WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

В 2003 году немецкими актуариями Т. Маком и Г. Куаргом был предложен метод, позволяющий сблизить индивидуальные оценки резерва, полученные на базе произошедших и оплаченных убытков. В основе метода лежит отмеченная авторами связь между соотношением оплаченных убытков к произошедшим (P/I) и последующей динамикой развития убытков. Так, например, если доля оплаченных убытков относительно мала, то вероятно относительно более динамичное развитие оплаченных убытков в следующем периоде. Метод Мюнхенской цепочной лестницы, как назвали его авторы, опирается на вероятностную модель метода цепочной лестницы, разработанную Т. Маком. Метод явился настоящим прорывом в резервировании убытков и активно обсуждался в актуарной литературе. Среди недостатков метода основным является не зависящее от периода развития одинаковое влияние соотношения (P/I) на последующую динамику развития. Впоследствии Б. Вердиером и А. Клинджером был предложен JAB-Chain метод, который учитывал возможность изменяющегося во времени влияния соотношения (P/I).

Тем не менее, применение Мюнхенского метода цепочной лестницы, как и его дальнейших модификаций, в результате приводит все также к двум отдельным оценкам резерва произошедших, но неурегулированных убытков и при определении окончательного размера резерва актуарий должен сделать выбор между этими двумя оценками. Один из возможных подходов к получению единой оценки состоит в следующем. Вероятностная модель классического метода цепочной лестницы позволяет оценить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение для случайной величины, описывающей значения резерва. Отдельный расчет для оплаченных и произошедших убытков дает две пары оценок для 2-х случайных величин, каждая из которых описывает одно и то же физическое явление – величину резерва произошедших, но не урегулированных убытков.

В общем случае 2-е рассмотренные случайные величины могут быть взаимно зависимы. Для определения степени зависимости вероятностная модель метода цепочной лестницы дополняется предположением о существовании постоянных коэффициентов корреляции между факторами развития для произошедших и оплаченных убытков для заданного периода развития. Данное предположение является наиболее естественным для метода цепочной лестницы, и впервые было исследовано К. Брауном в 2004 году. В настоящей работе предлагается модификация модели зависимости, предложенной Брауном, которая позволяет получить более простое выражение для ковариации индивидуальных величин окончательных убытков. В работе рассматривается только линейная форма зависимости индивидуальных оценок, в будущем могут быть рассмотрены другие формы зависимости.

В качестве критерия оптимальности в работе используется минимизация функции расстояния от точки прогноза до «центра масс» совместного распределения 2-х величин. Такой прогноз будет учитывать особенности каждого треугольника выбывания и относительную стабильность коэффициентов развития.

Выбор критерия оптимальности прогноза резерва при имеющейся информации

Задачу построения оптимального прогноза можно сформулировать следующим образом: существуют 2-е случайные величины, описывающие одно и то же физическое явление. Требуется построить наилучший прогноз, основываясь на знании первых двух моментов для обеих случайных величин и заданной величины линейной зависимости. Один из подходов заключается в минимизации функции ошибки, представляющей собой расстояние от прогноза до «центра масс» совместного распределения 2-х случайных величин. Если 2-е случайные величины полностью независимы (точнее некоррелированы, так как рассматривается только линейная зависимость), то функция ошибки (или функция расстояния) и условие достижения минимума выглядят следующим образом:

(1)

где

U – оптимальный прогноз физического явления

- резерв, рассчитанный на базе оплаченных убытков

- резерв, рассчитанный на базе произошедших убытков

Если случайные величины являются коррелированными, то функцию ошибки нельзя определить способом, аналогичным вышеприведенному. Наличие корреляции в общем случае требует применения другой нормы при определении расстояния. Более простой подход состоит в переходе к 2-м новым случайным величинам, с одной стороны представляющим линейную комбинацию первых двух, но не являющихся коррелированными - с другой. Условием некоррелированности будем считать равенство дисперсии суммы двух случайных величин сумме их дисперсий, или

(2)

Соотношение для коэффициентов, удовлетворяющих условию некоррелированности, имеет следующий вид:

Без ограничения общности можно положить a = c, b = -d. Тогда значения коэффициентов будут равны

Новая пара некоррелированных случайных величин Z1 и Z2 будет выглядеть следующим образом:

Для полученных некоррелированных случайных величин можно воспользоваться уже рассмотренной выше функцией ошибки. Минимум данной функции достигается при

(3)

Т.о. оптимальный прогноз для коррелированных случайных величин также является взвешенной средней ожидаемых индивидуальных значений резерва.

