотки на сфере, а узел восьмёрка — на кренделе с двумя дырками. Трилистник может быть представлен в виде двух зер­кальных обличий — левого и правого, топологически не преобразуемых друг в друга, каждый из которых может быть завязан на поверхности тора без контакти­рующих точек скрещений, но будучи завязанными вместе на одном и том же торе, они физически контактируют друг с другом в общих точках скрещений, образуя структуру заузленной ткани на поверхности тора, представляющей собой модель точечной поверхности тора. Аналогичным образом можно построить модель то­чечной поверхности произвольного ориентируемого двумерного многообразия, располагая на его поверхности по меньшей мере два зеркальных узла-обмотки соответствующего типа.

13

Энергии упругости в заузленном стержне, зависящая от топологической сложности узла, стремясь принять наименьшее значение, приводит к тому, что его средняя линия стремится совпасть с плоскостью, в результате чего все скре­щения узла становятся реально контактирующими, и их множество формирует точечную модель плоскости. При этом плоская модель точечной поверхности, заданная узлом или зацеплением нескольких узлов, в результате приложения к ней внешнего усилия и создания избыточной внутренней энергии упругости, мо­жет быть выведена из плоскости и преобразована в пространственное положение. Такие заузленные структуры, моделирующие точечные поверхностей и действую­щие как волновые механизмы, автор предложил называть специальным термином «NODUS структуры» (от лат. nodus, — узел).

В § 2.2. «Анализ свойств симметрии и модулярности циклических узлов и за­цеплений» исследуется типы узлов и зацеплений, которые потенциально могут моделировать кинематические точечные поверхности, способные совмещаться с плоскостью и образовывать пространственные поверхности-оболочки.

Любой узел или зацепление с некоторым количеством контактирующих скре­щений, моделирует фрагмент точечной поверхности, но её обратимую кинемати­ческую изменяемость происходящую вследствие трансформации, а не деформа­ции структуры, могут обеспечить только те из них, которые обладают цикличе­ской упорядоченностью. Регулярность узлов и зацеплений, придающая им формо­образующие свойства, проявляется в циклическом заполнении их образующими кольцевой области между двумя замкнутыми огибающими.

Анализ симметрии диаграмм неразложимых узлов и зацеплений из таблиц Д. Рольфсена (1976) показывает, что преобладающим видом симметрии для них является осевая симметрия порядка n, где n — любое число от 1 до. Такая сим­метрия в основном характерна для орнаментов и возникает благодаря примене­нию принципа переплетения, который приводит к выпадению плоскостей симме­трии, пересекающихся по оси симметрии. Для узлов и зацеплений наибольший из возможных порядков оси симметрии может рассматриваться как инвариант. Так, например, трилистник можно представить на плоскости в виде двух топо­логически равноправных обличий диаграмм, одно из которых имеет порядок оси симметрии равный двум, а другое — трём. Диаграмма трилистника с большим значением порядка оси симметрии может быть отнесена к циклическому (пери­одическому) типу узлов моделирующим своей структурой изменяемые точечные поверхности.

В результате проведённого анализа установлено, что для циклических узлов и зацеплений принадлежность к симметричным или асимметричным структурам определяется исключительно положением их образующих относительно точечной поверхности, а не взаимным расположением задающих её точечных контактов. Следствием этого стал принятый автором дифференцированный подход к симме-

14

трии собственно узлов и зацеплений и симметрии задаваемых ими точечных си­стем, для чего циклические узлы и зацепления были представлены в виде универ­сальных диаграмм, расположенных на срединной точечной поверхности, модели­руемых плоскими кривыми и являющихся графами с вероятностным взаимным положением пересекающихся участков кривых в каждой вершине. Универсальные диаграммы содержат в себе 2n потенциально возможных узлов или зацеплений где n — количество точек скрещений или вершин данной плоской диаграммы.

В § 2.3 «Принципы развития циклических узлов и зацеплений в NODUS струк­туры» рассматривается задача закономерного перехода от простейших узлов и зацеплений, представленных в математических перечнях, к NODUS структурам с гораздо большим числом двойных точек, достаточным для возникновения у них точечной поверхности и проявления ими формообразующих свойств.