Расчет характеристик индивидуальных случайных величин, описывающих размер резерва. Выбор подходов к оценке чувствительности резерва.

Для расчета оптимального прогноза величины резерва необходимы оценки стандартных отклонений для индивидуальных резервов и оценка ковариации индивидуальных резервов. Рассмотренные в первой главе методы расчета резерва фактически позволяют получить точечный прогноз величины резерва. На практике в качестве меры изменчивости прогноза обычно используется ошибка прогноза, определяемая как стандартное отклонение распределения прогнозных значений резерва.

Первым шагом к получению ошибки прогноза является формулировка базовой вероятностной модели, содержащей предположения о распределении исходных данных. Как правило, к вероятностной модели предъявляется требование о совпадении прогнозного значения резерва, полученного в рамках вероятностной модели, с результатами использовании метода цепочной лестницы. Для этого существует два способа:

  • Явное определение функции распределения данных;
  • Или определение только первых двух моментов.

На практике применяются модели, которые используют сверх рассеянное Пуассоновское распределение, отрицательное биноминальное распределение, Нормальное распределение, Гамма-распределение.

Оценка изменчивости фактически подразумевает оценку среднеквадратической ошибки. Рассмотрим случайную величину y и ее прогнозное значение. Среднеквадратическую оценку прогноза в этом случае можно записать как:

(4)

Учитывая несмещенность оценки, т.е. и предполагая, что будущие наблюдения не зависят от предыдущих получаем разложение ошибки прогноза на ошибку процесса и ошибку оценки:

(5)

Когда ошибка прогноза окончательных убытков и величины резерва оценивается с использованием классических статистических методов, задача сводится к оценке двух составляющих компонент. Если может быть построено распределение прогнозных значений, среднеквадратическая ошибка прогноза может быть рассчитана непосредственно как дисперсия полученного распределения, что имеет место при использовании техники бутстрап.

В работе рассматривается вероятностная модель на базе условных математических ожиданий, не требующая специальных предположений о распределении исходных данных, предложенная Т. Маком:

(ЦЛ1): Существуют коэффициенты развития f1, …, fI–1, такие что

(6)

или, что то же самое,. Следует отметить, что рассматривается именно условное мат. ожидание при наблюдаемых до текущего момента данных. При использовании безусловного мат. ожидания коэффициенты развития усреднялись бы по всем возможным наборам данных.

(ЦЛ2): Года событий {Ci1, …, CiI}, 1 i I, независимы.

(ЦЛ3): Существуют постоянные коэффициенты пропорциональности, такие что

(7)

Т. Мак показал, что именно эта модель дисперсии совместно с предположениями (ЦЛ1) и (ЦЛ2) лежит в основе классического метода цепочной лестницы. Можно предположить существование альтернативных моделей дисперсии, однако следует иметь в виду, что выражения для факторов развития для альтернативных моделей будут другими. Две очевидные альтернативы (зависимость среднеквадратического отклонения от 1-ой степени объясняющей переменной и полное отсутствие гетероскедастичности) и соответствующие формулы для оценки факторов развития приводятся ниже:

1. (8)

2. (9)

В работе рассматривается 1-ая альтернативная модель дисперсии. Оценка факторов развития в этой модели наиболее устойчива, что особенно важно для тех видов страхования, по которым имеющаяся статистика убытков мала. Особенности развития крупных убытков в этой модели не определяют развитие в среднем (как это происходит в обычном методе цепочной лестницы).

Несмещенная оценка коэффициента пропорциональности для модифицированного (ЦЛ3) рассчитывается по следующей формуле:

(10)

Формула для расчета дисперсии оценки резерва для выбранной модели дисперсии выводится по аналогии с выводом в работе Т. Мака:

(11)

Выход из рекурсии определяется следующими условиями:

(12)

Заменив неизвестные параметры fk, k несмещёнными оценками,, приходим к оценке дисперсии Var(CiI | D). Для оценки для I–1 можно воспользоваться предложенным Т. Маком соотношением.

Построение модели ковариации оценок резервов

Для определения меры линейной зависимости между значениями индивидуальных резервов для определенного периода наступления убытков модель цепочной лестницы дополняется следующим предположением:

(ЦЛ4): Модель ковариации

Существуют постоянные коэффициенты пропорциональности, такие что

(13)

Учитывая принятую модель дисперсии, а именно имеем:

(14)

Оценку коэффициента пропорциональности можно записать следующим образом:

(15)

В данном случае в знаменателе стоит количество наблюдений минус 1 (по аналогии с оценкой для дисперсии). В работе К. Брауна предложена формула, позволяющая получить несмещенную оценку для параметра. Множитель 1/(N–k) заменяется следующим:

Значения являются положительными в интервале то 0 до 1.

Далее используется разложение ковариации двух случайных величин через мат. ожидание условной ковариации и ковариацию условных мат. ожиданий:

Теперь можно вывести выражение для ковариации оценок резервов, полученных на базе данных о произошедших и оплаченных убытках:

(16)

Для первого слагаемого имеем:

(17)

Разложение второго слагаемого выглядит следующим образом:

(18)

Подставив оба разложения в (16), имеем рекуррентную зависимость для ковариации и условия выхода из рекурсии:

(19)

Следует отметить, что выражение для ковариации и рекуррентное выражение для дисперсии имеют сходную форму. Так, если оба треугольника развития идентичны, то оценка ковариации будет совпадать с оценкой дисперсии для каждого из треугольников, что, безусловно, и должно иметь место.


Анализ результатов

Был произведен анализ результатов, полученных методом Мюнхенской цепочной лестницы и результатов, полученных с использованием формального подхода для расчета взвешенной оценки резерва. При этом расчеты производились на данных о развитии убытков по портфелю страхования от огня и других опасностей, приведенных в работе Т. Мака и Г. Куарга.

Для первых 6-ти лет наступления результаты взвешенной оценки с использованием формального подхода и результаты Мюнхенского метода цепочной лестницы очень близки. Наиболее значимое отличие наблюдается для самого позднего 7-го периода наступления, для которого мюнхенский метод дает результат примерно на 8% выше. Расчеты показывают, что веса индивидуальных оценок для репликации результатов Мюнхенского метода должны быть:

Предложенный в работе формальный подход дает значения весов в 71% и 29% соответственно. Веса, полученные на основании результата Мюнхенской цепочной лестницы, не согласуются с оцененными значениями дисперсий, так как оценка дисперсии окончательных убытков для 7-го года наступления почти в 2 раза выше для произошедших убытков, чем для оплаченных. Результаты, полученные с применением предложенного в статье метода, можно признать более убедительными.

Главным научным результатом проведенного исследования является разработка нового метода резервирования произошедших, но неурегулированных убытков, учитывающего взаимное влияние данных о произошедших и данных об оплаченных убытках, и позволяющего рассчитать единое значение резерва.

Основные положения, выводы и результаты диссертационного исследования нашли отражение в следующих опубликованных автором работах общим объемом 1,0 п.л.:

1. Руденко А.В «Моделирование функции распределения окончательных убытков» // Новые информационные технологии в образовании. Доклады и выступления участников шестой Международной научно-практической конференции «Использование программных продуктов фирмы «1С» в инновационной деятельности учебных заведений» 30-31 января 2006 г. под общей редакцией д.э.н. проф. Чистова Д.В., г.Москва, 1С, 2006г.

2. Руденко А.В. «Метод расчета резерва произошедших, но неурегулированных убытков на базе статистики произошедших и оплаченных убытков» // «Страховое Дело» №8 изд. «Анкил», Москва, 2007г.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»