Эксперименты, проведенные автором, показали, что минимальное количе­ство контактирующих скрещений у циклического узла или зацепления, необхо­димое для проявления ими кинематических свойств обратимой трансформации должно быть не менее двух-трёх десятков. Помимо количественных критериев, большое значение имеет и качественные, то есть порядок распределения множе­ства контактирующих скрещений по структуре узла или зацепления.

Получение сложных узлов на основе простейших известно как «развитие узлов» и широко применяется в построении плетёных орнаментов, в частности кельтских, однако при орнаментальном развитии каждый производный узел имеет связь только с исходным узлом, а какая-либо связь между отдельными произво­дными узлами отсутствует. В противоположность орнаментальному может быть предложен метод последовательного развития, согласно которому каждый произ­водный узел или зацепление одновременно является исходным для последующе­го. Последовательное развитие может быть названо также закономерным или мо­дулярным, поскольку оно состоит из однотипных единичных операций развития, благодаря которым развиваемые узлы или зацепления выстраиваются в ряды.

В качестве примера последовательного развития узлов может быть рассмо­трен ряд узлов, образованных по принципу трилистника, первые шесть предста­вителей которого изображены на рисунке 2 a - f. В данном ряду каждый последу­ющий узел отличается от предыдущего на один виток и на одну петлю, что при­водит к равномерному распределению скрещений. Значения каждого из основных параметров узлов данного ряда составляют отдельную числовую последователь­ность. Для витков и петель такими последовательностями являются арифметиче­ские прогрессии, первые члены которых соответственно равны 2 и 3, а разности обеих равны 1. Число орбит узлов ряда трилистника изменяется по натуральному ряду, а последовательность количеств их скрещений является арифметической прогрессией второго порядка вида an = n(n + 2).

В § 2.4 «Кинематические формообразующие структуры из зацепленных ко-

15

лец» рассматривается кинематика трансформации из плоскости зацеплений колец — тривиальных узлов, сочетающих в себе принципы шарнирных и волновых ме­ханизмов.

По аналогии с развитием простейшего узла трилистника в формообразующие NODUS структуры, рассматривается развитие простейшего зацепления — двух зацепленных колец, известных как «зацепление Хопфа», а следующим в этом ряду будет зацепление трёх колец, называемое «кольца Борромео», которые, как и не­которые более сложные зацепления колец этого ряда, часто использовались в тра­диционной символике и орнаментальном искусстве.

Некоторые виды центрических плетёных орнаментов могли быть изначаль­но связаны с идеей трансформации плоскостных структур в пространственные. Примером такого орнамента может быть мандала Калачакры, представляющая со­бой один из центральных символов тибетского буддизма.

Согласно Калачакре, космос формируется вокруг горы Меру, в центральной части которой расположены так называемые «двенадцать тропинок ветра» — пе­реплетающиеся между собой кольцевые орбиты, образующие полусферическую форму, по которым движутся планеты. Обычно в традиционных тибетских ман-далах тропинки ветра изображаются в плоском виде и геометрически представ­ляют собой двенадцать зацепленных и переплетённых между собой колец. Их принцип зацепления является развитием зацепления Хопфа и колец Борромео. Сакральная геометрия орнамента — мандалы Калачакры — содержит в себе идею преобразования структуры зацепленных колец из плоскостного положения в про­странственное (полусферическое), то есть формообразования циклических узлов и зацеплений.

Кинематическая модель зацепленных колец представляет собой элемен­тарную формообразующую структуру, способную трансформировать плоскост­ную развёртку в трёхмерную пространственную поверхность шарового слоя. Плоскость может рассматриваться как поверхность шара бесконечного радиуса. Структура зацепленных колец при своей трансформации действуют как шарнир­ный механизм, сходный со складывающимися и раскладывающимися формоо­бразующими структурами из шарнирно соединённых между собой плоскостных элементов. Поворот всех зацепленных колец синхронно на один и тот же угол выводит их из плоскости в пространственное положение.

В § 2.5 «Плоскостные и пространственные трансформации NODUS струк­тур» рассматриваются принципы формообразования NODUS структур для обще­го случая циклического узла или зацепления нескольких циклических узлов.

В процессе трансформации NODUS структура изменяет площади граней, длины рёбер и величины углов между ними, сохраняя лишь инвариант количества точек-вершин и связность между ними. Благодаря этим особенностям, NODUS структура способна изменять свою геометрию в целом и образовывать точечные

16

модели поверхностей произвольной гауссовой кривизны: параболической, эллип­тической и гиперболической, которые полностью исчерпывают все возможные внутренние геометрии двумерных многообразий, но в противоположность сплош­ным моделям поверхностей, не способным изменять свою кривизну без разрывов и складок, точечные поверхности NODUS структур допускают преобразования поверхностей положительной гауссовой кривизны (эллиптические) в поверхно­сти отрицательной гауссовой кривизны (гиперболические) через посредство по­верхностей нулевой гауссовой кривизны (параболических). Форма тора или крен­деля образуется как комбинация фрагментов поверхностей положительной и от­рицательной гауссовых кривизн с промежуточными областями нулевой кривизны. Возможно также образование точечных моделей других поверхностей, включая поверхности с самопересечениями и односторонние поверхности, а также соз­дание NODUS структур, моделирующих только часть поверхности двумерного многообразия.

Кроме трансформаций NODUS структур, изменяющих знак своей кривизны на противоположный, которые могут быть названы «качественной трансформа­цией», возможен также и другой тип трансформации — «количественный», осу­ществляемый как постепенное изменение численного значения гауссовой кривиз­ны точечной поверхности от минимального значения, которое может быть равным нулю, и в этом случае точечная поверхность NODUS структуры аппроксимирует собой фрагмент плоскости, до максимального без изменения знака самой кривиз­ны. Процесс её трансформации представляет собой непрерывную последователь­ность изменяющихся форм, например от плоскости к сферическому сегменту, за­тем к полусфере, а от неё к сфере, как показано на рисунке 3, a - e, причём транс­формация является обратимой. Любое промежуточное пространственное поло­жение NODUS структуры может быть зафиксировано посредством ограничения её кинематических свойств, например посредством дополнительных элементов крепления, в результате чего трансформируемая структура может быть превраще­на в статичную.

В Главе 3 «Исследование возможностей применения формообразования узлов в дизайне» рассматриваются основные направления экспериментально­го дизайна, с которыми сопоставляются различные аспекты формообразования NODUS структур.

В § 3.1 «Комбинаторное формообразование NODUS структур» рассматри­ваются принципы комбинаторного формообразования в качестве основы способа построения NODUS структур и их сочетаний между собой.

Комбинаторный способ построения NODUS модулей основан на закономер­ном расположении в пространстве исходных элементов, а также соединительных и опорных элементов. NODUS модуль выполняют из единого конструктивного

17

объекта, представляющего собой линейно протяженное нерастяжимое цилиндри­ческое тело — стержень из упруго-гибкого материала, который предварительно разделяют на несколько технологических групп.

Комбинаторные принципы построения NODUS модулей могут быть пред­ставлены в виде двух таблиц, в которых показаны примеры образования структур конвергентного (сходящегося) и дивергентного (расходящегося) типов. В при­мерах, приведенных в этих таблицах, число попарно состыкованных стрежней первой и второй технологических групп равно восьми. В вертикальном заглавном столбце последовательно представлены все варианты, получаемые при различных способах укладки и одновременного перекрещивания между собой стержней пер­вой группы, число которых равно четырем. В горизонтальной заглавной строке последовательно представлена комбинаторика взаиморасположения и изгибания стержней второй группы, причем число комбинаторных вариантов здесь не огра­ничено.

В § 3.2 «Кинетическое формообразование NODUS структур» рассматрива­ются особенности формообразования NODUS структур как кинематических вол­новых механизмов и проводится их сравнение с известными типами шарнирных кинематических механизмов, применяемых в различных областях дизайна.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»